切换正时滞系统在可容许边依赖平均驻留时间下的稳定性和镇定性.pdf
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1、第4 9卷 第3期2 0 2 3年9月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.3S e p.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 5 1 8基金项目:陕西省科技厅自然科学基础研究计划项目(2 0 2 1 J Q-6 5 7)第一作者:安夏伶(1 9 9 7),女,硕士研究生,研究方向为控制理论.通信作者:刘婷婷(1 9 8 7),女,博士,讲师,研究方向为控制理论.文章编号:1
2、0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 3-0 2 0 3-0 7切换正时滞系统在可容许边依赖平均驻留时间下的稳定性和镇定性安夏伶,刘婷婷,路俊影(西安工程大学 理学院,西安 7 1 0 0 4 8)摘要:讨论了一类切换正时滞系统的稳定性和镇定性.首先,通过构造多元共正李雅普诺夫泛函,得到了切换正时滞系统在可容许边依赖平均驻留时间(A E D-A D T)切换信号下的有限时间稳定的充分条件;其次,设计了一类状态反馈控制器,并给出了闭环系统在A E D-A D T切换信号下具有有限时间稳定的判据.最后,利用两个算例验证了所得结果的正确性.关键词:切换正时滞系统;李雅普诺夫泛函;可容许边依
3、赖平均驻留时间;有限时间稳定性;镇定性中图分类号:O 2 3 1.1 文献标志码:AS t a b i l i t y a n d s t a b i l i z a t i o n f o r s w i t c h e d p o s i t i v e t i m e-d e l a y s y s t e m s u n d e r a n a d m i s s i b l e e d g e-d e p e n d e n t a v e r a g e d w e l l t i m e m e t h o dAN X i a l i n g,L I U T i n g t i
4、n g,L U J u n y i n g(S c h o o l o f S c i e n c e s,X i a n P o l y t e c h n i c U n i v e r s i t y,X i a n 7 1 0 0 4 8,C h i n a)A b s t r a c t:T h e s t a b i l i t y a n d s t a b i l i z a t i o n o f t h e s w i t c h e d p o s i t i v e s y s t e m s w i t h d e l a y s w e r e d i s c u
5、s s e d.F i r s t l y,b y c o n s t r u c t i n g t h e m u l t i p l e c o p o s i t i v e L y a p u n o v f u n c t i o n a l,a s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r f i n i t e-t i m e s t a b i l i t y o f s w i t c h e d p o s i t i v e s y s t e m s w i t h d e l a y s u n d e r a d m i
6、s s i b l e e d g e-d e p e n d e n t a v e r a g e d w e l l t i m e(A E D-A D T)s w i t c h i n g s i g n a l s w a s o b t a i n e d.S e c o n d l y,a f a m i l y o f s t a t e f e e d b a c k c o n t r o l l e r s a r e d e s i g n e d,a n d t h e f i n i t e t i m e s t a b i l i t y c r i t e
