具有高阶扰动的Oregonator模型的平稳分布研究.pdf

第4 9卷 第4期2 0 2 3年1 2月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.4D e c.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 6 0 8基金项目:吉林省教育厅科技研究项目(J J KH 2 0 1 8 0 4 6 2 K J)第一作者:河燕梅(2 0 0 1),女,本科生,研究方向为随机微分方程和优化理论.通信作者:文香丹(1 9 6 5),女(朝鲜族),硕士,教授,研究方向为随机微分方程和优化理论.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 4-0 3 1 0-0 8具有高阶扰动的O r e g o n a t o r模型的平稳分布研究河燕梅,文香丹(延边大学 理学院,吉林 延吉 1 3 3 0 0 2)摘要:为了探究随机不确定因素对化学振荡反应动力学行为的影响,建立了一个具有高阶扰动的O r e g o n a t o r模型,并通过构造合适的L y a p u n o v函数得到了系统存在遍历平稳分布的充分条件.数值模拟结果表明,小噪声能够促进系统反应的持续进行(即有利于促进系统的平稳分布),而大噪声则不利于系统反应的持续进行.关键词:高阶扰动;O r e g o n a t o r模型;L y a p u n o v函数;平稳分布中图分类号:O 2 1 1.6 3 文献标志码:AS t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n o f a n O r e g o n a t o r m o d e l w i t h h i g h-o r d e r p e r t u r b a t i o nHE Y a n m e i,WE N X i a n g d a n(C o l l e g e o f S c i e n c e,Y a n b i a n U n i v e r s i t y,Y a n j i 1 3 3 0 0 2,C h i n a)A b s t r a c t:I n o r d e r t o i n v e s t i g a t e t h e e f f e c t o f r a n d o m u n c e r t a i n t i e s o n t h e d y n a m i c a l b e h a v i o r o f c h e m i c a l o s c i l-l a t i n g r e a c t i o n,a n O r e g o n a t o r m o d e l w i t h h i g h e r-o r d e r p e r t u r b a t i o n w a s e s t a b l i s h e d.A n d b y c o n s t r u c t i n g a s u i t a b l e L y a p u n o v f u n c t i o n,t h e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e o f e r g o d i c s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n o f t h e s y s t e m w e r e o b t a i n e d.N u m e r i c a l s i m u l a t i o n s w e r e u s e d t o s h o w t h a t s m a l l n o i s e c a n p r o m o t e t h e c o n t i n u o u s p r o c e s s o f t h e r e a c t i o n(t h a t i s,i t w a s c o n d u c i v e t o p r o m o t i n g t h e s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n o f t h e s y s t e m),w h i l e l a r g e n o i s e w a s n o t c o n d u c i v e t o t h e c o n t i n u o u s p r o c e s s o f t h e r e a c t i o n.K e y w o r d s:h i g h-o r d e r p e r t u r b a t i o n;O r e g o n a t o r m o d e l;L y a p u n o v f u n c t i o n;s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n0 引言化学振荡反应是在开放体系中进行的一类远离平衡的反应.由于化学振荡现象广泛存在于化工生产、食品检测和环境保护等多个领域,因此其受到学者们的广泛关注.1 9 7 4年,F i e l d等1基于F KN机制2和质量作用定律3,针对均匀溶液中的振荡化学反应提出了如下O r e g o n a t o r模型:dXdt=k1A Y-k2X Y+k3,4AX-2k5X2,dYdt=-k1A Y-k2X Y+k6Z,dZdt=k3,4AX-k6Z.