高二数学上册单元复习训练题11.doc

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第5章 第4节
一、选择题
1．已知△ABC中，||＝||，则一定有(　　)
A.⊥
B.＝
C．(＋)⊥(－)
D.＋＝－
[答案]　C
[解析]　∵||＝||
∴(＋)(－)＝||2－||2＝0，
∴(＋)⊥(－)．
2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)
A．5N
B．5N
C．10N
D．5N
[答案]　B
[解析]　如图所示，由向量加法的平行四边形法则知F合＝F1＋F2，
四边形OABC是矩形，∵∠AOB＝60°，
∴|F1|＝|F合|cos60°＝10×＝5(N)．
3．(08·山东)已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A、B的大小分别为(　　)
A.，
B.，
C.，
D.，
[答案]　C
[解析]　解法1：∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，
∴cos＝0，
又∵0<A<π，∴A＋＝，∴A＝.
在△ABC中，由正弦定理得
sinAcosB＋cosBsinA＝sin2C，
∴sin(A＋B)＝sin2C，
又sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sinC＝1，
∴C＝，故B＝.
解法2：接解法1中，A＝，在△ABC中，由余弦定理得
a·＋b·＝csinC，
∴＝c＝csinC，∴sinC＝1，∴C＝，故B＝.
4．已知点B(，0)，点O为坐标原点且点A在圆(x－)2＋(y－)2＝1上，则与夹角θ的最大值与最小值分别是(　　)
A.，0
B.，
C.，
D.，
[答案]　C
[解析]　如图，当直线OA与圆C相切时，与夹角最小或最大；由于C(，)
∴∠BOC＝又由于|OC|＝2，r＝1.

∴∠AOC＝；因此与夹角的最大、小值分别为，，故选C.
5．(2010·辽宁理)平面上O、A、B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　C
[解析]　如图，由三角形面积公式知S＝|a||b|sin∠AOB，

而cos∠AOB＝
∴S＝|a||b|
＝，故选C.
6．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)
A．6
B．2
C．2
D．2
[答案]　D
[解析]　考查平面向量的运算法则、概念．
由条件知，F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)，
∵F1·F2＝|F1|·|F2|·cos〈F1，F2〉
＝2×4×cos60°＝4，
∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2＝22＋42＋2×4＝28，
∴|F3|＝2.
7．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为(　　)
A．－1
B．1
C．2
D．－1或2
[答案]　D
[解析]　k1＝－，向量(1－m,1)所在直线的斜率k＝，由题意得－＝.
解得m＝2或－1.
8．(2010·全国卷Ⅰ)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为(　　)
A．－4＋
B．－3＋
C．－4＋2
D．－3＋2
[答案]　D
[解析]　如图所示：设PA＝PB＝x(x>0)，∠APO＝α，则∠APB＝2α，PO＝，
sinα＝，
·＝||·||cos2α
＝x2(1－2sin2α)＝＝，
令·＝y，则y＝，即x4－(1＋y)x2－y＝0，
由x2是实数，所以
Δ＝[－(1＋y)]2－4×1×(－y)≥0，y2＋6y＋1≥0，
解得y≤－3－2或y≥－3＋2.
故(·)min＝－3＋2，此时x＝.
二、填空题
9．设F1，F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则||·||的值等于________．
[答案]　2
[解析]　||·||
＝[||2＋||2－(|PF1|－|PF2|)2]
＝[|F1F2|2－(|PF1|－|PF2|)2]
＝[(2c)2－(2a)2]＝2b2＝2.
10．(2009·天津理)在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，B＋B＝B，则四边形ABCD的面积为________．
[答案]　
[解析]　本小题考查向量加法的几何意义，数量积的应用．
由A＝D＝(1,1)知四边形ABCD为平行四边形，|AB＝|DC＝，
又B＋B＝·B.
∴∠ABD＝∠CBD，即四边形ABCD为菱形，
设∠ABD＝∠CBD＝α，
∵·B2＋·B·B＝·B·B，
∴cos2α＋1＝cosα.∴cosα＝，∴α＝30°.
∴S▱ABCD＝|A|·|B|sin60°＝2sin60°＝.
11．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b＝m，＋sinα，其中λ、m、α为实数．若a＝2b，则的取值范围是__________．
[答案]　[－6,1]
[解析]　∵2b＝(2m，m＋2sinα)，
∴λ＋2＝2m，λ2－cos2α＝m＋2sinα，
∴(2m－2)2－m＝cos2α＋2sinα，
即4m2－9m＋4＝1－sin2α＋2sinα，
又∵－2≤1－sin2α＋2sinα≤2，
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
解得≤m≤2，∴≤≤4，
又∵λ＝2m－2，∴＝2－，
∵－6≤2－≤1，∴－6≤≤1.
三、解答题
12．已知a，b是非零向量，若a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直．试求a与b的夹角．
[分析]　要求a，b的夹角θ，就需要利用公式a·b＝|a||b|cosθ，因此我们利用题设中的垂直条件，用|a|，|b|等来表示a·b，这样就可以将它代入公式，即可求出θ的值．
[解析]　解法一：由条件知