7、r i o n o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m u n d e r A E D-A D T w a s g i v e n.F i n a l l y,t w o n u m e r i c a l e x a m p l e s w e r e u s e d t o v e r i f y t h e v a l i d i t y o f t h e d e v e l o p e d r e s u l t s.K e y w o r d s:s w i t c h e d p o s i t i v e d e l a y e d
8、s y s t e m s;L y a p u n o v f u n c t i o n a l;a d m i s s i b l e e d g e-d e p e n d e n t a v e r a g e d w e l l t i m e;f i n i t e-t i m e s t a b i l i t y;s t a b i l i z a t i o n0 引言切换正系统是一种典型的混杂系统,在多个领域中有着广泛的应用,如在编队飞行1、网络拥堵控制2、飞行器控制3等.时滞是控制系统中普遍存在的一种现象.由于时滞可能会导致系统出现不稳定的现象,因此研究带有时滞的切换正系
9、统的稳定性具有重要意义.研究表明,即使系统的所有子系统都是稳定的,但因切换信号不同也会导致整个系统出现不稳定的现象4.目前,常见的切换信号有驻留时间(D T)5-6、平均驻留时间(A D T)7-1 0和模态依赖平均驻留时间(MD A D T)1 1-1 2等.这3个切换信号均延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 要求系统的每个子系统的D T值、A D T值、MD A D T值要大于一个常数,但D T切换信号未考虑子系统的补偿效应,A D T切换信号未考虑子系统之间的差异性,MD A D T切换信号未考虑子系统是否可以切换到其他所有子系统.为此,Y a n g等在2 0 1 8年通过引入可容许
10、切换边的概念,提出了可容许边依赖平均驻留时间(A E D-A D T)切换信号1 3.由于该切换信号不仅具有更好的灵活性,而且还放宽了对受约束切换信号的限制;因此,A E D-A D T切换信号受到许多学者的关注.基于Y a n g等的研究,本文研究了一类切换正时滞系统(式(1)在A E D-A D T切换信号下的有限时间稳定问题,并通过数值例子验证了所得结果的有效性.x(t)=A(t)x(t)+B(t)x(t-)+C(t)u(t),x(t)=(t),t-,0.(1)其中:x(t)表示系统状态,x(t)Rn;u(t)表示控制输入,u(t)Rm;0表示常时滞;(t)表示切换信号,(t):RQ=1
11、,2,M 是分段常值函数,M(MN+)表示子系统的个数;t0t1t2tk0(0)表示v的所有元素是正的(非负的).设矩阵ARnm,A0(0)表示A的所有元素都是正的(非负的).将矩阵A的转置记为AT.若矩阵A的所有非对角元素都是非负实数,则称矩阵A为M e t z l e r矩阵.定义11 3给定切换信号(t),设Tt0,iQ,jQ,N(t)i j(T,t)是第j个子系统切换到第i个子系统的切换总次数,Ti j(T,t)是第j个子系统切换到第i个子系统时第i个子系统运行的总时间.如果存在N0i j0(振荡界)和ai j0使得以下不等式 N(t)i j(T,t)N0i j+Ti j(T,t)ai
12、 j(Tt0)(2)成立,则称ai j是切换信号(t)的A E D-A D T.令u(t)=0,此时系统(1)可变为:x(t)=A(t)x(t)+B(t)x(t-),x(t)=(t),t-,0.(3)定义21 4给定正常数c1和c2(c10)和一个切换信号(t),若s u pt-,0T(t)c1xT(t)c2,t0,T 成立,其中(t)是定义在区间-,0 上的一个初始向量值函数,则称切换正时滞系统(3)是有限时间稳定的.引理11 5如果iQ,Ai是M e t z l e r矩阵且Bi0,则系统(3)是正的.引理21 6Ai是M e t z l e r矩阵当且仅当存在一个常数0,使得不等式Ai+
