江西省丰城中学2016届高三数学上册第四次月考试题.doc

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丰城中学2015-2016学年上学期高三月考试卷
数 学 理　科（课改实验班）
命题人：吴爱龙 　 审题人：龚金国 　 2015.12.04
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的可能区间是(　　)
A．(0,1)　 　 B．(1,2)　 　C．(2,3)　 　D．(3,4)
2．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6．3，则a的值为(　　)
X
4
a
9
P
0．5
0．1
b
A．5　　 B．6　　 C．7　　 　 D．8
3．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是(　　)
A．5 B．7 C．11　 D．13
4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　)
A．C102 B．C2 C．C22　 D．C102
5．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　)
A．10 B．3　　 C. D.
6．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定安排两位爸爸，另外，两个小孩一定排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为(　　)
A．48 B．36 C．24　 D．12
7．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(ax＋b)2(x∈R)是(　　)
A．既是奇函数又是偶函数 　 B．非奇非偶函数 C．偶函数　 D．奇函数
9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a，b，c的值为(　　)
A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a，b，c
10．F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　)
A．2 B． C．　 D．
11． 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是(　　)

A.(2－)m B.(2＋)m C.(2－)m D.(2＋)m
12．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为(　　)
A．　 B．　 C．　 D．

二、填空题（每小题5分，共２0分）
13．已知函数f(x－2)＝则f(1)＝________.
14. 已知3的展开式中的常数项为a，则直线y＝ax与曲线y＝x3所围成的图形的面积为________．
15．在区间[－1,1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根的概率为________．
16．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．

三、解答题（共７0分）
17．（本小题满分12分）请认真阅读下列程序框图，然后回答问题，其中n0∈N．
(1)若输入n0＝0，写出所输出的结果；
(2)若输出的结果中，只有三个自然数，求输入的自然数n0的所有可能的值．

18．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E为棱CC1上的动点．
(1)求异面直线BD与A1E所成的角；
(2)确定E点的位置，使平面A1BD⊥平面BDE.

19．（本小题满分12分）甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．
(1)求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；
(2)记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．

21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，其图象在y轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x＝0，x＝2时取得极小值．
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f(x)的图象关于此直线对称，并证明你的结论；
（Ⅲ）设关于x的方程f(x)＝λ2x2－5()的两个非零实根为x1、x2．问是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分10分）已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.
①解不等式f(x)≤4；
②若存在x使得f(x)＋a≤0成立，求实数a的取值范围.

四、附加题（共10分）
23．（每小题5分）
(1)已知三棱锥的底面是边长为的正三角形, .若为的中心,则的长为 ．
(2)若函数,则的最小值是 ．

丰城中学2015-2016学年上学期高三月考试卷
数 学 理　科（课改实验班）
　　　　　　　　　　 参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的可能区间是(　　)
A．(0,1)　 　 B．(1,2)　 　C．(2,3)　 　D．(3,4)
解析：容易知道，原函数单调递增，f(1)＝ln 2－2<0，
f(2)＝ln 3－1>0，故零点在区间(1,2)上，故选B.
2．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6．3，则a的值为(　　)
X
4
a
9
P
0．5
0．1
b
A．5　　 B．6　　 C．7　　 　 D．8
解析：由题意得0．5＋0．1＋b＝1，且E(X)＝4×0．5＋0．1a＋9b＝6．3，因此b＝0．4，a＝7．故选C．
3．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是(　　)
A．5 B．7 C．11　 D．13
解析：间隔数k＝＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数值为7．故选B．
4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　)
A．C102 B．C2 C．C22　 D．C102
解析：“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝C92＝C102．故选D．
5．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　)
A．10 B．3　　 C. D.
解析：＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为|||cos〈，n〉|＝＝＝. 故选D.
6．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定安排两位爸爸，另外，两个小孩一定排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为 (　　)
A．48 B．36 C．24　 D．12
解析：由题意得，爸爸排法为A种，两个小孩排在一起有A种排法，妈妈和孩子共有A种排法，∴排法种数共为A×A×A＝24(种)．答案：C
7．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
依题意得圆心C(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，
所以有2a×(－1)＋b×2＋6＝0， 即a＝b＋3. ①
又由点(a，b)向圆所作的切线长为 l＝， ②
将①代入②，得l＝＝，
∵b∈R，∴当b＝－1时，lmin＝4. 故选C.
8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(ax＋b)2(x∈R)是(　　)
A．既是奇函数又是偶函数 　 B．非奇非偶函数 C．偶函数　 D．奇函数
解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2.
又∵f(－x)＝a2(－x)2＋b2＝a2x2＋b2，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．故选C．
9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a，b，c的值为(　　)
A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a，b，c
解析：由题意知，等式对一切n∈N*都成立，可取n＝1,2,3，代入后构成关于a，b，c的方程组，求解即得．令n＝1,2,3分别代入已知得
即
解得，a＝，b＝，c＝. 故选A.
10．F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　)
A．2 B． C．　 D．
解析：如图所示，

