考虑媒体影响的一类时滞传染病模型的分岔周期解.pdf
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1、第4 9卷 第4期2 0 2 3年1 2月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.4D e c.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 3 2 8基金项目:国家自然科学基金(1 2 0 6 1 0 3 3)第一作者:张子振(1 9 8 2),男,博士,教授,研究方向为动力系统的稳定性.通信作者:宋志强(1 9 6 7),男,硕士,教授,研究方向为系统动力学.文章编号:1 0 0 4
2、-4 3 5 3(2 0 2 3)0 4-0 3 3 3-0 8考虑媒体影响的一类时滞传染病模型的分岔周期解张子振1,张怡雪1,张伟诗1,宋志强2(1.安徽财经大学 管理科学与工程学院,安徽 蚌埠 2 3 3 0 3 0;2.呼伦贝尔学院 工学院,内蒙古 呼伦贝尔 0 2 1 0 0 8)摘要:为了研究媒体报道和时滞对传染病的影响,提出了一类考虑媒体影响的时滞传染病模型.首先,以媒体对疾病进行宣传报道的滞后时间为分岔参数,利用特征值法讨论了模型的局部渐近稳定性和H o p f分岔的存在性.其次,利用中心流形法研究了模型分岔周期解的稳定性.最后,通过数值模拟验证了所得结果的正确性.关键词:媒体影
3、响;时滞;传染病模型;局部渐近稳定性;H o p f分岔;周期解中图分类号:O 1 7 5.1 2 文献标志码:AT h e b i f u r c a t i n g p e r i o d i c s o l u t i o n s o f a d e l a y e d e p i d e m i c m o d e l c o n s i d e r i n g m e d i a i n f l u e n c eZ HANG Z i z h e n1,Z HANG Y i x u e1,Z HANG W e i s h i1,S ONG Z h i q i a n g2(1.S c
4、 h o o l o f M a n a g e m e n t S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g,A n h u i U n i v e r s i t y o f F i n a n c e a n d E c o n o m i c s,B e n g b u 2 3 3 0 3 0,C h i n a;2.C o l l e g e o f E n g i n e e r i n g,H u l u n b u i r U n i v e r s i t y,H u l u n b u i r 0 2 1 0 0 8,C h i n a
5、)A b s t r a c t:I n o r d e r t o e x p l o r e t h e i m p a c t o f m e d i a c o v e r a g e a n d t i m e d e l a y o n i n f e c t i o u s d i s e a s e s,a d e l a y e d e p i d e m i c m o d e l c o n s i d e r i n g i n f l u e n c e o f m e d i a w a s p r o p o s e d.F i r s t l y,t h e l
6、 o c a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y a n d t h e e x h i b i t i o n o f H o p f b i f u r c a t i o n w e r e d i s c u s s e d b y u s i n g t h e e i g e n v a l u e m e t h o d a n d r e g a r d i n g t h e t i m e d e l a y o f t h e m e d i a c o v e r a g e o f i n f e c t i o u s d