13、Ii0,iQ成立.2 主要结果及其证明首先给出切换正时滞系统(3)在A E D-A D T切换信号下具有有限时间稳定的充分条件.定理1(i,j)QQ.设Aj是M e t z l e r矩阵,Bj0.给定常数j(0j1)、i(0i0).若存在正向量vj和j以及正常数1、2、3使得不等式402 第3期安夏伶,等:切换正时滞系统在可容许边依赖平均驻留时间下的稳定性和镇定性 Ajvj+e-jj-jvj0,(4)Bjvj-j0,(5)1vj2,j3,(6)c1(2+3)*i j=Tl ni jl nc21-iT-l nc1-l n(2+3)(8)时,系统(3)是正的,且其关于(c1,c2,T,(t)是有
14、限时间稳定的.其中,i j(i j1)满足:vji jvi,ji ji.(9)证明 设N0i j=0,Tt0,且设当ttk,tk+1)时,第j个子系统被激活,即(tk)=j.由于Aj是M e t z l e r矩阵,且Bj0,因此由引理1可得系统(3)是正的.下面选取多元共正李雅普诺夫泛函(式(1 0)证明系统(3)存在有限时间稳定性.Vj(t)=Vj(t,x(t)=xT(t)vj+tt-ej(t-s-)xT(s)jds.(1 0)由式(1 0)可知ttk,tk+1),且Vj(t)沿着系统(3)的状态轨迹为:Vj(t)=xT(t)ATjvj+xT(t-)BTjvj+jtt-ej(t-s-)xT
15、(s)jds+e-jxT(t)j-xT(t-)j.由上式可得Vj(t)-jVj(t)=x(t)(Ajvj+e-jj-jvj)+x(t-)(Bjvj-j).再结合式(4)和式(5)可得:Vj(t)jVj(t).(1 1)当ttk,tk+1)时,对式(1 1)的左右两端同时进行积分可得:V(t)(t)e(t)(t-tk)V(tk)(tk).(1 2)当(tk)=j,(t-k)=i时,由式(9)可得:Vj(tk)i jVi(t-k).(1 3)由于Tt0,因此在 0,中一定存在正整数k,使得Ttk,tk+1).由此可得:V(T)(T)e(T)(T-tk)V(tk)(tk)(tk)(t-k)e(T)(
16、T-tk)V(t-k)(t-k)(tk)(tk-1)e(T)(T-tk)e(tk-1)(tk-tk-1)V(tk-1)(tk-1)(tk)(tk-1)(tk-1)(t-k-1)e(T)(T-tk)e(tk-1)(tk-tk-1)V(t-k-1)(t-k-1)(tk)(tk-1)(tk-1)(tk-2)e(T)(T-tk)e(tk-1)(tk-tk-1)e(tk-2)(tk-1-tk-2)V(tk-2)(tk-2)(1 4)(tk)(tk-1)(tk-1)(tk-2)(t1)(t0)e(T)(T-tk)e(tk-1)(tk-tk-1)e(0)(t1-t0)V(0)(0)=k-1s=0(ts+1)
17、(ts)e(T)(T-tk)ek-1s=0(ts)(ts+1-ts)V(0)(0)=(i,j)QQN(t)i j(T,0)i je(i,j)QQiTi j(T,0)V(0)(0).由式(1 4)、A E D-A D T的定义(式(2)和N0i j=0可得:V(T)(T)(i,j)QQTi j(T,0)ai j+N0i j i je(i,j)QQiTi j(T,0)V(0)(0)=e(i,j)QQTi j(T,0)ai jl ni je(i,j)QQiTi j(T,0)V(0)(0)=e(i,j)QQTi j(T,0)ai jl ni j+iTi j(T,0)V(0)(0)=502延边大学学报(
18、自然科学版)第4 9卷 e(i,j)QQl ni jai j+i Ti j(T,0)V(0)(0)em a x(i,j)QQl ni jai j+i TV(0)(0).(1 5)再由式(6)可得:V(T)(T)1x(T),(1 6)V(0)(0)2xT(0)+30-e-j(s+)xT(s)ds.(1 7)由上式进一步可得:xT(T)11V(T)(T)c11em a x(i,j)QQl ni jai j+i Tel n(2+3).(1 8)于是再由式(8)可知,x(T)c2.因此,在A E D-A D T切换信号(式(8)下,系统(3)关于(c1,c2,T,(t)是有限时间稳定的.为讨论系统(1
