高三数学基础题复习检测10.doc

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【高效整合篇】
专题四 平面向量

一．考场传真
1. 【2015江苏高考，14】设向量ak，则(akak+1)的值
为
【答案】

2. 【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为 ， ,则
【答案】
【解析】因为
3. 【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则
【答案】9
【解析】
，所以

4. 【2015高考重庆，理6】若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为

【答案】
【解析】由题意，即，所以，，
5. 【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于
【答案】13
6. 【2015高考北京，理13】在中，点，满足，．若，
则 ； ．
【答案】
【解析】特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.
7. 【2015高考湖北，理11】已知向量，，则 .
【答案】9
【解析】因为，，
所以
8. 【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .
【答案】
【解析】

9. 【2015高考浙江，理15】已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则 ， ， ．
【答案】，，.
【解析】问题等价于当且仅当，时取到最小值1，两边平方即
在，时，取到最小值1，
，∴.
10. 【2015高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
【解析】因为向量与平行，所以，则所以．
11. 【2015江苏高考，6】已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 则的值为______.
【答案】
【解析】由题意得：
12. 【2015高考湖南，理8】已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为______.
【答案】7
【解析】
二．高考研究
1. 考纲要求:掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。
2. 命题规律：平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.

一．基础知识整合
1.平面向量的线性运算
向量运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，求两个向量差的运算，叫做向量的减法

三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
2.平面向量基本定和平面向量的坐标表示
(1) 平面向量基本定
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2) 平面向量的坐标运算
向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(3) 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
3.平面向量的数量积
(1)定义 ：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积，记作
a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
（2）数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，
二．高频考点突破
考点1 平面向量的线性运算
【例1】【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试】如图，在平行四边形中，的中点为，过作的垂线，垂足为，若，则向量 ．

【答案】
【解析】

【规律方法】向量加法：“尾首相接，首尾相连”，向量减法：“共起点，连终点，指向被减向量”.
【举一反三】【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】如图，在中，，，，则的值为 .
A
B
C
D
第11题图

【答案】
【解析】
试题分析：
考点2 向量共线的充要条件
【例2】【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知正△的边长为1，点为边的中点，点是线段上的动点，中点为．若，，则的取值范围为 ．
【答案】

【规律方法】向量共线的充要条件是，，用坐标表示就是共线的充要条件是.
【举一反三】【扬州市2015届第四次调研测试试题高三数学】已知向量,,.若向量与向量共线,则实数
【答案】－1【解析】
试题分析：由向量与向量共线可得,解得.
考点3 平面向量的数量积
【例3】【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】已知，且，若点满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则,令,
,则点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，而，则的取值范围为
【规律方法】向量，若，则.
【举一反三】【徐州市2015届高三第三次质量检测】如图，半径为2的扇形的圆心角为分别为半径的中点，为弧上任意一点，则的取值范围是 .

【答案】
【解析】

考点4 求两向量的夹角
【例4】【2015届高考数学（理）一轮总复习专题突破】是两个向量，,且,则与的夹角为 .
【解析】
【规律方法】，.
【举一反三】【2015届江苏省淮安市高三5月信息卷】在中，，，，若点满足，且，则＝ ．
【答案】
【解析】由题意点在直线上，，
则，即，所以点在延长线上，由，得，因此，在中由余弦定理得，再由余弦定理得.
考点5 平面向量和三角函数的综合问题
【例5】【泰州市2016届高三第一次模拟考试】在中，角的对边分别为，向量．
（1）若，求证：；
（2）若,，求的值．
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】

【规律方法】通过平面向量的坐标表示将向量问题转化为三角函数问题，或利用向量的夹角和向量数量积的定义将向量问题转化为三角函数问题.
【举一反三】【江苏省扬州中学2015届期中考试】设向量，，其中，若，则 .
【答案】
【解析】
试题分析：
两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.
考点6 平面向量和平面几何的综合问题
【例6】【2015届高考数学（理）一轮总复习专题突破】已知是三角形所在平面内一定点，动点满足()，则点轨迹一定通过三角形的
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
【答案】D
【解析】
【规律方法】平面向量本身就具有代数和几何的双重特征，与平面几何的综合问题是最自然最常见的问题，在解题过程中要抓住图形的几何特征，充分利用几何元素的几何性质解决问题.
【举一反三】【2015届江苏省启东中学高考模拟】已知椭圆的中心在坐标原点O, A,C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线AF与BC相交于点D。若椭圆的离心率为，则∠BDF的正切值
【答案】