(1)第4期河燕梅,等:具有高阶扰动的O r e g o n a t o r模型的平稳分布研究对式(1)作代换(x=k2k1AX,y=k2k3,4AY,z=k2k6k1k3,4A2,=A k1k3,4t,q=2k1k5k2k3,4,a=k3,4k1,b=k6A k1k3,4)后再用t代替可得:dxdt=a(y-x y+x-q x2),dydt=1a(-y-x y+z),dzdt=b(x-z).(2)其中:a0,b0,0q0,0,-0,其中=b+x*1a+32q a +a2(-1)+1a ,=2q x*+x*(q-1)+b a y*+1a+2q a x*+1a-a ,=b x*2q x*+q+(-1).由于化学反应与温度、压力、p H值等因素密切相关,因此用随机微分方程来建立化学反应模型可更好地反映实际现象.2 0 2 0年,Y a n g等5研究了一种具有线性扰动的O r e g o n a t o r模型,证明了该系统存在唯一正解,并在此基础上探讨了系统的动力学行为.文献6-7 的作者研究表明,利用非线性扰动随机微分方程可更好地分析系统的动力学行为.文献8-1 1 的作者研究了具有高阶扰动的种群模型和传染病模型.受上述文献启发,本文建立了如下一种具有高阶扰动(又称为非线性扰动)的O r e g o n a t o r模型:dX=(k1A Y-k2X Y+k3,4AX-2k5X2)dt+(1 1+1 2X)XdW1(t),dY=(-k1A Y-k2X Y+k6Z)dt+(2 1+2 2Y)YdW2(t),dZ=(k3,4AX-k6Z)dt+(3 1+3 2Z)ZdW3(t),(3)并研究了该系统平稳分布的存在唯一性.其中Wi(t)(i=1,2,3)表示标准一维独立布朗运动,2i j(2i j0,j=1,2)表示噪声强度.式(3)被称为高阶扰动系统的原因是dW1(t)、dW2(t)和dW3(t)的前3项(X2、Y2和Z2)为高阶项.为了减少模型(3)中的参数个数,本文对系统(3)中的变量进行无量纲转化后,再令i1=i1A12(k1k3,4)14(i=1,2,3),1 2=1 2k2A32k541k143,4,2 2=2 2k2A32k141k543,4,3 2=3 2k2k6A52k541k543,4,Bi()=A12(k1k3,4)14WiA(k1k3,4)12 ,则由此系统(3)可转化为以下方程组(用t代替):dx=a(y-x y+x-q x2)dt+(1 1+1 2x)xdB1(t),dy=1a(-y-x y+z)dt+(2 1+2 2y)ydB2(t),dz=b(x-z)dt+(3 1+3 2z)zdB3(t).(4)1 相关引理引理1(H a s m i n s k i i定理)1 2假设存在一个具有正则边界的有界开区域URl(Rl表示l维欧几里得空间),且其具有以下性质:113延边大学学报(自然科学版)第4 9卷(A 1)在区域U及其一些邻域内,扩散矩阵A(x)的最小特征值是非零的.(A 2)当xRlU时,从x出发的路径到达集合U的平均时间是有限的,且对于每个紧子集QRl有s u pxQ Ex0,1id.2 解的平稳分布及其证明首先证明系统(4)是否存在全局正解.为此,首先给出以下定理.定理1对任意的初始值(x(0),y(0),z(0)R3+,随机系统(4)始终存在唯一解(x(t),y(t),z(t),t0,且此解以概率1位于R3+空间内,即对所有的t0,有(x(t),y(t),z(t)R3+a.s.证明 由于定理1的证明与文献5中的定理2.1类似,故本文在此省略.定理2假设a21 12,则系统(4)存在唯一的平稳分布,且具有遍历性.证明 为了证明定理2,需首先验证引理1中的条件(A 1)和(A 2)成立.由系统(4)的漂移项可知,其扩散矩阵为:A=(1 1+1 2x)2x2000(2 1+2 2y)2y2000(3 1+3 2z)2z2 .由于矩阵A是正定的,因此显然可知条件(A 1)成立.下证条件(A 2)成立.由文献1 3 可知,要证条件(A 2)成立,只需证明在R3+中存在一个关于x、y、z的非负C2函数V和一个有界区域D使得对任意的(x,y,z)R3+D有L V(x,y,z)-1成立即可.对-l nx、y和z作用微分算子L可得:L(-l nx)=-ax(y-x y+x-q x2)+12(1 1+1 2x)2=-a-21 12 +a-yx+y+q x +1 11 2x+21 22x2-a-21 12 +a y+q x +1 11 2x+21 22x2,(5)L(y)=1a(-y-x y+z),(6)L(z)=b(x-z).(7)为了分析x趋于零边界时的情况,本文构造了一个C2函数V1:R3+R,其形式为V1=-l nx+a2y+a bz.于是由式(5)(7)可得:L V1-a-21 12 +a(q+)+1 11 2 x+21 22x2.(8)定义V2=-l ny,V3=-l nz.于是对V2和V3分别应用I t 公式进行计算可得:L V2=1ax-zy +1a+22 12+2 12 2y+22 22y2,(9)L V3=-bxz+b+23 12+3 13 2z+23 22z2.(1 0)为了分析x、y、z趋于无穷边界时的情况,本文构造一个C2函数V4:R3+R,其形式为V4=213 第4期河燕梅,等:具有高阶扰动的O r e g o n a t o r模型的平稳分布研究x+a2y+a bz+1 p,其中0p0,M满足-M a-21 12 +K-2,K=s u p(x,y,z)R3+-p2 5 6(1-p)h(x+y+z+1)2+p+p2(1-p)h +1a+22 12+2 12 2y+22 22y2+b+23 12+3 13 2z+23 22z2.(1 2)由于G是一个连续函数,l i m i n fk,(x,y,z)R3+QkG(x,y,z)=+,其中Qk=1k,k 1k,k 1k,k ,因此G(x,y,z)在R3+内部具有极小值G(x0,y0,z0).