由双曲线的定义，得|BF1|－|BF2|＝|AF2|－|AF1|＝2a，因为△ABF2是正三角形，
所以|BF2|＝|AF2|＝|AB|，因此|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，且∠F1AF2＝120°，
在△F1AF2中，4c2＝4a2＋16a2＋2×2a×4a×＝28a2，所以e＝．故选B．
11． 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是(　　)

A.(2－)m B.(2＋)m C.(2－)m D.(2＋)m
解析：由题知，此球内切于四棱锥时，半径最大，
设该四棱锥的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，OP，易知
VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，
即×m2×m＝×m2×r＋××m2×r＋××m2×r＋××m2×r＋××m2×r， 解得r＝(2－)m， 所以此球的最大半径是(2－)m. 故选C.
12．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为(　　)
A．　 B．　 C．　 D．
解析：依题意，得(3＋5)2＝(－4)2,92＋252＋30·＝2，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－，sin∠AOC＝＝，△AOC的面积为||||sin∠AOC＝，故选A．

二、填空题（每小题5分，共２0分）
13．已知函数f(x－2)＝则f(1)＝________.
解析：令x－2＝1，则x＝3，∴f(3)＝1＋32＝10. 答案：10
14.已知3的展开式中的常数项为a，则直线y＝ax与曲线y＝x3所围成的图形的面积为________．
解析：Tk＋1＝C3－k(x2)k＝Cx3k－3，令3k－3＝0，得k＝1，
即常数项a＝3，直线y＝3x与曲线y＝x3交点的横坐标分别为－，0，，所以所围成图形的面积为2(3x－x3)dx＝2＝．答案：
15．在区间[－1,1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根的概率为________．
解析：由题意知－1≤m≤1，－1≤n≤1．要使方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根，则Δ＝m2－4n2>0，即(m－2n)(m＋2n)>0．作出可行域，如图，当m＝1时，nC＝，nB＝－，所以S△OBC＝×1×＝，所以方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根的概率为＝＝．答案：

16．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为P(x0，y0)，则
由①－②，得x－x＝，
即(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，也即2x0＝··2y0＝·(－1)·2y0，
∴y0＝－3x0， ③
又P在直线y＝x＋m上，∴y0＝x0＋m， ④
由③④解得P．
代入抛物线y2＝18x，得m2＝18·， ∴m＝0或－8．
经检验m＝0或－8均符合题意． 答案：0或－8

三、解答题（共７0分）
17．（本小题满分12分）请认真阅读下列程序框图，然后回答问题，其中n0∈N．
(1)若输入n0＝0，写出所输出的结果；
(2)若输出的结果中，只有三个自然数，求输入的自然数n0的所有可能的值．

