2015届高考文科数学第一轮开卷速查检测题2.doc

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开卷速查　规范特训
课时作业　实效精炼
开卷速查(02)　参数方程
一、填空题

1．[2013·陕西]如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．
解析：由三角函数定义知＝tanθ(x≠0)，y＝xtanθ，由x2＋y2－x＝0得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝＝cos2θ，则y＝xtanθ＝cos2θtanθ＝sinθcosθ，又θ＝时，x＝0，y＝0也适合题意，故参数方程为(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
2．[2013·重庆]在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
解析：由极坐标方程ρcosθ＝4，化为直角坐标方程可得x＝4，而由曲线参数方程消参得x3＝y2，
∴y2＝43＝64，即y＝±8，
∴|AB|＝|8－(－8)|＝16.
答案：16
3．直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为__________．
解析：将直线化为一般方程为x＋y－1＝0，曲线转化为一般方程为x2＋y2＝9，圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＜r＝3，故直线与曲线的交点个数为2.
答案：2
4．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρ＝，则曲线C上到直线距离为的点的个数为__________．
解析：∵曲线C的参数方程为(θ为参数)，∴曲线C的标准方程为：(x－3)2＋(y＋1)2＝8，它表示以(3，－1)点为圆心，以2为半径的圆，又∵直线l的极坐标方程为ρ＝，∴它的一般方程为x－y－2＝0，∵点(3，－1)到直线x－y－2＝0的距离为，等于圆半径的一半，故曲线C上到直线l距离为的点的个数为3个．
答案：3
5．直线(t为参数)交极坐标方程为ρ＝4cosθ的曲线于A、B两点，则|AB|等于__________．
解析：由题意得直线方程为x＋y－4＝0，曲线ρ＝4cosθ的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心到直线的距离为d＝，弦|AB|＝2＝2＝2.
答案：2
6．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程(θ为参数)，若圆C1与C2相切，则实数a＝__________.
解析：圆C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，其标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心为(2,2)，半径长为2，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝2＋|a|＝3⇒a＝±.
答案：±
7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(θ为参数)和直线l：(t为参数)，则直线l与圆C相交所得的弦长等于__________．
解析：圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，直线l的方程为3x＋4y－10＝0，圆心到直线的距离为d＝＝1，弦长为2＝4.
答案：4
8．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρcos＝，则C1与C2两交点的距离为__________．
解析：可得曲线C1为y2＝8x，曲线C2为y＝x－2，直线C2过抛物线的焦点，联立两曲线的方程得x2－12x＋4＝0，设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
答案：16
9．在极坐标系中，直线l1的极坐标方程为ρ(2cosθ＋sinθ)＝2，直线l2的参数方程为(t为参数)，若直线l1与直线l2垂直，则k＝__________.
答案：－1
10．已知点P(x，y)在曲线(θ为参数，θ∈[π，2π])上，则的取值范围是__________．
答案：
11．若直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k＝__________.
解析：直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－；直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.
∵l1与l2垂直，∴×(－2)＝－1⇒k＝－1.
答案：－1
12．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，求|AB|的最小值为__________．
解析：消去参数θ，得到C1的普通方程(x－3)2＋(y－4)2＝1，表示以(3,4)为圆心，以1为半径的圆；C2的直角坐标方程为x2＋y2＝1表示的是单位圆，|AB|的最小值为－1－1＝3.
答案：3
13．若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝__________.
解析：曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝＝1⇒k＝±.
答案：±
14．参数方程(θ为参数)表示的图形上的点到直线y＝x的最短距离为__________．
解析：参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圆心坐标为(3，－3)，半径r＝3，则圆心到直线y＝x的距离d＝＝3，则圆上点到直线y＝x的最短距离为d－r＝3－3＝3(－1)．
答案：3(－1)
二、解答题
15．[2013·课标全国Ⅱ]已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解析：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，
因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
16．[2013·辽宁]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1、直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
解析：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，
由参数方程可得y＝x－＋1，
所以解得a＝－1，b＝2.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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