7、 i s e a s e a s b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r.S e c o n d l y,t h e s t a b i l i t y o f t h e b i f u r c a t i n g p e r i o d i c s o l u t i o n s w e r e s t u d i e d w i t h t h e a i d o f t h e c e n t r a l m a n i f o l d m e t h o d.F i n a l l y,t h e c o r r e c t n e s s o
8、 f t h e o b t a i n e d r e s u l t s w e r e v e r i f i e d b y c o m p u t e r n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s.K e y w o r d s:m e d i a i n f l u e n c e;d e l a y;e p i d e m i c m o d e l;l o c a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y;H o p f b i f u r c a t i o n;p e r i o d i c s o
9、 l u t i o n0 引言传染病是严重威胁人类健康和生命的一类疾病.研究显示,在传染病暴发期间,网络、电视等媒体对疾病的暴发情况进行客观准确的宣传报道,可以使公众准确了解疾病的传播情况和提高对传染病的防范意识,从而有助于控制疾病的传播1-2;因此,近年来考虑媒体影响的传染病模型受到学者们的关注.例如:李录苹等3提出了一类考虑媒体报道效应的S E I Q R传染病模型,并通过构造合适的李雅普诺夫延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 函数研究了无疾病平衡点的全局渐近稳定性.张雪妮等4研究了一类受媒体报道影响的离散传染病模型,并分析了无疾病平衡点和有疾病平衡点的稳定性.张钰倩等5和阳丽君等6考
10、虑到媒体宣传的滞后性,分别研究了不同类型的时滞传染病模型,并针对其模型推导出了模型产生H o p f分岔的充分条件;但是,张钰倩等和阳丽君等并未对其模型的H o p f分岔的性质进行研究.刘中凯等7建立了一类同时考虑媒体影响和疫苗接种影响的传染病模型:dSn(t)dt=A-Sn(t)M(t)-0Sn(t)I(t)+0Sa(t)+r p I(t)+fV(t)-d Sn(t),dSa(t)dt=Sn(t)M(t)-1Sa(t)I(t)-0Sa(t)+r q I(t)-Sa(t)+V(t)-d Sa(t),dI(t)dt=0Sn(t)I(t)+1Sa(t)I(t)-r I(t)-a I(t)-d I
11、(t),dV(t)dt=Sa(t)-V(t)-d V(t),dM(t)dt=I(t)-0M(t).(1)其中:Sn(t)、Sa(t)、I(t)和V(t)分别表示无意识易感者、有意识易感者、感染者和接种者在时刻t的数量,M(t)表示媒体在时刻t的报道信息量;A为无意识易感者的常数输入率;为无意识易感者向有意识易感者转化的比率;0为无意识易感者的感染率;0为有意识易感者向无意识易感者转化的比率;r为感染者的恢复率;p和q分别为感染者恢复后转化为无意识易感者的比率和感染者恢复后转化为有意识易感者的比率,p+q=1;为接种者失去免疫力的比率;f和分别为接种者失去免疫力后转化为无意识易感者的比率和接种者
12、失去免疫力后转化为有意识易感者的比率,f+=1;为有意识易感者的接种率;a为感染者因疾病导致的死亡率;d为所有群体的自然死亡率;为媒体对疾病进行宣传的力度;0为媒体在宣传过程中的信息耗散率.在文献7中,刘中凯等研究了模型(1)的稳定性,并通过数值模拟分析了公众意识和疫苗接种率对疾病传播的影响,但其研究未考虑媒体宣传的滞后性.基于上述研究,本文研究如下时滞传染病模型:dSn(t)dt=A-Sn(t)M(t)-0Sn(t)I(t)+0Sa(t)+r p I(t)+fV(t)-d Sn(t),dSa(t)dt=Sn(t)M(t)-1Sa(t)I(t)-0Sa(t)+r q I(t)-Sa(t)+V(
13、t)-d Sa(t),dI(t)dt=0Sn(t)I(t)+1Sa(t)I(t)-r I(t)-a I(t)-d I(t),dV(t)dt=Sa(t)-V(t)-d V(t),dM(t)dt=I(t-)-0M(t).(2)其中:表示媒体对疾病进行宣传报道的滞后时间.1 局部稳定性和H o p f分岔的存在性根据刘中凯等7的研究,如果基本再生数R0=0Ad(r+d+a)1且r+d+a1Sa*,则模型(2)存在唯一有疾病平衡点D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*),其中Sn*=r+d+a-1Sa*0,Sa*=X1I*X2I*+X3,V*=Sa*+d,M*=I*0(X1=(+d)(r+d+a)+r
