2016届高考数学第一轮总复习检测21.doc

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第8讲　曲线与方程

1．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．
[做一做]
1．方程x2＋xy＝x表示的曲线是(　　)
A．一个点　　　　　　　 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
解析：选C.方程变为x(x＋y－1)＝0，则x＝0或x＋y－1＝0，故方程表示直线x＝0和直线x＋y－1＝0.
2．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案：A

1．辨明两个易误点
(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系；
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；
(3)列式——列出动点P所满足的关系式；
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
[做一做]
3．平面上有三个不同点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为________．
解析：＝(2，－)，＝(x，)，由⊥，得·＝0，
即2x＋(－)·＝0，
∴动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0)．
答案：y2＝8x(x≠0)
4．设P为双曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
解析：设M(x，y)，则P(2x，2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1.
答案：x2－4y2＝1

__直接法求轨迹方程(高频考点)______

直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容．
直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度：
(1)明确给出等式，求轨迹方程；
(2)给出已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹方程．
　已知M(4，0)，N(1，0)，若动点P满足·＝6||.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x＋2y－12＝0的距离的最小值.

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曲线与方程
　　[解]　(1)设动点P(x，y)，
则＝(x－4，y)，＝(－3，0)，
＝(1－x，－y)，由已知得
－3(x－4)＝6，
化简得3x2＋4y2＝12，即＋＝1.
∴点P的轨迹方程是椭圆C：＋＝1.
(2)设l′：x＋2y＋D＝0.将其代入椭圆方程消去x，
化简得：16y2＋12Dy＋3(D2－4)＝0.
∴Δ＝144D2－192(D2－4)＝0⇒D＝±4，
l′和l的距离的最小值为＝.
∴点Q与l的距离的最小值为.
[规律方法]　直接法求曲线方程的一般步骤：
(1)建立合理的直角坐标系；
(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；
(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．
　1.(1)已知|AB|＝2，动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹方程为________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.求动点P的轨迹方程．
解析：(1)如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)．
设P(x，y)，因为|PA|＝2|PB|，
所以＝2.
两边平方，得(x＋1)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
整理，得x2＋y2－x＋1＝0，
即(x－)2＋y2＝.
故动点P的轨迹方程为(x－)2＋y2＝.
答案：(x－)2＋y2＝
(2)解：因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称．
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，
则·＝－，
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
__定义法求轨迹方程____________________

　(2013·高考课标全国卷Ⅰ节选)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
[解]　 由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
[规律方法]　定义法求轨迹方程：
(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
　2.已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是什么？
解：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，
又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，
∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．
又c＝7，a＝1，b2＝48，故点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．
__利用相关点法(代入法)求轨迹方程____

　(2015·大连市双基测试)已知O为坐标原点，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆＋＝1上的点，且x1x2＋2y1y2＝0，设动点P满足＝＋2.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若直线l：y＝x＋m(m≠0)与曲线C交于A，B两点，求三角形OAB面积的最大值．
[解]　(1)设点P(x，y)，则由＝＋2，
得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)，
即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.
因为点M，N在椭圆＋＝1上，
所以x＋2y＝4，x＋2y＝4.
故x2＋2y2＝(x＋4x＋4x1x2)＋2(y＋4y＋4y1y2)
＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)
＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．

由题意知，x1x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20.
(2)将曲线C与直线l的方程联立得：，
消去y得：3x2＋4mx＋2m2－20＝0.
因为直线l与曲线C交于A，B两点，设A(x3，y3)，
B(x4，y4)，
所以Δ＝16m2－4×3×(2m2－20)＞0，
又m≠0，
所以0＜m2＜30，
x3＋x4＝－，x3x4＝.
又点O到直线AB：x－y＋m＝0的距离d＝，
|AB|＝|x3－x4|
＝
＝＝，
所以S△ABO＝×＝×≤×＝5，
当且仅当m2＝30－m2，即m2＝15时取等号．
所以三角形OAB面积的最大值为5.
[规律方法]　相关点法求轨迹方程的一般步骤为：
(1)设点：设动点坐标为(x，y)，已知轨迹的点的坐标为(x1，y1)，
(2)求关系式：求出两点坐标之间的关系式

(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
　3.P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．
解析：由＝＋，又＋＝＝2＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝(－，－)，
即P点坐标为(－，－)，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
答案：＋＝1

方法思想——分类讨论思想判断方程所表示的曲线类型

　　　已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(0，－1)，(0，1)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线．
[解]　设顶点C(x，y)，由题意，知·＝m，
化简得－mx2＋y2＝1(x≠0)．
当m＜－1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去(0，1)，(0，－1)两点；
当m＝－1时，轨迹E表示以(0，0)为圆心，半径是1的圆，且除去(0，1)，(0，－1)两点；
当－1＜m＜0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去(0，1)，(0，－1)两点；
当m＞0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去(0，1)，(0，－1)两点．
[名师点评]　由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论，本例中由于m≠0，而x2与y2的系数相等时m＝－1，故分m＜－1，m＝－1，－1＜m＜0，m＞0四种情形进行讨论．
　　　已知A，B为平面内两定点，过该平面内一动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)
A．圆　　　　　　　　　 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系(图略)，
设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0)．
因为2＝λ·，
所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，
即λx2＋y2＝λa2，
当λ＝1时，是圆的轨迹方程；
当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；
当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程；
当λ＝0时，是直线的轨迹方程．
综上，方程不表示抛物线的方程．

1．若点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P(x，y)的轨迹方程为(　　)
A．y2＝8x　　　　　　　　 B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
解析：选C.点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P(x，y)到点F(0，2)和到直线y＋2＝0的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，其中p＝4，故所求的轨迹方程为x2＝8y.
2．方程(x2－y2－1)＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)(　　)

