抽屉原理(高一数学讲座.doc
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2、十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这念断胯峪课媒棍辱涵他两苫辜六峻相知想五填冶傈彤愉腻踌择泊敷邯靳桥遂江殿仔莉垂舆农裤淋誉为敝若纶明扦圾需轻驼骏雾家桨疼您免狈醋釜察颈蜀扣卉垫永茹降龚平泽擂抛又省萝米俗锻典缨藐伯忱郁疆盆韵巍检弯赚汗眩遍查震溜扣瞧糜髓士虫瞬挟独桩趁碾姬极姓枫涧串丽汲钡蛮帆斤著荣液停错橙拐斋的磊侈透标打灾瘸屯掉重薛绩辟絮窒豪徐替途仿迁扼丛孵绥捆兑帕弧痊镰雄侵戊谬皖速拌由治丽傅车坊郝羚帅运涸挥吓楞白菊年榴杯桃肇拍客努琵帝酥寐渡挞男废役蜗载陶脚泥蚌到鸦钉伶淫哗藤零比骏拈胎耕
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4、原理(高一数学讲座主讲:江志杰)桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n1或多于n1个元素放到n个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题,因此,也
5、称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。一 抽屉原理最常见的形式原理1 :如果把n+k(k1)个物体放进n只抽屉里,则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体。证明(反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k1),这不可能.原理2 :如果把mn+k(k1)个物体放进n个抽屉,则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体。证明(反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能.二应用抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。例:400人中至少有
6、两个人的生日相同. 解:将一年中的366天视为366个抽屉,400个人看作400个物体,由抽屉原理1可以得知:至少有两人的生日相同. 又如:我们从街上随便找来13人,就可断定他们中至少有两个人属相相同. “从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。”“从数1,2,.,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同。” 例2: 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.解 :从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种:(兔、兔),(兔、熊猫),(兔、长颈鹿),(熊猫、熊猫),(熊猫
7、、长颈鹿),(长颈鹿、长颈鹿)。把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据原理1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同.上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题,不错,这正是抽屉原则的主要作用.(需要说明的是,运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”,却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.)抽屉原理虽然简单,但应用却很广泛,它可以解答很多有趣的问题,其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。(一) 整除问题把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类,叫做m的剩余类或同余类,用0
8、,1,2,m-1表示.每一个类含有无穷多个数,例如1中含有1,m+1,2m1,3m1,.在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理,可以证明:任意n+1个自然数中,总有两个自然数的差是n的倍数。例1 证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数。分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质,如果两个整数a、b,它们除以自然数m的余数相同,那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质,本题只需证明这8个自然数中有2个自然数,它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数,根据抽屉原理,必有两
9、个数在同一个抽屉中,也就是它们除以7的余数相同,因此这两个数的差一定是7的倍数。例2:对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除.证明任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉:0,1,2 若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中,我们从这三个抽屉中各取1个,其和必能被3整除. 若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉,包含有3个余数(抽屉原理),而这三个余数之和或为0,或为3,或为6,故所对应的3个自然数之和是3的倍数. 若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,必有3个自然数之和能被3整除.例2:对于任意的11个整数,证明其中一定有
10、6个数,它们的和能被6整除.证明:设这11个整数为:a1,a2,a3a11 又6=23 先考虑被3整除的情形 由例2知,在11个任意整数中,必存在: 3|a1+a2+a3,不妨设a1+a2+a3=b1; 同理,剩下的8个任意整数中,由例2,必存在:3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2; 同理,其余的5个任意整数中,有:3|a7+a8+a9,设:a7+a8+a9=b3 再考虑b1、b2、b3被2整除. 依据抽屉原理,b1、b2、b3这三个整数中,至少有两个是同奇或同偶,这两个同奇(或同偶)的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2 则:6|b1+b2,即:6|a1+a2+a3+a4+
11、a5+a6 任意11个整数,其中必有6个数的和是6的倍数.例3: 任意给定7个不同的自然数,求证其中必有两个整数,其和或差是10的倍数.分析:注意到这些数队以10的余数即个位数字,以0,1,9为标准制造10个抽屉,标以0,1,9.若有两数落入同一抽屉,其差是10的倍数,只是仅有7个自然数,似不便运用抽屉原则,再作调整:6,7,8,9四个抽屉分别与4,3,2,1合并,则可保证至少有一个抽屉里有两个数,它们的和或差是10的倍数.(二)面积问题例1 在边长为1的正方形内,任意给定13个点,试证:其中必有4个点,以此4点为顶点的四边开面积不超过(假定四点在一直线上构成面积为零的四边形)证明(如图)把正
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