2015-2016学年高一数学下册知识基础梳理测试14.doc

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2．3.2　平面与平面垂直的判定

1．二面角．
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．
如图，记作：二面角αlβ或PABQ或PlQ．

(2)二面角的平面角．
如图，二面角αlβ，

若有：①O∈l；
②OA⊂α，OB⊂β；
③OA⊥l，OB⊥l.
则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．
若α⊥β，a⊂α，则a⊥β，对吗？
答案：错
若α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，则a⊥β，对吗？
答案：错
若a∥b，a⊥α，则b⊥α，对吗？
答案：对
2．面面垂直．
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：

记作：α⊥β．
(3)面面垂直的判定定理．
文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
符号表示：⇒α⊥β
►思考应用
1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
解析：如图，在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.
再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成∠A′O′B′.
因为OA∥O′A′，OB∥O′B′，所以∠AOB与∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同，即∠AOB＝A′O′B′.
上述结论说明了按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关．
2．应用面面垂直的判定定理的关键是什么？
解析：应用此定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．

1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(D)
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
解析：当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．
2．下列说法：
①二面角的大小是用平面角来度量的；
②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的；
③二面角的大小由其平面角的顶点在棱上的位置确定．
其中正确说法的个数是(C)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由二面角的定义可知，①②正确；③不正确．
3．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则(D)
A．α⊥β B．α与β相交
C．α∥β D．以上都有可能
4．若平面α与平面β不垂直，那么α内能与β垂直的直线(A)
A．有0条 B．有一条
C．有2条 D．有无数条
5．若α∥β，a⊥α，则a与β的位置关系是垂直．

1．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(B)
A．相等 B．互补
C．互余 D．无法确定
解析：如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角αlβ的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.

2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(C)
A．有一个 B．有两个
C．有无数个 D．不存在
解析：经过l的任一平面都和α垂直．
3．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有(B)
A．8对 B．7对
C．6对 D．5对
解析：如图，平面PAD，平面PBD，平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD.

4．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(D)
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交，但不垂直
D．以上都有可能
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是(D)
A．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
6．将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为________．
解析：设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE.

∴BD⊥CE，BD⊥A1E.
∴∠A1EC为二面角A1­BD­C的平面角．
∴∠A1EC＝60°.又A1E＝CE，
∴△A1EC是等边三角形．
∴A1E＝CE＝A1C＝a.
即折叠后点A到C之间的距离为a.

7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1­BD­A的正切值为(C)
A. B. C. D.
解析：如图所示

连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，
∵A1D＝A1B，
∴在△A1BD中，
A1O⊥BD.
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.
∴∠A1OA为二面角A1­BD­A的平面角．
设AA1＝1，则AO＝.
∴tan∠A1OA＝＝.
8．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和CC1于E，F两点．

(1)求证：A1E＝CF；
(2)若E，F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1.
证明：(1)由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF，与平面ADD1A1交于ED1，
又平面BCC1B1∥平面ADD1A1，
∴D1E∥BF，同理BE∥D1F，
∴四边形EBFD1为平行四边形，
∴D1E＝BF，
∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF＝90°，
∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，
∴A1E＝CF.
(2)∵四边形EBFD1是平行四边形．AE＝A1E，FC＝FC1，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE＝BF，故四边形EBFD1为菱形．
连接EF，BD1，A1C1
∵四边形EBFD1为菱形，
∴EF⊥BD1，
在正方体ABCDA1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，
∴B1D1⊥平面A1ACC1，又EF⊂平面A1ACC1，
∴EF⊥B1D1，又B1D1∩BD1＝D1，
∴EF⊥平面BB1D1，
又EF⊂平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1.
9．如图甲，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图乙．

(1)求二面角ABCD的正切值；
(2)求证：AD⊥平面BDE.
(1)解析：取AE中点O，BC中点F，连接DO，OF，DF(如图)．

由题知：AB＝2AD，DE＝EC，
∴AD＝DE，∴DO⊥AE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE，
∴DO⊥平面ABCE，
又∵AB⊥BC，OF∥AB，
∴OF⊥BC，
由三垂线定理得DF⊥BC，
∴∠DFO为二面角ABCD的平面角．
在Rt△DOF中，DO＝a，OF＝＝a，
∴tan∠DFO＝＝.
即二面角ABCD的正切值是.
(2)证明：连接BE，则BE＝＝a，

又AE＝a，AB＝2a，∴AB2＝AE2＋EB2，
∴AE⊥EB.
由(1)知DO⊥平面ABCE，
∴DO⊥BE，
又∵DO∩AE＝O，
∴BE⊥平面ADE，
∴BE⊥AD，
又∵AD⊥DE，BE∩DE＝E，
∴AD⊥平面BDE.

1．二面角是从一条直线出发的两个半平面组成的图形．
其大小是用二面角的平面角来度量的．二面角的平面角必须具备三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两边分别与二面角的棱垂直．求二面角的平面角的难点和关键在于正确地作出二面角的平面角，其过程是“一作、二证、三计算”．
2．面面垂直的判定有两个方法，其一是根据定义，其二是根据判定定理．根据定义，判定实质上转化成了求二面角的平面角；根据判定定理判定面面垂直，难点和关键是在其中一个平面内找到另一个平面的垂线．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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