2016届高考理科数学第一轮课进冲关检测26.doc

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第三章 第6节

一、选择题
1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C．－ D.
解析：由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝.
∵a>b，A＝60°，∴B为锐角．
∴cos B＝＝＝.
答案：D
2．(2015·德州市一模) ABC中内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝(　　)
A.π B.π
C. D.
解析：由题意得，c＝2b，cos A＝＝＝，所以A＝.
答案：D
3．(2015·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　)
A. B.
C．2 D．2
解析：S＝×AB·ACsin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝.
答案：B
4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：因为a＝2bcos C，所以由余弦定理得：a＝2b·，整理得b2＝c2，因此三角形一定是等腰三角形．
答案：C
5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为(　　)
A. B.
C. D．－
解析：由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C，又c2＝(a2＋b2)，得2abcos C＝(a2＋b2)，即cos C＝≥＝. 所以选C.
答案：C
6．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ等于(　　)

A. B.
C. D.
解析：如图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，
∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝20.
由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
答案：B
二、填空题
7．(2015·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ ac，则角B的值为________．
解析：由余弦定理，得＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝，∴sin B＝，∴B＝或.
答案：或
8．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________.
解析：设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C得5＝25＋x2－2·5·x·，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.
答案：4或5
9．(2014·四川高考)如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
解析：AC＝92，BC＝·sin A＝·sin 37°＝×0.60＝60 (m)．
答案：60
10．(2015·广东重点中学联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为________．
解析：由正弦定理＝＝
得＝＝，
即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)·cos B，化简可得，sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，
又知A＋B＋C＝π，所以sin C＝3sin A，
因此＝3.
答案：3
三、解答题
11．(2014·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)∵cos A＝，B＝A＋，
∴A必为锐角，sin A＝，sin B＝cos A＝
由正弦定理知：b＝＝＝3.
(2)∵B＝A＋，∴B为锐角，cos B＝－
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝
∴S△ABC＝absin C＝×3×3×＝.
12．(2015·福建莆田质检)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈.将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆于点B，过B作BC⊥y轴于点C.
(1)若点A的纵坐标为，求点B的横坐标；
(2)求△AOC的面积S的最大值．
解：由定义得A(cos α，sin α)，
B，依题意可知sin α＝，α∈，所以α＝，所以点B的横坐标为cos＝cos ＝－.

(2)解法1：因为|OA|＝1，|OC|＝sin，∠AOC＝－α，所以S＝|OA|·|OC|·sin ∠AOC＝sin ·sin ＝
cos α
＝
＝
＝＋
＝sin ＋.又因为α∈，所以∈，当2α＋＝，即α＝时，sin取得最大值为，所以S的最大值为.
解法2：因为|OC|＝sin，△AOC的OC边上的高为点A的横坐标为cos α，所以S＝|OC|·cos α＝·sincos α.(余下同解法1)

[备课札记]

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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