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中学数学中几种常用的数学思想方法

数学是研究现实世界中数量关系和空间形成的一门科学。随着科学技术的不断发展，数学也从原始形态的数量关系向抽象化的数量关系发展。在发展的过程中，不仅建立了严密的理论体系，而且形成了一整套的数学思想方法。本文结合有关的例题，对数学中常用的几种思想方法作一番探讨。
一、数形结合的思想方法
数形结合思想方法就是把抽象的数学符号语言和直观的几何图形联系起来，把抽象思维与形象思维相结合，通过“以形助数”、“以数解形”，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，从而达到解答目的。
数形结合应用甚广，不仅在解选择题、填空题中显示它的优越性，而且在解某些抽象数学问题时也起到事半功倍的效果。“以数解形”是解析几何的主线，“以形助数”是数形结合的研究重点。如何“以数转形”是数形结合的关键，图解法是数形结合的具体体现。数形结合是近年中、高考重点考查的思想方法之一。下面我们结合下面的例子作简单的分析：
例1.已知0<a<1，则方程的实根个数为()
A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个
分析：判断方程根的个数就是判断图像两个函数图像，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。
二、函数思想方法
函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用。用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想。这是一种运动变化和相依关系，以一种状态确定地刻划另一种状态，把它们过渡到研究变化过程的思想方法。函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是知识和方法在反复学习与运用中抽象出来的，且带有观念性的指导方法。
函数的思想就是用运动和变化的观点，分析和研究数学问题。具体来说，即先构造函数，把给定问题转化为研究函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、图象的交点个数、最值、极值等）问题，研究后得出所需要的结论。上面的例1和例2也可以说阐述了这个观点。而函数方程思想就是将数学问题转化为方程或方程组问题，通过解方程（组）或者运用方程的性质来分析、转化问题，使问题得以解决。
例2.求证：不论a取什么实数，方程必有两个不相等的实根。
分析：此题若用常规解法，求出判别式△是一个关于a的一元四次多项式，符号不易判断。若用函数思想去分析题意，设函数，要证明命题成立，只需证明函数的图象与轴有两个交点，由于它的开口向上，只要找到一个实数，使即可。比如。故函数的图象与轴有两个交点，因此命题成立。
三、转化思想
人们在长期的实践中，积累了丰富的经验，许多数学问题的解决形成固定的方法模式和程序，我们把这种既定方法和程序的问题称为规范问题。运用某些方法或手段，把一个陌生的、复杂的数学问题转化归结为所熟知的、简单的规范性数学问题来解决的思想方法称为转化思想方法。转化的原则是化陌生为熟知，化繁杂为简单，且转化后的问题与原问题等价。数形结合的思想方法和函数的思想方法都是转化思想方法的具体表现。
数学中转化的途径是多样的，有正面与反面的相互转化，有数与形的相互转化，有客与主的相互转化，有特殊与一般的相互转化，有升维与降维的相互转化等，总之是要将较难解决的问题转化为易解决的基本问题。提倡立体思维，善于从多角度、多方位和多层次去审视问题，另辟蹊径是我们解决问题的最好方法。
1.求代数式的值
这类问题经常是给出一个已知方程或代数式的值，去求另外一个代数式的值，解决的方法是从已知条件出发，将已知条件向所要求的结论转化或者将所要求的目标向已知条件转化，从而达到解决问题的目的。
本例通过一个命题的题设与结论的转化，使他们之间的关系进一步明朗化，从而解决了问题。
2.将函数思想转化为方程（组）问题
通过以上几例，我们可以看到解数学问题的时候，如果能恰当合理地把问题转化，则能启迪思维，简洁巧妙地解决问题，同时也能加强学生的数学思想方法的培养。
总之，上述的三种数学思想方法（即数形结合、函数思想和转化思想）,在解决数学问题中具有举足轻重的作用，它不仅可以把一些直接无法解决或陌生的问题转化为易于解决，熟悉的问题来解，而且可以培养学生思维的发散性，灵活性，敏捷性。因此，数学教师在教学工作中，应当长期不断地夯实学生的数学基础，训练学生的基本解题技能，加强培养学生的数学思想思维。只有这样，才能使学生得心应手地运用数学思想方法，也只有这样，往往使运算简捷，推理机敏严密，同时大大提高了学生分析数学问题和解决数学问题的能力。

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