14、 q00,X2=(+d)(1+0),X3=00(0+d+)(+d)-).此时I*为如下方程(3)的正根:433 第4期张子振,等:考虑媒体影响的一类时滞传染病模型的分岔周期解 2I2*+1I*+0=0.(3)其中:0=(1-R0)d(r+d+a)0X3,1=(d+a)X3+d(+d)(0-1)+d 00(+d)X1+(1-R0)d(r+d+a)0X2,2=(d+a)X2.模型(2)在有疾病平衡点D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)处的雅克比矩阵为:J(D*)=k1 1k1 2k1 3k1 4k1 5k2 1k2 2k2 3k2 4k2 5k3 1k3 2k3 3000k4 20k4 400
15、0e-0k5 5 .其中:k1 1=-M*-0I*-d,k1 2=0,k1 3=-0Sn*+r p,k1 4=f,k1 5=-Sn*,k2 1=M*,k2 2=-0-1I*-d,k2 3=-1Sa*+r p,k2 4=,k2 5=Sn*,k3 1=0I*,k3 2=1I*,k3 3=0Sn*+1Sa*-r-a-d,k4 2=,k4 4=-d,k5 5=-0.模型(2)在有疾病平衡点处D*(Sn*,Sa*,I*,V*,M*)的特征方程为:5+44+33+22+1+0+(22+1+0)e-=0.(4)其中:0=-(k1 5(k2 2k3 1k4 4-k2 4k3 1k4 2-k2 1k3 2k4
16、4)+k2 5(k1 1k3 2k4 4-k1 2k3 1k4 4+k1 4k3 1k4 2),1=-(k1 5k2 1k3 2-k1 5k2 2k3 1-k1 5k3 1k4 4-k2 5k3 2k4 4-k1 1k2 5k3 2+k1 2k2 5k3 1),2=-(k1 5k3 1+k2k3 2),0=k4 4k5 5(k1 1k2 3k3 2+k1 2k2 1k3 3+k1 3k2 2k3 1-k1 1k2 2k3 3-k1 3k2 1k3 2-k1 2k2 3k3 1)+k4 2k5 5(k1 1k2 4k3 3+k1 4k2 3k3 1-k1 4k2 1k3 3-k1 3k2 4k3
17、 1),1=k4 4(k1 1k2 2k3 3+k1 3k2 1k3 2+k1 2k2 3k3 1-k1 1k2 3k3 2-k1 2k2 1k3 3-k1 3k2 2k3 1)-k5 5k1 1k2 3k3 2+k1 2k2 1k3 3+k1 3k2 2k3 1-k1 1k2 2k3 3-k1 3k2 1k3 2-k1 2k2 3k3 1-k4 4(k1 1k2 2+k1 1k3 3+k2 2k3 3-k2 3k3 2-k1 2k2 1-k1 3k3 1)-k4 2k1 1k2 4k3 3-k1 4k2 1k3 3-k1 3k2 4k3 1+k1 4k2 3k3 1-k5 5(k1 4k2
18、1-k1 1k2 4-k3 3k2 4),2=k1 1k2 3k3 2+k1 2k2 1k3 3+k1 3k2 2k3 1-k1 1k2 2k3 3-k1 3k2 1k3 2-k1 2k2 3k3 1+k4 4(k1 2k2 1+k1 3k3 1+k2 3k3 2-k1 1k2 2-k1 1k3 3-k2 2k3 3)-k5 5k1 1k2 2+k1 1k3 3+k2 2k3 3-k2 3k3 2-k1 2k2 1-k1 3k3 1+k4 4(k1 1+k2 2+k3 3)-k1 4k2 1k4 2+k2 4k4 2(k1 1+k3 3+k5 5),3=k1 1(k2 2+k3 3)+k4 4
19、(k1 1+k2 2+k3 3)+k5 5(k1 1+k2 2+k3 3+k4 4)+k2 2k3 3-k1 2k2 1-k1 3k3 1-k2 3k3 2-k2 4k4 2,4=-(k1 1+k2 2+k3 3+k4 4+k5 5).由上述特征方程可知,当=0时,方程(4)变为:5+44+33+22+1+0=0.(5)其中:0=0+0,1=1+1,2=2+2,3=3,4=4.根据R o u g h-H u r w i z定理可知,如果有40,342,234+04124+22,2014+1234+023124+122+0234+20,则方程(5)的根均有负实部,且此时模型(2)是局部渐近稳定的
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