解：(1)若输入n0＝0，则输出的数为20,10,5,4,2．
(2)要使结果只有三个数，只能是5,4,2．所以应使5≤<10．
解得1<n0≤3，即n0＝3,2．所以输入的n0可能值为2,3．
18．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E为棱CC1上的动点．
(1)求异面直线BD与A1E所成的角；
(2)确定E点的位置，使平面A1BD⊥平面BDE.
证明：(1)连接AC，A1C1，
∵正方体AC1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.
∵正方体ABCD中，AC⊥BD且AC∩AA1＝A，
∴BD⊥平面ACC1A1且E∈CC1，
∴A1E⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1E.
(2) E为CC1中点.
设AC∩BD＝O，则O为BD的中点，连接A1O，EO，
由(1)得BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥A1O，BD⊥EO.
∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，E为CC1中点，
∴A1O2＋OE2＝AA＋AO2＋OC2＋EC2＝a2＋2＋2＋2＝a2，
A1E2＝A1C＋C1E2＝2a2＋＝a2，即A1O2＋OE2＝A1E2，∴A1O⊥OE.
又OE∩BD＝O，∴A1O⊥平面BDE. 又A1O⊂平面A1BD， ∴平面A1BD⊥平面BDE.
19．（本小题满分12分）甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．
(1)求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；
(2)记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解：(1)记“乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球”为事件A，包含如下两个事件：从甲袋中取出1个红球投入乙袋，然后从乙袋取出的2个球中仅有1个红球；从甲袋中取出1个白球投入乙袋，然后从乙袋取出的2个球中仅有1个红球．分别记为事件A1，A2，且A1与A2互斥，
则P(A1)＝×＝， P(A2)＝×＝，所以P(A)＝＋＝．
故从乙袋取出的2个小球中仅有1个红球的概率为．
(2)ξ＝0,1,2．
P(ξ＝0)＝×＋×＝，
P(ξ＝1)＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝．
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．
20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．
解：（Ⅰ）由：知．设，在上，因为，所以，得，． 在上，且椭圆的半焦距，于是
消去并整理得 ，
解得（不合题意，舍去）．故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，
因为，所以与的斜率相同，故的斜率．
设的方程为．由消去并化简得
．设，，
，．
因为，所以．
＝．
所以．此时，
故所求直线的方程为，或．
21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，其图象在y轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x＝0，x＝2时取得极小值．
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f(x)的图象关于此直线对称，并证明你的结论；
（Ⅲ）设关于x的方程f(x)＝λ2x2－5()的两个非零实根为x1、x2．问是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）解：∵函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y轴上的截距为－5， ∴c＝－5．
∵函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∴x＝1时取得极大值，又当x＝0，x＝2时函数f(x)取得极小值．
∴x＝0，x＝1， x＝2为函数f(x)的三个极值点，
即f'(x)＝0的三个根为0，1，2，∴f '(x)＝4x3＋3ax2＋2bx＝4x(x－1)(x－2))＝4x3－12x2＋8x．
∴a＝－4，b＝4, ∴函数f(x)的解析式： f(x)＝x4－4x3＋4x2－5．
（Ⅱ）解：若函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴,设对称轴方程为x＝t，则f(t +x)＝f(t－x)对x∈R恒成立．
即: (t +x)4－4(t +x)3＋4(t +x)2－5＝(t－x)4－4(t－x)3＋4(t－x)2－5．
化简得(t－1)x3+( t3－3 t2 +2t)x＝0对x∈R恒成立．
∴∴t＝1．
即函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴x＝1．
（Ⅲ）解： 方程f(x)＝λ2x2－5，即x4－4x3＋4x2－5＝λ2x2－5，
即x4－4x3＋4x2－λ2x2=0，亦即x2（x2－4x＋4－λ2）＝0，∵x＝0是一个根，
∴方程x2－4x＋4－λ2＝0的两根为
|x1－x2|＝＝2|l|0，
要使m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3]恒成立，只要m2＋tm＋2≤0对任意t∈[－3，3] 恒成立，令g(t)＝tm +m2＋2 , 则g(t)是关于t的线性函数．
只要解得
∴不存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3]恒成立．
22．（本小题满分10分）已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.
①解不等式f(x)≤4；
②若存在x使得f(x)＋a≤0成立，求实数a的取值范围.
解析　①y＝|2x＋1|－|x－3|＝

作出函数y＝|2x＋1|－|x－3|的图象，它与直线y＝4的交点为(－8,4)和(2,4).
∴|2x＋1|－|x－3|≤4的解集为[－8,2].
②由y＝|2x＋1|－|x－3|的图象可知，当x＝－时，f(x)min＝－.
∴存在x使得f(x)＋a≤0成立的条件是－a≥f(x)min， ∴a≤.
四、附加题（共10分）
23．（每小题5分）
(1)已知三棱锥的底面是边长为的正三角形, .若为的中心,则的长为 ．
(2)若函数,则的最小值是 8 ．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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