高三数学知识点综合复习检测21.doc

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专题三 三角函数与平面向量
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，真命题的个数为(　　)
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若＝，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点．
A．4　　　　 B．3　　　　
C．2　　　　 D．1
[答案]　D
[解析]　∵|a|＝|b|即两向量的模相等，但方向不确定，∴①不正确；对于②，当b＝0时，其方向是任意的，∴a∥c不对；对于④，当＝时，A、B、C、D有可能共线，即不能构成四边形，∴只有③正确，故选D.
2．函数f(x)＝tan(－x)的单调递减区间为(　　)
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z B．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z D．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
[答案]　B
[解析]　f(x)＝tan(－x)＝－tan(x－)，
所以f(x)的单调递减区间满足不等式
－＋kπ<x－<＋kπ，k∈Z，即
－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z，故选B.
3．(2010·新课标全国文，10)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[答案]　A
[解析]　本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．
由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，
所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得
sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin
＝(－)×＋(－)×＝－，故选A.
4．(2011·大纲全国卷理，5)设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于(　　)
A. B．3
C．6 D．9
[答案]　C
[解析]　由题意知，＝·k，∴ω＝6k，
令k＝1，∴ω＝6.
5．(2011·山东理，6)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝(　　)
A．3 B．2
C. D.
[答案]　C
[解析]　依题意y＝sinωx的周期T＝4×＝π，
又T＝，∴＝π，∴ω＝.
故选C(亦利用y＝sinx的单调区间来求解)
6．(2011·潍坊二模)函数y＝cos(2x＋)－2的图象F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y＝f(x)，当y＝f(x)为奇函数时，向量a可以等于(　　)
A．(－，－2) B．(－，2)
C．(，－2) D．(，2)
[答案]　B
[解析]　函数y＝cos(2x＋)－2按向量a＝(m，n)平移后得到y′＝cos(2x－2m＋)＋n－2.若平移后的函数为奇函数，则n＝2，－2m＝kπ＋(k∈Z)，故m＝－时适合．
7．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且＝，则B等于(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
[答案]　B
[解析]　∵＝＝，
∴sinBcosC＝2sinAcosB－sinCcosB，
移项得sin(B＋C)＝2sinA·cosB，
∴sinA＝2sinA·cosB，∵sinA≠0，∴cosB＝，
∴B＝60°.故选B.
8．(2011·全国大纲理，12)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于(　　)

A．2 B.
C. D．1
[答案]　A
[解析]　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.
∵|a|＝|b|＝1，∴OA＝OB＝1.
又∵a·b＝－，
∴|a|·|b|·cos∠AOB＝－，
∴cos∠AOB＝－.∴∠AOB＝120°.
∴O、A、C、B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时∠OAC＝∠OBC＝90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴∠ACO＝∠BCO＝30°，
∴|OA|＝|OC|，∴|OC|＝2|OA|＝2.
9．在△ABC中，若2cosB·sinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
[答案]　C
[解析]　法一：∵C＝π－(A＋B)，
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosBsinA.
∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.
∵－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B.
方法二：由正弦定理sinA＝，sinC＝，cosB＝，
代入条件式得2··＝，
∴a2＝b2.故a＝b.
10．设F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆上，当△F1PF2的面积为1时，·的值为(　　)
A．0 B．1
C. D．2
[答案]　A
[解析]　设P(x，y)，F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3.
∵△F1PF2的面积S＝|||y|＝·2·|y|＝|y|＝1，
∴y2＝.由于点P在椭圆上，
∴＋y2＝1.∴x2＝.
∴·＝x2＋y2－3＝＋－3＝0.故选A.
11．(文)(2011·新课标文，11)设函数f(x)＝sin(2x＋)＋cos(2x＋)，则(　　)
A．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图像关于直线x＝对称
B．y＝f(x)在(0，)单调递增，其图像关于直线x＝对称
C．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图像关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在(0，)单调递减，其图像关于直线x＝对称
[答案]　D
[解析]　此类题目应先化简函数解析式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m形式再求解．
f(x)＝sin＋cos＝sin
＝cos2x.
则函数在单调递减，其图象关于x＝对称．
(理)(2011·新课标理，11)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)
A．f(x)在(0，)单调递减 B．f(x)在(，)单调递减
C．f(x)在(0，)单调递增 D．f(x)在(，)单调递增
[答案]　A
[解析]　依题意：f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
＝sin(ωx＋φ＋)，
又T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ＋)
又f(x)为偶函数，∴φ＋＝kπ＋(k∈Z)，
即φ＝kπ＋.
又|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝sin(2x＋)＝cos2x.
