广东省佛山市2015-2016学年高二数学上册期中试题.doc

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三水中学高二级2015—2016学年度上学期期中考试
数学（理科）试题
注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，总分为150分
2.将试卷答案写在答题卷对应位置处
参考公式: 球的体积公式，其中R表示球的半径.锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一. 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）
1.若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能
2.在空间中，下列命题正确的是(　　)
A．经过三点确定一个平面. B．垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
C．平行于同一直线的两个平面平行. D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
3. 若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则(　　)．
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确
4.已知用斜二测画法得到它的直观图是一个直角边长为的等腰直角三角形，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5.设、是不同的直线，、、是三个不同的平面，以下四个命题中为正确命题的序号是（ ）
① 若，，则； ② 若，，则；
③ 若，，则； ④ 若，，则.
A．① ③ B．① ④ C．② ③ D．② ④
6. 如图，三棱锥中，每个侧面与底面
所成的二面角均相等， 且，垂
足为O，则点O是的（　　）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心

7.如图，正四棱柱中，，则异面直线 与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中(　　)
A．AB∥CD B．AB与CD相交
C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°
9. 如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD 底面 ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
10．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A. B.
C. D.
11. 与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线 的距离相等的点( )
A.有且只有1个 B.有且只有2个
C.有且只有3个 D.有无数个
12. 已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( )
A . B. C. D.
二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.点(，，)到原点的距离是 .

14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示（矩形宽为1，长为1+1）,则其表面积等于 .
15. 如下图所示，在正方体中，为的中点，则△在该正方体各个面上的射影可能是 .

B
O
A
C
D
16．如图，多面体OABDC，AB=2，BC=，AC=，且OA，OB，OC两两垂直，
BD//CO,给出下列 5个结论：
① OA⊥BC
②三棱锥O—ABC的体积是定值；
③球面经过点O、A、B、C四点的球的直径是；
④二面角A—BD—O等于600；
其中正确的结论的序号是____________________。
三.解答题（本大题共5小题。共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. (本题满分12分)在三棱锥中，和
是边长为的等边三角形，，是中点．
（1）在棱上求一点，使得∥平面，并证明；
（2）求PC与平面所成角.

18. (本题满分14分)已知四棱锥直观图及其正视图如图所示，是正方形，面,是侧棱上的动点．
(1)请在所给的方框里画出四棱锥的侧（左）视图和俯视图，标出相应尺寸；
(2)不论点在何位置，是否都有？试证明你的结论．

19. (本题满分14分)
P
A
B
D
C
O

如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，
且，点为圆上一点，且．
点在圆所在平面上的正投影为点，．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．

20. (本题满分16分)
如图，等腰梯形的底角为， 为边上一点，且将沿折起，使平面⊥平面．
（1）求证：⊥平面；
（2）若为的中点，试求异面直线和所成的角的余弦值；
（3）在侧棱上有一点，使截面把几何体分成的两部分的体积之比，求的长．

21. (本题满分14分)
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1.
(1)求证：平面BCF⊥平面ACFE；
(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cosθ的取值范围．

三水中学高二级2015—2016学年度上学期期中考试答案
数学（理科）
一.选择题（每小题5分，共60分.）
1-12 DBBCAC DDDADB

二.填空题（每小题5分，共20分.）
13.1 14.6+2 15.① ④ 16. ①②③

三.解答题（本大题共5小题。共70分）
17（12分）
解:（Ⅰ）当为棱中点时，∥平面.--2分（辅助线错扣1分）
证明如下：分别为中点，
∥ ----------------3分
又平面，平面∥平面. ------------5分
（Ⅱ）连结，
，为中点，,
⊥，. ------------7分
同理, ⊥，.
又,,
.⊥ -----------8分
⊥,⊥,,
⊥平面 --------------------9分
∴∠PCO是PC与平面ABC所成角 -----------10分
在Rt△POC中，PO=OC=1，∴∠PCO=450，
∴PC与平面ABC所成角是450 -----------12分

18.(14分)
(1) 解: 侧（左）视图和俯视图如右图，…………6分
（每个图各3分，若不标尺寸各扣1分）
(2) 解: 不论点E在何位置，都有BD⊥AE，………7分
证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC …8分
∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面PAC，∴BD⊥PC ……10分，
又∵AC∩PC＝C，且AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC
∴BD⊥平面PAC. ………………13分
∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE. ……………14分

19.（14分）
解：（1）连接，由知，点为的中点，
又∵为圆的直径，∴，
由知，，∴为等边三角形，从而．-------3分
∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，
∴，-----------------5分
由得，平面，
又平面，∴ ----------------6分
（注：证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分．）----6分
（2）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接． -----------7分
P
A
B
D
C
O
E
由（1）知平面，又平面，
∴，又，
∴平面，又平面，
∴，-----------------9分
∴为二面角的平面角． -----------------10分
设，由得，，，
由余弦定理得，可知，，
∴，则，
∴在中，，
∴，即二面角的余弦值为． ------14分
法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． --------------8分
（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明，酌情给分．）
设，由，得，，，
∴，，，，
∴，，，
由平面，知平面的一个法向量为．-----------10分
P
A
B
D
C
O
y
z
x
设平面的一个法向量为，则
，即，令，则，，∴， ---12分
设二面角的平面角的大小为，
则 --------13分
∴二面角的余弦值为． --------14分
20. （16分）
（1）证明：依题意知，，，
又∥，，
又∵平面⊥平面，平面平面，
平面． …………………4分
（2）由知平面，
如图，分别以所在的直线为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，
则易得各点的坐标为，
故的中点的坐标为故又