为了保证L y a p u n o v函数的非负性,本文构造了一个非负C2函数V:R3+R+,其形式为V(x,y,z)=G(x,y,z)-G(x0,y0,z0).由式(8)(1 2)可得:L V(x,y,z)M-a-21 12 +(a(q+)+1 11 2)x+21 22x2 +1a+p a(1+)x-azy-bxz-p2 5 6(1-p)h(x+y+z+1)2+p+K.由上式易知:当x0+时,L V(x,y,z)-M a-21 12 +K-2;当y0+或z0+、x+、y+、z+时,L V(x,y,z)-.因此,对任意(x,y,z)R3+D有L V(x,y,z)-1.其中D=x1,3y13,2z12 ,(0)是一个充分小的常数.证毕.3 数值模拟本文利用M i l s t e i n高阶方法1 4对系统(4)的离散形式进行数值模拟.由文献1 4 可知,系统(4)的313延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 离散形式为:xj+1=xj+a yj-xjyj+xj-q x2j t+1 1+1 2xj xjt1j+xj221 1+31 11 2xj+221 2x2j ,yj+1=yj+1a-yj-xjyj+zj t+2 1+2 2yj yjt2j+yj222 1+32 12 2yj+222 2y2j ,zj+1=zj+bxj-zj t+3 1+3 2zj zjt3j+zj223 1+33 13 2zj+223 2z2j .其中:时间增量t0,i j(i=1,2,3)是服从N(0,1)分布的高斯随机变量.在系统(4)中,假设时间单位为m i n,反应物的浓度为m o l/(Lm i n),初始值为(x(0),y(0),z(0)=(0.8,0.3,0.5),步长t=0.1,其他参数值依据文献7分别取a=7.7 2 7,q=0.0 8 3 7 5,=1,b=0.1 6 1.为了研究不同白噪声强度对系统(4)动力学行为的影响,本文取4组不同的白噪声强度对其平稳分布的存在性进行数值模拟.1)取白噪声1 1=0.0 2 5,1 2=0.0 0 7 5,2 1=0.0 3,2 2=0.0 0 2 5,3 1=0.0 1 2 5,3 2=0.0 0 2.将该白噪声代入21 12中进行计算可得a21 12=0.0 0 0 3 1 2 5.由该结果可知定理2中的条件成立,因此系统(4)存在唯一遍历平稳分布.在上述白噪声下的数值仿真模拟结果见图1.图1 白噪声取1 1=0.0 2 5、1 2=0.0 0 7 5、2 1=0.0 3、2 2=0.0 0 2 5、3 1=0.0 1 2 5、3 2=0.0 0 2时系统(4)存在的平稳分布(左图为系统(4)的解,右图为系统(4)的密度函数)2)取白噪声1 1=0.0 5,1 2=0.0 1 5,2 1=0.0 6,2 2=0.0 0 5,3 1=0.0 2 5,3 2=0.0 0 4.将该白噪声代入21 12中计算得a21 12=0.0 0 1 2 5.由该结果可知定理2中的条件成立,因此系统(4)存在唯一遍历平稳分布.在上述白噪声下的数值仿真模拟结果见图2.3)取白噪声1 1=0.1,1 2=0.0 3,2 1=0.1 2,2 2=0.0 1,3 1=0.0 5,3 2=0.0 0 8.将该白噪声代入21 12中进行计算可得a21 12=0.0 0 5.由该结果可知定理2中的条件成立,因此系统(4)存在唯一遍历平413 第4期河燕梅,等:具有高阶扰动的O r e g o n a t o r模型的平稳分布研究稳分布.在上述白噪声下的数值仿真模拟结果见图3.图2 白噪声取1 1=0.0 5、1 2=0.0 1 5、2 1=0.0 6、2 2=0.0 0 5、3 1=0.0 2 5、3 2=0.0 0 4时系统(4)存在的平稳分布(左图为系统(4)的解,右图为系统(4)的密度函数)图3 白噪声取1 1=0.1、1 2=0.0 3、2 1=0.1 2、2 2=0.0 1、3 1=0.0 5、3 2=0.0 0 8时系统(4)存在的平稳分布(左图是系统(4)的解,右图是系统(4)的密度函数)4)取白噪声1 1=0.1 5,1 2=0.0 4 5,2 1=0.1 8,2 2=0.0 1 5,3 1=0.0 7 5,3 2=0.0 1 2.将该白噪声代入21 12中计算得a21 12=0.0 1 1 2 5.由该结果可知定理2中的条件成立,因此系统(4)存在唯一遍历平稳分布.在上述白噪声下的数值仿真模拟结果见图4.由图1 图4可以看出,白噪声强度越小,系统解的振荡幅度越小.另外,本文以3)中的白噪声为例,给出了3个系统(非线性系统(4)与其相对应的确定性系统(2)、线性系统(1 3)解的运行图.由图5中的(a)和(c)可以看出,系统(4)的解在系统(2)解的附近振荡;由图5中的(b)和(c)可以看出,系统(4)的解的振荡幅度大于线性扰动系统(1 3)的振荡幅度.上述结果表明,非线性扰动系统(4)的解大幅偏离了原系统的平衡状态.513延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 dx=a(y-x y+x-q x2)dt+1 1xdB1(t),dy=1a(-y-x y+z)dt+2 1ydB2(t),dz=b(x-z)dt+3 1zdB3(t).