解析：选B.原方程等价于或x－y－1＝0，前者表示等轴双曲线x2－y2＝1位于直线x－y－1＝0下方的部分，后者为直线x－y－1＝0，这两部分合起来即为所求．
3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解析：选D.如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
4．(2015·天津津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
解析：选A.设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即
解得
又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，
所以点C的轨迹为直线，故选A.
5．(2015·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 .＋＝1
C.－＝1 .＋＝1
解析：选D.∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆．∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴椭圆的方程为＋＝1.
6．(2015·广东阳江质检)已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)，满足·＝x2－6，则动点P的轨迹是________．
解析：∵动点P(x，y)满足·＝x2－6，∴(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝x2－6，∴动点P的轨迹方程是y2＝x，即轨迹为抛物线．
答案：抛物线
7．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________．
解析：直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a，0)，B(0，2－a)，设AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1.
答案：x＋y＝1(x≠0且x≠1)
8．(2015·山西临汾调研)在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于点D，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________．
解析：以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.
∴|AB|－|AC|＝2，
∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，∴b＝，
∴顶点A的轨迹方程为－＝1(x＞)．
答案：－＝1(x＞)
9．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程．
解：∵AB＝＝5，∴AB边上高h＝＝4.
故C的轨迹是与直线AB距离等于4的两条平行线．
∵kAB＝，
AB的方程为4x－3y＋4＝0，可设轨迹方程为4x－3y＋c＝0.
由＝4，得c＝24或c＝－16，
故动点C的轨迹方程为4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
10．如图，在平面直角坐标系中，已知△PAB的周长为8，且点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)．

(1)试求顶点P的轨迹C1的方程；
(2)若动点P1(x1，y1)在曲线C1上，试求动点Q(，)的轨迹C2的方程；
(3)过点C(3，0)作直线l与曲线C2相交于M，N两点，试探究是否存在直线l，使得点N恰好是线段CM的中点．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意可得顶点P满足|PA|＋|PB|＝6，
故顶点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆，但要除去椭圆的左、右两个顶点．
椭圆的半焦距长c＝1，长半轴长a＝3，所以b2＝a2－c2＝8，
故轨迹C1的方程为＋＝1(x≠±3)．
(2)由题意，点P1(x1，y1)在曲线C1上，故＋＝1(x1≠±3)．
设＝x，＝y，则x1＝3x，y1＝2y.
代入＋＝1(x1≠±3)，得x2＋y2＝1(x≠±1)，
所以动点Q(，)的轨迹C2的方程为x2＋y2＝1(x≠±1)．
(3)假设存在直线l，使得点N恰好是线段CM的中点，
设M(x2，y2)，x2≠±1，则x＋y＝1　①.
因为点N恰好是线段CM的中点，所以N(，)．
又点N在曲线C2上，所以()2＋()2＝1　②.
联立①②，解得x2＝－1，y2＝0，与x2≠±1矛盾．
故不存在满足题意的直线l.

1．(2015·湖北武汉月考)已知实数m＞1，定点A(－m，0)，B(m，0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.
(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；
(2)若m＝，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t＞0)与曲线C有且只有一个交点．
解：(1)设S(x，y)，则kSA＝，kSB＝.
由题意，得＝－，即＋y2＝1(x≠±m)．
∵m＞1，
∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.
(2)若m＝，则曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．
由消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.
令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.
∵t＞0，∴t＝3.
此时直线l与曲线C有且只有一个交点．
2．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.
(1)直线l过点P(1，2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程；
(2)过圆C上一动点M(不在x轴上)作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．
解：(1)当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，距离为2，满足题意．
若直线l不垂直于x轴，设其方程为y－2＝k(x－1)，
即kx－y－k＋2＝0.
设圆心到此直线的距离为d，
则2＝2，得d＝1.
所以＝1，解得k＝，
故所求直线方程为3x－4y＋5＝0.
综上所述，所求直线l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
(2)设点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，Q点坐标为(x，y)，则N点坐标是(0，y0)．
因为＝＋，
所以(x，y)＝(x0，2y0)，即x0＝x，y0＝.
又因为M是圆C上一点，所以x＋y＝4，
所以x2＋＝4(y≠0)，
所以Q点的轨迹方程是＋＝1(y≠0)，
这说明轨迹是中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为8、短轴长为4的椭圆，且除去短轴端点．
3．(2015·湖北恩施质检)在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，||＝，＝.过点M作MM1⊥y轴于点M1，过点N作NN1⊥x轴于点N1，＝＋.记点T的轨迹为曲线C，点A(5，0)、B(1，0)，过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间)．
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在直线l，使得|BP|＝|BQ|，并说明理由．
解：(1)设点T的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x′，y′)，则M1的坐标为(0，y′)，
＝＝(x′，y′)，于是点N的坐标为，N1的坐标为，
所以＝(x′，0)，＝.
由＝＋，有(x，y)＝(x′，0)＋，
所以
由此得x′＝x，y′＝y.
由||＝，得x′2＋y′2＝5，
所以x2＋＝5，得＋＝1，
故曲线C的方程为＋＝1.
(2)点A(5，0)在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l的斜率存在，并设为k，直线l的方程为y＝k(x－5)．
由方程组得(5k2＋4)x2－50k2x＋125k2－20＝0.
依题意知Δ＝20(16－80k2)>0，
得－<k<.
当－<k<时，设交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点为R(x0，y0)，
则x1＋x2＝，x0＝＝.
∴y0＝k(x0－5)＝k＝.
又|BP|＝|BQ|⇔BR⊥l⇔k·kBR＝－1，
k·kBR＝k·＝＝－1⇔20k2＝20k2－4，而20k2＝20k2－4不成立，所以不存在直线l，使得|BP|＝|BQ|.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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