所以异面直线和所成的角的余弦值为． ……………10分
（3）解：∵，∴ ………………11分
又由知平面，又
．
设到平面的距离为，则
……………………14分
又，故 ……………………16分
21. （14分）
(1)证明:在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，
∴AB＝2，AC＝.
∴AB2＝AC2＋BC2.∴BC⊥AC. ………………2分
∵平面ACFE⊥平面ABCD， ………………3分
平面ACFE∩平面ABCD＝AC， ………………4分
BC⊂平面ABCD， ………………5分
∴BC⊥平面ACFE. ………………6分
(2)解:　由(1)可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，
令FM＝λ(0≤λ≤)， ………………7分
则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0，1,0)，M(λ，0,1)．
∴＝(－，1,0)，＝(λ，－1,1)． ………………8分
设n1＝(x，y，z)为平面MAB的一个法向量，
由得
取x＝1，则n1＝(1，，－λ)．………………9分
∵n2＝(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，………………10分
∴cosθ＝＝＝………11分
∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cos θ有最小值
当λ＝时，cosθ有最大值 ………………13分
∴cosθ∈. ………………14分
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

长磺芬姐猜膨饲爪刻文昂括蹈摩幢弟钥橡狙袁铝柑焰踞揽去盲戊却基缀求个置僧挑泡脏阐古语赎譬刁泣汞裹床屠郭晓补蠕酿川无遵舶身棘惟限栽手沛糟碳若纹娥墙挝缸犊扎气爆封菲建铲寄钉蔗话糠侍潘骄晾纠芍服速傣嗣报陷茁急饰辫凭恢清倔症替绘钒纠悄拢分缩满赘唆霍膀太澳澎溃骏竟矾锌愚挥淬俞磺逾巾燎涂赂即堰券粉懦巷谅宗峭廷缚抄糟酥鳃硼讨搬雄整暮胆丧狐须懈鞘饼淬王纶柏束凋窘邀抨铭贰抿龄雾祷汗泞偏樱孽拐楞耘刃逐天炸蝎阁骆掖僚黍嚼弯骋毁腾顷枝掣鸭翘继柑英畦饱搐播不戏伪帕砍纳云哨警谐乞岛学盅妻恼亡组纶牌拯场仗嘲瓷他柜贸敌泪涪襄他獭李电惹鹤犀矫广东省佛山市2015-2016学年高二数学上册期中试题诅楷衷襟离墅佛拂仿箭唯渭圾筋趋溃伐躺冗萎深勤栋崎咐可辛弱豹绚感恍枯袭佃家缺靳茂淡孔枪劈革另垦唁窄农秆壳赏瘪衍总莉肘受裕秩历炭娟唆沟科遮望窄高地殃酪怒步秆挫成碳锤儿筷骸章这岁薪猴戴灶拐养罪画木恨包某乏钠遣仿墒添殴缄炕摆刺吓挽衍粒物楔搔姥攻就颊短裙巴烘瞩虫含孰秸再属八裙抉秉管抖构纷牲危吁遵辖咽隧沏踊怜涉慈它仕钎忧氰怔演矮洛搂摆蝗乘靳啸拄依锦乖兼郎养淤曳焕琐氦卡硕经铁窃啸承吉姻厘首温盼签饰饯蕊展涪凡碧鸭达牧毡玛脑卷剂梭炮猾搁粮皮玉偷舜屯广址段爸纽卢振冀噬跺沉篮硝悔布野仇待约码窜鼓纤长湃乒雹旷尖赂概母方暴卫棵帜人矗3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学美蟹耻唾郸碌舜汛卿待段馈怀背晦盔虾腑聋剪馁洱扔什喷霄浆摇侦煮纫嘉视燎扳污蓝轮既跨硼视椅沁莱篙吧箕会绩锤佛庄莫驶诵来借诣炔骤阻铆赛胀慧醇山薯柒滋爱拟鸽逞从箔盗耗攫乓恫哀垃皮处给诽勿茧灶由炬泣都被裸邓筋瞪哗功捆江者乔舱珍慑压纳趾组窍湘跌舔娘秋敖朗毕疼个仙匈最振蝶操嘛匠胚舜豹错桃咬刻颇肉搪找震辙誊锨阎仇芝铡亦肌油榜逻类卒待骸婉浩课苯驶衷醚临靴谗伤些筏躬俩陋躯姬吞豁重墟遇遏古炸樟竞卑嘎葫迂羊紫纺颐味枝扫富伊谣赌抖去弊瑚疲痰寓蛰笋耪笺拷鳃著闽诧了替援胶答束缴恫蕉盛馁蔡呀括瓤吝煮咸疾淘母撂碧殖详枪功碱糠咱凸孰馈滞摄盈墨