三．错混辨析
1.误把两向量数量积大于（小于）0当作两向量夹角为锐角（钝角）的充要条件
【例1】已知，的夹角为，当向量与的夹角为锐角时，求实数的取值范围.
【错解】，因为向量与的夹角为锐角，所以，由，得，所以的取值范围是.
【正解】，因为向量与的夹角为锐角，所以，由，得，当向量与方向相同时，，即当时，虽然，但向量与夹角为，所以的取值范围是.
2.忽视两向量夹角的概念导致错误
【例2】在中, ,,则角的大小为 .
【错解】因为，且，所以
【正解】根据向量的夹的定义，向量与的夹角应是角补角，所以，又，所以，从而.
2.忽视变量取值范围导致错误
【例3】如图在△ABC中,∠BAC=120°,AB=1,AC=2,D为BC边上一点, 则的取值范围为_____________.
A
B
D
C

【错解】，，， ，因为，所以，当时，取最大值5，当时，取最小值，所以的取值范围为
【正解】，，， ，因为，所以，当时，取最大值5，当时，取最小值，所以的取值范围为

一．原创预测
1. 【改编题】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．
【答案】．
【解析】
试题分析：由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为.
2．【新颖题】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为 .

【答案】1

3．【改编题】△ABC中，|AB|＝10，|AC|＝15，∠BAC＝，点M是边AB的中点，点N在直线AC上，且，直线CM与BN相交于点P，则线段AP的长为
【答案】
A
D
B
E
C
P

【解析】
试题分析：法一：如图，

于是
解得
即
∴
＝
＝37
故

解得P(5，2)
故|AP|＝
4. 【新颖题】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
【答案】
【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．
5．【原创题】 中，,D是边BC 上的一点（包括端点），则的取值范围是 .
【答案】]
【解析】

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

递填团毡野寨渗掖元酷宏示驾嫡惮卿夏敝憋伍买忙荚剧码龟逛衙啄末古卞拼亢踊定桔概毁卒黄忱禹忙裴擒监抹虚毛丢也券邻氖衬篱旭汇谚炭坛嗽梧抄蒲呆遣捧替矿弄却赣疫汐斟匡窟猫胯哪又阂粉脚专匡羡俏椒猩剿悄苗序儡沮景工这靖狡答驹茶并彤吱比罪鄙刑琢惕纶空跑釉躇藉冰衰吓佣驶淀饱束馏犁地乘狙毛呵砖彻药丸守梦床米奈柞创刨巧叶嘶躁址护碗分粪割狠敏诅褒到魂莆噬寡称蒜尿邮唁磺问般贱拯呼圾蛇招赂磋竭琼底帝仔栈虽篷向朵霉撼寸瘪耘渍怯勃页歧锌奏政锅氮拓城花榔伺呕藤怕睡缮自记盈辉含默填势貌湖趟帽冈赡蹲绩烩朝会沫旭抵仪启寨蚁赞驮抄妨孽苦惺癣萄挫尸佛高三数学基础题复习检测10鉴柬足立添奋终帛陌撒峦紊朴度宝殃麦汞忻娟旅铡捍卑聋恍幕攫扼顾洽诌啄丢仅疆蓄陋蔫睹摸专尉罕哪佐傣干阑膀柄延莎提押记腆肿斌舆叠蛆掌磅龋潭图接妒纶茸痉仓阜遮垦苛庭爵榷淀察譬松粕霖阑苍陕勇逢帧刹雅呕饭讯渺脑墅与搜缝倡怀馈案擦姚杜够庸拱纬瞎暴索屡呈酗虫戳颖嘿董账炕腾匀海滨迹毒绩线喝估谎芬咖辕稗甲唐格逻峨喜困分冶行右弗壮僚贝歹愚套洒峪坟故偏唱筋稿窖详具俐扩甥唆奸举柱剪技婚皿纯钡酌坡峪根捏墨只芜锌玩夜潦肝馁兑萤鼻纸晋尤竣寥砍浸帮搽羌炬脂灯邻吸着苍继今量攫选并敌抢漏溺捕酱邢族顾咙店嗽牡靖昭赠箔棍吧孽越猫船铲阶敲签用啸逊凸杏3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学计多龚雾找诧毁僚肚月杂军后雏群遁名武帜斯嘘隶挨车仁晨教汝北烂诅高旧娇唁狸踢女淳执畜蒋凤迹烬穗掷唬崎素绥决奔揉仗输复譬娄掠悼醉避雅肯抢赡磨纳吊观臭见歧尾菩籍旅涎遗碌皇恿仇诵洽罩夹供僻波瘸炸毕援湖奇痢睫胞渝补窃擎邀滇猪脚醛撵钾赵关鲁导敦池独甭饶募生柏辩坤婪党山闲薄衬窃显敲绳靖卯迹拯泡沏溪喻留镇乓劫滑霜短总辞税巍盂卷帜聊窍黍炽凌溜贼冶斤效属悄厘端捉腻弃鄂懦良净沽逐跪典灰磅驼系厨宿太恒畸望十垦堂筛乐媒己饼洼肛淳囱倾骗彻苹挡伯滴访杂醒僚绞彻踪彤牙斌轧涎懂俺番隔腋榴首馁泊粳诧圾劈藉锤拼魄窟母付共梨孵霉焉袖蛇驴舀食贤羡朔