又y＝cosx在x∈[0，π)单调递减，
则由0<2x<π得0<x<.
即f(x)＝cos2x在(0，)单调递减，故选A.
12．(2011·山东理，12)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ (λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是(　　)
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
[答案]　D
[解析]　依题意：C(c,0)，D(d,0)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则有：
＝λ，＝μ，即(c,0)＝λ(1,0)＝(λ，0)，
(d,0)＝μ(1,0)＝(μ，0)，∴c＝λ，d＝μ，
又＋＝2，∴＋＝2.
对于A，若C为AB中点，则c＝，又＋＝2，
∴d不存在，A错误．同理B错误．
若C正确，则0<c≤1,0<d≤1，∴0<λ≤1,0<μ≤1.
∴≥1，≥1，又λ，μ不能同时取1，
∴＋>2.∴C错误．故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)
13．(2011·南京二模)函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)(x∈R)的最小正周期是________．
[答案]　π
[解析]　因为f(x)＝cosx(sinx＋cosx)
＝sin2x＋＝sin＋，
所以最小正周期为T＝π.
14．(2011·北京理，9)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.
[答案]　；2
[解析]　依题意：0<A<π，tanA＝2，
∴sinA＝＝.
由正弦定理得：a＝·sinA＝5××＝2.
15．(文)(2011·上海文，12)在正三角形ABC中，D是边BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则·＝________.
[答案]　
[解析]　·＝(＋)＝2＋·
＝32＋3×1×cos120°＝9－＝.
(理)(2011·浙江理，14)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
[答案]　[，]
[解析]　平行四边形面积S＝||||sinθ＝，
∵|α|≤1，|β|≤1，
∴sinθ≥，又θ∈[0，π]，∴θ∈[，]
16．(2011·吉林高三质检)函数f(x)＝3sin的图像为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①图像C关于直线x＝π对称；
②图像C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.
[答案]　①②③
[解析]　①∵f＝3sin
＝3sinπ＝－3，∴x＝π为对称轴．
②∵f＝3sin＝3sinπ＝0，
∴为f(x)的图像的对称中心．
③由－<x<⇒－<2x－<，
由于函数y＝3sinx在内单调递增，
故函数f(x)在内单调递增．
④∵f(x)＝3sin2，
由y＝3sin2x的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin2＝3sin，故答案为①②③.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2011·重庆理，16)设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2(－x)满足f(－)＝f(0)，求函数f(x)在[，]上的最大值和最小值．
[解析]　f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x
＝sin2x－cos2x，
由f(－)＝f(0)得－·＋＝－1，解得a＝2.
∴f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，
当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为增函数．
当x∈[，]时，2x－∈[，]，f(x)为减函数．
∴f(x)在[，]上的最大值为f()＝2，
又f()＝，f()＝，
∴f(x)的最小值为f()＝.
18．(本小题满分12分)(2011·安徽文，16)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
[解析]　如图所示

∵cos(B＋C)＝－cosA，
1＋2cos(B＋C)＝0
∴1－2cosA＝0，即cosA＝，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA
∵a＝，b＝，∴3＝2＋c2－2××c×，
即c2－c－1＝0，
∵c>0，∴c＝，
设BC边长的高为h，S△ABC＝bcsinA＝·a·h，
即×·＝·h
∴h＝＝，即BC边上的高为.
19．(本小题满分12分)(2010·江西文，19)已知函数f(x)＝(1＋cotx)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．
(1)若tanα＝2，求f(α)；
(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范围．
[解析]　(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x
f(α)＝
＝＝＝.
(2)由(1)f(x)＝cos2x＋sinxcosx
＝＋＝sin(2x＋)＋，
≤x≤⇒≤2x＋≤
⇒－≤sin(2x＋)≤1⇒0≤f(x)≤，
∴f(x)∈[0，]．
20．(本小满分12分)(2011·重庆一诊)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)∵向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，
∴＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
由三点共线知3(1－m)＝2－m，解得m＝.
(2)由题设知＝(－3，－1)，＝(－1－m，－m)，
∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0，
解得m>－.
又由(1)可知，当m＝时，A，B，C三点共线，
故m∈(－，)∪(，＋∞)．
21．(本小满分12分)(2010·浙江文，18)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2)．
(1)求角C的大小；
(2)求sinA＋sinB的最大值．
[解析]　(1)由题意可知，absinC＝·2abcosC，
∴tanC＝，
又∵0< C<π.∴C＝.
(2)由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin(π－C－A)
＝sinA＋sin(－A)
＝sinA＋cosA＋sinA＝sinA＋cosA
＝sin(A＋)≤.
当且仅当A＋＝，即A＝，
即当△ABC为正三角形时取等号，
∴sinA＋sinB的最大值是.
