麦克劳林关于方程实根最大绝对值下界的法则.pdf
《麦克劳林关于方程实根最大绝对值下界的法则.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《麦克劳林关于方程实根最大绝对值下界的法则.pdf(7页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(2),825-831 Published Online February 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.132079 文章引用文章引用:李睿.麦克劳林关于方程实根最大绝对值下界的法则J.应用数学进展,2024,13(2):825-831.DOI:10.12677/aam.2024.132079 麦克劳林关于方程实麦克劳林关于方程实根根最大绝对值下最大绝对值下界
2、界的的法则法则 李李 睿睿 西北大学科学史高等研究院,陕西 西安 收稿日期:2024年1月28日;录用日期:2024年2月22日;发布日期:2024年2月29日 摘摘 要要 18世纪英国数学家麦克劳林对于判定代数方程实根的界限做出了重要贡献,这项工作记载于其著作代世纪英国数学家麦克劳林对于判定代数方程实根的界限做出了重要贡献,这项工作记载于其著作代数论第二部分的第数论第二部分的第5章中。在该章的最后,麦克劳林直接断言了一条关于方程章中。在该章的最后,麦克劳林直接断言了一条关于方程实根最大绝对值实根最大绝对值下界的下界的法则,但是法则,但是作者作者发现这条法则并不总是成立。按照古证复原的原则发现
3、这条法则并不总是成立。按照古证复原的原则,作者作者对这条法则的构造过程对这条法则的构造过程进行了进行了复原,从而澄清了麦克劳林复原,从而澄清了麦克劳林原来原来的数学思想,指出他的错误在于将分母误认为方程的次数,但实际上它的数学思想,指出他的错误在于将分母误认为方程的次数,但实际上它应该是根的两两之积的项数。最后,应该是根的两两之积的项数。最后,通过修通过修正他的错误,正他的错误,论文论文给出了该法则的正确形式给出了该法则的正确形式。关键词关键词 麦克劳林麦克劳林,代数方程代数方程,实根的界限实根的界限,法则法则,复原,复原 Maclaurins Rule of the Lower Limit
4、of the Maximum Absolute Value of Real Roots of Any Algebraic Equation Rui Li Institute for Advanced Study in History of Science,Northwest University,Xian Shaanxi Received:Jan.28th,2024;accepted:Feb.22nd,2024;published:Feb.29th,2024 Abstract British mathematician Maclaurin in the 18th century made an
5、 important contribution to deter-mining the limits of real roots of algebraic equations.This work is recorded in the fifth chapter of the second part of his book A Treatise of Algebra.At the end of this chapter,Maclaurin directly as-serts a rule about the lower limit of the maximum absolute value of
6、 real roots of any algebraic eq-uation,but we find that this rule is not always true.According to the principles of recover para-李睿 DOI:10.12677/aam.2024.132079 826 应用数学进展 digm,we have restored the deductive process of this rule,thus clarified Maclaurins original ma-thematical thought and pointed ou
7、t that his mistake lies in mistaking the denominator for the de-gree of the equation,but in fact it should be the number of terms of the product of any two roots.Finally,we have amended his mistake and given the correct form of this rule.Keywords Maclaurin,Algebraic Equation,Limits of Real Roots,Rul
8、e,Recover Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 高次代数方程实根的近似求解无论在历史上还是在当代都是一个重要的学术课题,而在对方程的实根展开近似求解之前,首要的事情之一就是只利用给定方程的形式对方程实根的界限给出科学的估计。自韦达(Fran