(1 3)图4 白噪声取1 1=0.1 5、1 2=0.0 4 5、2 1=0.1 8、2 2=0.0 1 5、3 1=0.0 7 5、3 2=0.0 1 2时系统(4)存在的平稳分布(左图是系统(4)的解,右图是系统(4)的密度函数)图5 白噪声取1 1=0.1、1 2=0.0 3、2 1=0.1 2、2 2=0.0 1、3 1=0.0 5、3 2=0.0 0 8时不同系统的解(a)为系统(2)的解,(b)为与系统(2)相对应的线性扰动系统(1 3)的解,(c)为与系统(2)相对应的非线性扰动系统(4)的解)4 结论对本文构建的具有非线性扰动系统的O r e g o n a t o r模型的平稳分布进行研究表明:当噪声强度21 1较小时,该系统存在唯一遍历平稳分布;小噪声能够促进反应的持续进行,而大噪声则不利于反应持续进行.本文研究结果丰富了化学振荡反应系统的动力学性质,并可为研究具有高阶扰动的化学振荡反应模型的平稳分布提供参考.参考文献:1 F I E L D R J,NOY E S R M.O s c i l l a t i o n s i n c h e m i c a l s y s t e m s.L i m i t c y c l e b e h a v i o r i n a m o d e l o f a r e a l c h e m i c a l r e a c t i o nJ.J o u r n a l o f C h e m i c a l P h y s i c s,1 9 7 4,6 0:1 8 7 7-1 8 8 4.(下转第3 5 7页)613 第4期杨远志,等:高等职业教育资源配置效率的非参数统计研究析.研究表明,2 0 1 52 0 2 1年福建省高职教育资源配置的规模收益呈下降趋势,但教育资源的纯技术效率、规模效率和技术改进效率呈波动上升趋势.另外,高职院校的资源配置还存在明显的不均衡现象.该研究结果可为提高高职教育的资源配置效率提供参考.参考文献:1 中共中央办公厅,国务院办公厅.关于推动现代职业教育高质量发展的意见E B/O L.2 0 2 3 0 11 2.h t t p:/w ww.g o v.c n/z h e n g c e/2 0 2 1-1 0/1 2/c o n-t e n t_5 6 4 2 1 2 0.h t m.2 罗红云,庄馨予,张斌.我国职业教育财政投入效率评价:基于D E A-M a l m q u i s t指数三分法J.地方财政研究,2 0 2 0(7):4 9-5 6.3 鄢裕强,魏天言,柳军.我国职业教育财政投入效率评价J.职业教育(下旬刊),2 0 2 2,2 1(7):3 6-4 4.4 唐智彬,曾媛.中等职业教育资源配置效率测度与评估研究J.职业技术教育,2 0 2 1,4 2(3 4):2 5-3 0.5 何景师.我国高等职业教育投入产出效率及影响因素研究J.黑龙 江高 教研 究,2 0 2 2,4 0(1 1):1 2 9-1 3 6.6 杨广俊.高职院校经费投入产出效率评价研究J.职教论坛,2 0 2 0,3 6(1 0):7 0-7 4.7 陶红,左芬.粤东西北地区高职院校教育经费投入效益分析J.南方职业教育学刊,2 0 2 0,1 0(2):7-1 4.8 李爽,赵曦.基于数据包络分析的广东高职院校投入产出效率评价研究J.职业技术,2 0 2 2,2 1(4):7-1 3.9 陈钰芬,陈骥.多元统计分析M.北京:清华大学出版社,2 0 2 0:9 8.(上接第3 1 6页)2 F I E L D R J,KO R O S E,NOY E S R M.O s c i l l a t i o n s i n c h e m i c a l s y s t e m s:.T h o r o u g h a n a l y s i s o f t e m p o r a l o s c i l l a-t i o n s i n t h e b r o m a t e-c e r i u m-m a l o n i c a c i d s y s t e mJ.J o u r n a l o f t h e Am e r i c a n C h e m i c a l S o c i e t y,1 9 7 2,9 4(2 5):8 6 4 9-8 6 6 4.3 Z HA B O T I N S K I I A M.P e r i o d i c p r o c e s s e s o f t h e o x i d a t i o n o f m a l o n i c a c i d i n s o l u t i o n(S t u d y o f t h e k i n e t i c s o f B e l o u s o v s r e a c t i o n)J.B i o f i z i k a,1 9 6 4,9:3 0 6-3 1 1.4 T Y S ON J J.T h e B e l o u s o v-Z h a b o t i n s k i i R e a c t i o n,L e c t u r e N o t e s i n B i o m a t h e m a t i c s(L N BM,v o l u m e 1 0)M.N e w Y o r k:S p r i n g e r-V e r l a g,1 9 7 6.5 YAN G Y,J I AN G D Q,O R E G AN D,e t a l.D y n a m i c s o f t h e s t o c h a s t i c B e l o u s o v-Z h a b o t i n s k i i c h e m i c a l r e a c t i o n m o d e lJ.M a t h e m a t i c s,2 0 2 0,8(5):6 6 3.6 Z HANG W W,ME N G X Z,D ON G Y L.P e r i o d i c