19、)的镇定性,本文设计了一类状态反馈控制器u(t)(u(t)=K(t)x(t),该控制器可使闭环系统 x(t)=A(t)x(t)+B(t)x(t-),x(t)=(t),t-,0(1 9)是有限时间稳定的,其中A(t)=A(t)+C(t)K(t).定理2设(i,j)QQ,矩阵Bj0,Cj0.给定常数j0、0j1和0i1.jQ,如果存在一组正向量vj、j、j使得不等式 Ajvj+j+e-jj-jvj0,(2 0)vjCjvj(vjCjvjAj+Cjvjj+jvjCjvjn)0(2 1)和式(5)(9)成立,则存在一类状态反馈控制器:u(t)=Kjx(t)=1vjCjvjvjjx(t),jQ,(2 2
20、)使得闭环系统(1 9)在A E D-A D T切换信号(式(8)下是正的,且系统是有限时间稳定的.其中,vjRm是一个给定的非零向量,其满足vjCjvj0.证明 设N0i j=0,Tt0,且设当ttk,tk+1)时,第j个子系统被激活,即(tk)=j.由于vjCjvj0,所以在式(2 1)两端同除以(vjCjvj)2可得:Aj+Cj1vjCjvjvjj+jvjCjvjn0.由此再根据式(2 2)和引理2可知,矩阵Aj+CjKj是M e t z l e r矩阵.又因为Bj0,jQ,所以由引理1可知闭环系统(1 9)是正的.证毕.下面证明闭环系统(1 9)具有有限时间稳定性.因ttk,tk+1)
21、,因此有:Ajvj+KjCjvj+e-jj-jvj=Ajvj+vjjvjCjvj Cjvj+e-jj-jvj=Ajvj+jvjvjCjvj Cjvj+e-jj-jvjAjvj+j+e-jj-jvj.由上式及式(5)和式(2 0)可得Vj(t)-jVj(t)0.由于再通过类似定理1的证明可证得闭环系统(1 9)是有限时间稳定的,故本文在此省略.3 算例例1讨论具有如下参数的切换正时滞系统(3)是否具有有限时间稳定性:602 第3期安夏伶,等:切换正时滞系统在可容许边依赖平均驻留时间下的稳定性和镇定性 A1=-0.50.30.4-0.5,A2=-0.20.1 50.2-0.2,B1=0.10.30
22、.2-0.5,B2=0.3 1 0.1 80.1 60.2.设1=0.2,2=0.2 1,=3.将上述数值代入式(4)(5)后,再利用M a t l a b中的L P工具箱对其求解可得:v1=2.0 8 8 4 2.2 7 5 6T,v2=2.6 3 6 0 2.2 6 3 4T,1=1.0 0 0 0 1.7 6 3 1,2=1.1 7 9 3 1.0 0 0 0.再设T=8,c1=0.5,c2=1 5,=1.5 1.3T,=1.2 1.4T,并将这些数值代入式(6)、(7)和式(9)中可得1 2=1.0 0 2,2=1.0 3,1=1.0 0 0 0,2=1.7 3 7 0,3=1.2 5
23、 9 4.将上述常数值和求解所得的向量代入式(8)可得*1 2=1.1 6 7 6和*2 1=2.5 2 4 0.依据该结果,本文在实验中选取1 2=2和2 1=3为可容许边依赖驻留时间.由此得到的系统(3)的切换信号如图1所示.由图1显然可以看出,1 2和2 1均满足式(8).图2和图3分别为系统(3)的状态响应曲线和xT(t)在时间区间0,8 上的变化情况,系统(3)的初始条件为x(0)=6 4T,x(t)=0.7 5 0.4 3,t-3,0).由图2和图3可以看出,系统(3)在时间区间 0,8内其xT(t)的值不超过c2(c2=1 5).由上述可知,系统(3)关于(0.5,1 5,1.2
24、 1.4T,1.5 1.3T,8,3,(t)是有限时间稳定的.图1 系统(3)的切换信号 图2 系统(3)的状态响应曲线例2讨论具有如下参数的闭环系统(1 9)是否具有有限时间稳定性:A1=-0.9 1-0.8-1-0.6,A2=-0.9-0.7-0.5-0.5 5,B1=-0.70.710.7 5,B2=0.50.30.3 0.7 3,C1=0.3 7 0.30.9 52,C2=0.3 6 0.2 90.9 52.设1=0.3,2=0.2,1=0.2,2=0.3,=2.将以上数值代入式(5)、(2 0)和(2 1)后,再利用M a t l a b中的L P工具箱对其求解可得:v1=1.0 3
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