9、cois Vieta,15401603)在 16 世纪末开始这方面的研究以来1 2,17 世纪的数学家哈里奥特(Thomas Harriot,15601621),笛卡尔(Rene Descartes,15961650),德比奥尼(Florimond de Beaune,16011652),胡德(Johann Hudde,16281704),柯林斯(John Collins,16241683),罗尔(Michel Rolle,16521719)等人都对这个问题进行了探索3 4 5,其中笛卡尔符号法则、胡德法则和罗尔定理的影响最为深远,它们现今都已经发展成关于函数性质的标准定理。在这项研究的历史发
10、展进程中,牛顿(Issac Newton,16421727)是一个重要的节点。对于没有虚根的任意高次方程,他在广义算术(Arithmetica Universalis)中创造性地利用根的幂和公式与不等式技巧给出了求方程实根全体上下界的方法6。但是牛顿对于他的法则仅仅举例说明其操作程序,并未阐释其原理。麦克劳林(Colin Maclaurin,16981746)在 172030 年代对广义算术的困难法则进行了较为系统的解释和证明,这些内容成为其代数论(A Treatise of Algebra)的重要构件7。由于代数论中包含了许多麦克劳林自己的创新思想,因此这本书和牛顿的广义算术以及欧拉(Leo
11、nhard Euler,17071783)的代数学基础(Elements of Algebra)一起被誉为 18 世纪的三大代数学著作8 9。代数论分为三部分以及一个附录,分别讨论代数基本运算(共 14 章)、方程求解(共 12 章)、代数与几何的相互应用(共三章)以及几何曲线的一般性质。在方程求解部分的第 5 章,麦克劳林详细讨论了关于方程实根界限的法则。第 5 章的章名为“方程根的界限”,其中麦克劳林讨论的都是首一的方程。该章包含第 3952 目,内容分为以下三个方面:其中第 3944 目讨论方程实根全体的界限,第 4550 目讨论方程每个实根的界限,第 5152 目解释上述的牛顿基于根的
12、幂和公式得到的法则7。2.麦克劳林关于方程实根最大绝对值下界的法则麦克劳林关于方程实根最大绝对值下界的法则 2.1.麦克劳林的法则麦克劳林的法则 鉴于牛顿给出的法则都是求方程实根最大绝对值的上界,即最大正根的上界和最小负根的下界,为了更精确地限定全体实根的界限,麦克劳林在第 5 章的最后附上了一条他自己发现的关于实根最大绝对值下界的法则。这样,结合牛顿在广义算术中给出的求方程最大正根的上界与最小负根的下界,麦克劳林就可以更精确的锁定最大正根与最小负根的范围。Open AccessOpen Access李睿 DOI:10.12677/aam.2024.132079 827 应用数学进展 麦克劳林
13、对其法则的论述如下7:关于方程根的界限,我们还可以给出另外几条类似的法则。下面我们给出一条其他作者从未提及的法则。对于三次方程320+=xpxqxr,求出22qpr并称之为4e,那么方程的最大根总是大于43e,即443e。对任意次方程12340+=nnnnnxpxqxrxsx,计算222+qprsn,那么它的四次方根总是小于方程的最大根。麦克劳林在术文中的“最大根”是指实根的最大绝对值,他的法则用现代数学符号可以表示为:法则法则 M 对于不含虚根的 n 次方程 12340nnnnnxpxqxrxsx+=,记其绝对值最大的根为Mx,有2422Mqprsxn+。特殊地,当3n=时,有2423Mqp
14、rx。2.2.麦克劳林的法则并不总是成立麦克劳林的法则并不总是成立 对于这条法则,麦克劳林既没有举例说明,也没有解释论证,但他强调这条法则是“其他作者从未提及的”,可见他对其重要性与正确性充分自信。需要注意的是,麦克劳林对于他在代数论中的许多重要的其他创新工作都未声明其优先权,例如给出线性方程组的消元法则(即早期的克拉默法则)、对牛顿求虚根个数的法则及其幂和公式给出证明等9-15,这反过来也体现出他对这条法则的重视。不过,虽然如此,我们并未见到有文献对这条法则进行研究。但是我们在研究中发现,麦克劳林的法则并不总是成立。例如,对于四次方程 432103550240 xxxx+=,其 4 个根为
15、1,2,3,4,此时 24222.8744Mqprsxn+=,即他的法则不成立。因此,我们自然会产生以下两个问题:1)这条法则为什么会存在错误?虽然麦克劳林深信其法则的重要性与正确性,但是他对该法则的推导过程完全没有交待,这就需要我们利用古证复原的范式来恢复麦克劳林原来的想法16 17 18 19 20。2)这条法则能否挽救,如果可以,那么其正确形式是什么?如果能够回答这两个问题,我们不仅能够对麦克劳林的代数学创新工作具有新的认识,而且也将给代数学本身增加一条新的正确法则。我们将在下文依次对这两个问题给出回答。3.复原麦克劳林对这条法则的推导过程复原麦克劳林对这条法则的推导过程 以下我们希望对
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 麦克 关于 方程 实根 最大 绝对值 下界 法则
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【自信****多点】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【自信****多点】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。