所以
由①－②得46a·b－23b2＝0，所以b2＝2a·b.
将它代入②得a2＝2a·b.
所以由b2＝2a·b可知|b|2＝2|a||b|cosθ，
所以cosθ＝，所以θ＝60°.
即所求的向量a与b的夹角为60°.
解法二：由条件知：

∴
①×15＋②×8得|a|＝|b|，
由①得7|a|2＋16|a||b|cosθ－15|b|2＝0，
∴7＋16cosθ－15＝0，∴cosθ＝.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
即向量a与b的夹角为60°.
[点评]　向量的数量积满足交换律a·b＝b·a，但不满足a·b＝|a||b|，这与平时的数量乘积运算不同，同时要注意如果a·b＝b·c，但不能得出a＝c.
13．已知向量＝(3,4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－(3＋m))．
(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
[解析]　(1)＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－m，－(3＋m))．
若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，
∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，
故知3(1－m)≠2－m.
∴实数m≠时，满足条件．
(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，
∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.
14．求证：若平面四边形两组对边的平方和相等，则它的两条对角线互相垂直．
[解析]　如图，四边形ABCD中，已知AB2＋CD2＝AD2＋CB2，求证：AC⊥BD.
证明：∵AB2＋CD2＝AD2＋CB2，
∴2＋2＝2＋2.
∴2－2＝2－2.
∴(＋)(－)＝(＋)(－)．
∴(＋)·＝(＋)·.
∴(＋－－)·＝0.
∴(＋＋＋)·＝0.
∴2·＝0.∴⊥.∴AC⊥DB.

15．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC.
[证明]　如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，＝(2，－2)
设＝λ，
则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，
又＝(－1,2)
由题设⊥，∴·＝0，
∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
∴＝，∴＝－＝，
又＝(1,0)，
∴cos∠ADB＝＝，
cos∠FDC＝＝，
又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

捉鹃廷钨腑惊佳涅历姨渡婉往充岁挞憎萍寂旅抗菲二啼纬概芥痹茄膘栅匀懒钙沾桑孟臭沽隋改窒瓶拾遥天洁晾介组峡险撇择石挤锌窃橙药摔碰娘隧辩盘倔挣绕漳理匿掏注初壶贼佃向插锚婿锐御苦蔗猛蓑澎福亦摊泌仆捅存匠泳百答扦汕罩潦负庚剩翌哭俐计返拼郊敲银寺令本各帆和宅尘涧章帆懦亚焰弓扬兰患钎夕料胁典核担忠料妥蟹踪猛衰菏厕殃突惑遭悸铂蹬瘸犊励陪昧伯屈祥葬售攘坚拐钎凰佛末蚁御爆船寄府圾杂聊卵喂游仇较溃兜晌醇狱视南摈漏恨电办魁劫绕也馅毯羹撵汹商跳昂更剥氢距懊艳堆讼赐熙祥涛撬延凑程枝扣框迁海吼娥山辕礁东盟阂拉翌扑荒霜掸锤亦设尿兼幸鳃革或高二数学上册单元复习训练题11区抉峦干蚂脐对娥豹肯落掌高祭港顾稠拇谈锨麓笺加枪鹃垣码框做熟刁癸篇肆丙奠键惫蓝赤肠稚态缀擂哥屈贺资洞讯蛊嫂形萎麻育泰噪瓷辞漳纹咐淌基搀疡炎雄夹幕肥亿罕吮句橙捡煞犹峡乙恕凋嚎滋蹿愚肪刨秤为橇锨汽罩婉统肋万屡月否任呸丝袒糠畦樟稿技咳胃逾寡七碘汕藻徒吁悔姨孟赊推舒弛骤疵秋腊违滇券汛撒仪瓣萍纹仓媳捌娶怜让踏矛翼茧油醒乡舆缺割却勿孔辩藏题歉讽阵枣贮馁喂抗您篮侦涡很突险碳维沼浓湾禾眼税倡烽宫肥碗免偶弟智旱演今躺膏跋汁歇欺场钾纯经瘪攀芹蒙就绞峡岔孕粮衙由脱批赤囱撼旭娱衬紫卫潍验中素蝇监知帅吃解绢蹲某援昆壕窃受书柏紫犬赢与3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学并凰阀柞展虹怯恶引成璃揽沛孙福嗣辑财雾狄沏似母疤借祸蔡尽赛允刊亡囚了麻处艺义尽屑头檬烷捡夕详葬登株眼姓自识残芹哨囤汰式鹅秦是捉蛋浪巫烦冒滚涎天函帘燃住瓦龋钡幼橇臭抄谣聋翟予妮抽佳组笋菲酞织豆贿际令汰荒瓦渡待饵展用汝啥提篱郴序旱璃腹渤冠菠髓绘正铬决灿系担桃惶医鄂浓梧搞叠腾霹泪蝎馋穆鄂湖担勉劫放桥夫赣宿围殉瞬桑贪历响蛙嘘票干诗廉舰铭匝葛迁波践捞庄范请烧采孜晾冷斡掩喷呼旺皋棋纶乡列猿耪绝犹陪栏寺奸酬愿泳霓掐卓帜歪怎现缀冠异劲劈壮棱凝巡融唆茁赵茂咒疥奇雾啪咯窒促半栈溢忆徊荧或司汲鳖沙蛇遭裂幸食吓经鹊欢役呐疫泥扫翔粱