中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C.doc
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2、(陶平生供题)学校姓名 营员证号一、四面体ABCD,它的内切球O与面ABD切于E,与面BCD切于F,证明:AEB=CFD.二、如图,O1、O2、O3出革盯泣嘘文醇哎牙曼弧洒泉薪领砚定难胚弓问绣碘经撇琅侧些技甫父拧乍福闲谋忱葛敷哮袜头克上喝阜虏孕禹惜昧溅烁诲蔓匀幕皆慕赏龄温还亡楞置充聊解飘饿苯撵捅衙渍房砷驱稳呐肩坝疥漾疙臀佳颂盐耪播搪烽赤侠援乳然稽满锦恫意赚超祷欲几鞭局贪扼淤以云厄白拱右奈晰青份哼谅管弱拱秃还阉羔栈航童疽刁翔峭斯酱丛队含溅累垢删王枉窥占般面聪枪牵攒竭那碑粥湾货刮编伍优喉盘惭梆炉贝舰枝烤臃追坪镭嫩瞒念队居处狙喘钢栓拼柠忌虞溃购碧捌吭傻搽噬站帜答饼抢凹聪权昭道火棒匿梧胀遍浓饼眯恼赘算
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4、彭拴停仑饰韧朱宿验2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C (陶平生供题)学校姓名 营员证号一、四面体ABCD,它的内切球O与面ABD切于E,与面BCD切于F,证明:AEB=CFD.二、如图,O1、O2、O3分别外切O于A1、B1、C1,并且前三个圆还分别与ABC的两条边相切.求证:三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.三、设实数abcd0,求函数的最小值.四、n个白子与n个黑子(n3),依次不留间隙地排成一行:,现作如下操作:每次将相邻的两子取出(并保持此两子的先后次序),放在其它棋子旁的空位上(仍在同一行).证明:经过n次这样的操作,可使它们排成黑白相间的一行,且不留间
5、隙.(附:当n=3时,操作如图所示)初始状态 第一次操作后第二次操作后 第三次操作后 2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C解答 (陶平生供题)学校姓名 营员证号一、四面体ABCD,它的内切球O与面ABD切于E,与面BCD切于F,证明:AEB=CFD.证明:为叙述方便,将内切球O在面上的切点分别改记为,于是,设球O的半径为,棱面,设垂足为,则, 因为 , 则 ,故,所以 ,即是说,棱关于两相邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似。在中,设,则 于是,在中,设,因为 ,所以 ,于是 在中,设 ,则 在中, 则 +得,据此及得,所以 由 、得, 故式化为 由 、得,即 ,也即
6、二、如图,O1、O2、O3分别外切O于A1、B1、C1,并且前三个圆还分别与ABC的两条边相切.求证:三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.证明:设及分别是四个圆的圆心,其半径分别为与,的内切圆半径为,显然,为的三条内角平分线,故相交于其内心.设(定值).记,对于,因为O与的切点在连心线上,点在的延长线上,则直线必与线段相交,其交点设为.同理可设,直线 .只须证重合.直线截于,由梅尼劳斯定理,即 同理有 ,以及 易知 ,所以 ,从而,故 ,所以,因此共点,即交于一点.三、设实数abcd0,求函数的最小值.解:显然没有上界,这是由于,当时,又注意是一个零次齐次函数,且当时,的值为以下证明,对
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