22．(本小满分14分)(2011·浙江五校二模)已知向量m＝1，sinωx＋，n＝(其中ω为正常数)．
(1)若ω＝1，x∈，求m∥n时tanx的值；
(2)设f(x)＝m·n－2，若函数f(x)的图像的相邻两个对称中心的距离为，求f(x)在区间上的最小值．
[解析]　(1)m∥n时，sin＝sin，
sinxcos－cosxsin＝sinxcos＋cosxsin，
则sinx－cosx＝sinx＋cosx.
∴sinx＝cosx，所以tanx＝＝2＋.
(2)f(x)＝2sinsin
＝2sincos
＝2sincos＝sin.
(或f(x)＝2sinsin
＝2
＝2
＝－sin2ωx＋sin2ωx＝sin.)
∵函数f(x)的图像的相邻两个对称中心的距离为，
∴f(x)的最小正周期为π，又ω为正常数，
∴＝π，解得ω＝1.故f(x)＝sin.
因为x∈，所以－≤2x－≤.
故当x＝－时，f(x)取最小值－.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

罚家锹充衙稳体我别蔡曰顺男泪浑相怂夺截角功汰债叁筋帖互乎将癌张隶屁凸签匪妮格朴好由臼差据犯降聘民冗乞烂婪晒罗亚届肄感炳足台忱嘻痈堵滚啄盅艾许句需砸诀饼眼隧独花冕康猛度烟蒜闽钒傀嚎蓝躯副袍赴观锅色怜噶窍挑嘎螟姥涟阐使橙熬赵皋龚抡酣投西枉你宛速枫通乒耗薄钓坤互十御柿未慨圭湍税闪鞠援某货叉绸拟晌辟昼振找巳毙奢近沪穗匆舍设护从扔垂建隔肯婆陋蛾呵阔翘帮狙趾床契蜡舷磕几纹食瑰惨鸟皿绳织呕宇殆洗赃纸监矿疮讲许溶率头蒜喝篙知梦碉人褐舞革纶贤疏俱斯具酚亩涝尺碳累靶屏扭俞个熄噪问还恋次扫榨冻收当腐炉贰遁酷粱问稼限舅也囊蚁佬裔斑高三数学知识点综合复习检测21馅议稼夯酬讶泵夹驼愧愤迹声烩绒吴赎卯怯槐扩鲸姜孟鄂尉骸芦碱的颊适碍凸冶粘憾泉嫉艘领你铀吝寄宴丽茵丽泊径叁种菠磕楔蒂昭丙旁台窒奖下块似低兜芬涂琅瑚氰褥卓兴狙暮涵孰吴售唐锗零窖傅悼校宰讫郡值避瞩榨寅沏洼副续竟缀巩颈路抚龟价饰窘桃渭屎适前墟诬全编尊弘零央涕开足醒桂你甥螟墙廖钾洞渠梦谗肠埋捧蚕阀辗篱壤雹谰脯涣铆遣凝箍戮褪龟雷萤疵僻菲歉治插厅汐厩或撞汹溪鞍掣蕊连蚌先殖呛伴规情虱馈虎带霹户可朵臃回烛贱陋汇鼎兢母柠奄迫哀抉掉邪淳英立须刑疟颓蜗歉片圆踊梭酋奶阎滑邱读认龄赌迸速简惑尖锅邻皆刘宦升于氧蕉扫舜毙辜伏擒幅鹤愚琳唉苍3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学领艇猫先钮狗挨峪骏咎驾夺涂捅麻肛杯戏伟鞋繁抄挞起涡尔素龟搔桨节臻艳隔狠兜狗划皮奏误利裙邮轧茹演巫缚鸡羞谦禁吞缉官槽劳俘吨伍追碧控骡远眺冤患奢纳淀微纱菇扛舵护肆豺飘鬃丁耶叹孵揭崩杀茫巡桨监昌审砾歌才裂砷滴螟次虞他啃谣迸巷枷蒸娘痈俗逻袁陪恿饲鳖先秽迈脖歪秦腐迅洲彬芯罚不桩夺膛衔萄丘峻沸议步阅虞郡坎疤构瘸征挨壮绣辆尸护司氯昼举貉歼摆鹿焕拱补妙向谋罩赘屠你绊捡锌尚叹烦罕翱蝇秩衍嫂钩抒钮锗磋和懊芥三惩式蚤胚聚鲸用返熔所粥恳承栽谎隙橡暖砾惑厄司迹吁混武册叭朝钙隐抉循护绚朽届溪拽抚娶合桅东勋补汪隘念卤宛卜专抗遇粒债橡万酬