s o l u t i o n a n d e r g o d i c s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n o f s t o c h a s t i c S I R I e p i d e m i c s y s t e m s w i t h n o n l i n e a r p e r t u r b a t i o n sJ.J o u r n a l o f S y s t e m s S c i e n c e a n d C o m p l e x i t y,2 0 1 9,3 2(4):1 1 0 4-1 1 2 4.7 HAN B T,J I AN G D Q,HAYA T T,e t a l.S t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n a n d e x t i n c t i o n o f a s t o c h a s t i c s t a g e d p r o g r e s s i o n A I D S m o d e l w i t h s t a g e d t r e a t m e n t a n d s e c o n d-o r d e r p e r t u r b a t i o nJ.C h a o s S o l i t o n s a n d F r a c t a l s,2 0 2 0,1 4 0:1 1 0 2 3 8.8 N GUY E N D H,Y I N G.C o e x i s t e n c e a n d e x c l u s i o n o f s t o c h a s t i c c o m p e t i t i v e L o t k a-V o l t e r r a m o d e l sJ.J o u r n a l o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 1 7,2 6 2(3):1 1 9 2-1 2 2 5.9 Z U L,J I ANG D Q,O R E GAN D,e t a l.E r g o d i c p r o p e r t y o f a L o t k a-V o l t e r r a p r e d a t o r-p r e y m o d e l w i t h w h i t e n o i s e h i g h e r o r d e r p e r t u r b a t i o n u n d e r r e g i m e s w i t c h i n gJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t a t i o n,2 0 1 8,3 3 0:9 3-1 0 2.1 0 L I U Q,J I AN G D Q.P e r i o d i c s o l u t i o n a n d s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n o f s t o c h a s t i c p r e d a t o r-p r e y m o d e l s w i t h h i g h e r-o r d e r p e r t u r b a t i o nJ.J o u r n a l o f N o n l i n e a r S c i e n c e,2 0 1 8,2 8(2):4 2 3-4 4 2.1 1 L I U Q,J I AN G D Q.S t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n a n d e x t i n c t i o n o f a s t o c h a s t i c S I R m o d e l w i t h n o n l i n e a r p e r t u r b a t i o nJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c s L e t t e r s,2 0 1 7,7 3:8-1 5.1 2 KHA S M I N S K I I R.S t o c h a s t i c S t a b i l i t y o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sM.N e w Y o r k:S p r i n g e r,1 9 8 0.1 3 Z HU C,Y I N G.A s y m p t o t i c p r o p e r t i e s o f h y b r i d d i f f u s i o n s y s t e m sJ.S I AM J o u r n a l o n C o n t r o l a n d O p t i m i z a-t i o n,2 0 0 7,4 6(4):1 1 5 5-1 1 7 9.1 4 H I GHAM D J.A n a l g o r i t h m i c i n t r o d u c t i o n t o n u m e r i c a l s i m u l a t i o n o f s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sJ.S I AM R e v i e w,2 0 0 1,4 3(3):5 2 5-5 4 6.753