基于联系数投影的三角模糊数组合预测模型及其应用.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：辽宁省教育厅科研项目（）；安徽省哲学社会科学规划项目（）；安徽省高校自然科学重点项目（）；安徽财经大学科研基金重大项目（）作者简介：田成诗（），男，辽宁大连人，博士，教授，研究方向：统计预测理论与方法；袁宏俊（），通讯作者，男，安徽庐江人，博士研究生，教授，研究方向：预测与决策分析。基于联系数投影的三角模糊数组合预测模型及其应用田成诗，袁宏俊，相瑞兵（东北财经大学 统计学院，辽宁 大连 ；安徽财经大学 统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 ）摘要：在模糊预测中，三角模糊数比区间数更能准确刻画不确定信息。针对三角模糊数组合预测，本文首先引入集对分析中联系数，找出三角模糊数与三元联系数的转换关系，巧妙回避三角模糊数组合预测运算的模糊性和复杂性。其次定义三元联系数运算规则，构建联系数投影作为最优准则，建立联系数投影的定权系数三角模糊数组合预测模型。然后依据高精度预测方法应赋予较大权系数的原则，构建联系数广义诱导有序加权平均（）算子，研究其性质定理，再结合联系数投影的最优准则，建立基于联系数投影和 算子的变权系数三角模糊数组合预测模型。最后将两类三角模糊数组合预测模型应用到模糊预测实证分析中，结果显示两类组合预测模型都能有效提高预测准确性。关键词：三角模糊数；三元联系数；组合预测；联系数投影；算子中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：，（，；，）：，（），？：；引言组合预测综合利用了各预测方法的数据信息，能有效提高预测精度，在多个领域得到广泛应用。和 提出组合预测后，国内外学者构建了很多有效的组合预测方法 。考虑到预测数据的模糊性和不确定性，学者开始研究区间数组合预测。袁宏俊和胡凌云 构建 算子，以广义绝对误差 次和为最优准则构建区间组合预测模型。戴现朝等 将广义向量夹角余弦和 算子相结合，构建变权系数区间数组合预测模型。曹晓俊和袁宏俊 将 算子 拓 展 成 一 系 列 信 息 集 成 算 子，选 取 算子，以灰色趋势关联度为最优准则构建区间组合预测模型。胡凌云等 将误差绝对值之和和 算子相结合，构建变权系数区间数组合预测模型。汪漂 利用三种区间数分解方法进行多尺度分解，运用 指数平滑法、法、神经网络法对分解后的区间趋势序列和区间残差序列进行预测，最后采用 神经网络对各预测值进行集成。模糊数据预测既要刻画不确定的范围，还要考虑内部点的隶属度，尤其是最有可能取值点的信息，所以有必要开展三角模糊数组合预测研究。等 构建三角模糊离散差分方程（）模型来预测模糊序列，采用粒子群优化的支持向量回归（）进 一 步 改 善 模 型 预 测 结 果，提 出 和 的 组 合 预 测 方 法。丁 珍 妮等 从权函数角度提出态度参数的面积型中心等概念，以面积误差为最优准则构建三角模糊数组合预测模型。朱家明等 构建 和 算子，以最大相对误差和为准则建立两类算子的三角模糊数组合预测模型。丁珍妮等 从面积型中心、面积型散度和质心横坐标等角度定义预测有效度，建立三角模糊数组合预测模型，并给出权系数的 值近似求解方法。本文另辟蹊径，将研究问题等价转换。首先将三角模糊数转换成三元联系数，定义三元联系数运算规则。其次利用三元联系数结构特点定义联系数投影作为新的最优准则，借助运筹学中最大化模型，构建联系数投影的定权系数三角模糊数组合预测模型。然后为使预测精度高的单项预测赋予较大权重，以联系数平均精度作为诱导值，构建新的联系数广义诱导有序加权平均（）算子，研究同一性、幂等性和置换不变性等性质，再结合联系数投影最优准则，建立变权系数三角模糊数组合预测模型。最后进行模糊预测实例分析，结果显示两类组合预测模型都是有效方法，并对模型参数进行了灵敏度分析。模糊数和联系数的基本概念定义 若实数满足，称珘（，）为三角模糊数，其隶属度为：（）其他，其中 为下界，为上界，为中值。若，称 为对称三角模糊数；若 ，称运 筹 与 管 理 年第 卷为非负三角模糊数。定义 设非负三角模糊数珘（，），（，），则：相等：，；加法：（，）；数乘：（，）（，）。定义 设 ，令 ，称为三元联系数。其中 为同部，为异部，为反部，为差异系数和对立系数，通常 ，代表负单位。三元联系数兼有确定性和不确定性关系，可对模糊信息进行表示和相互作用。定义 设联系数 ，则：相等：，加法：（）（）（）数乘：乘法：（）（）（）（）（）（）幂方：（）（）（）倒数：（）（）依据定义 ，可推导出三元联系数具有交换律、结合律和分配律等运算规则。性质 设联系数 ，则运算性质有：；（）；（）；（）（）；（）；（）（）；（）（）（）。三角模糊数和三元联系数转换根据定义 ，在非负三角模糊数（，）中值 处隶属度为 ，是确定达到的预测值，可视作同部。若点在（，）或（，）取值时，其隶属度取值为（，），是可能达到的预测值，可视作异部。若点在（，）取值时，其隶属度为 ，是不可能达到的预测值，可视作反部。定义 设三角模糊数（，），令，（）（），称 是与三角模糊数 对应的三元联系数，其中 ，代表负单位。虽然 和 在形式上有很大差异，但根据三元联系数表达式结构，以及差异系数 和对立系数 取值，三角模糊数和三元联系数在刻画模糊信息可以相互转换，尤其三角模糊数的中值、下界和上界等处，在三元联系数的同部、反部和异部中都有直观体现。在三角模糊数组合预测中，三角模糊数实际值记作槇（，），三角模糊数单项预测值记作槇（，），对应的权系数，满足 ，。通过加权平均可得三角模糊数组合预测值为槇（，），即：（，）（，）（，）。根据定义 可得：，。利用定义 ，将各三角模糊数单项预测值转换成三元联系数单项预测值 ，其中 ，。同理将三角模糊数实际值转换成三元联系数实际值 ，其中：，。将三角模糊数组合预测值转换成三元联系数组合预测值 ，其中：，。根据符号间对应关系则有：，。由定义 可得 ，。三元联系数组合预测值仍是各单项预测值的加权平均，与三角模糊数几者之间的关系一致，且对应的权系数相同，保留了三角模糊数预测值之间的内在关系。三元联系数运算规则相比三角模糊数更简单，对三角模糊数预测时，将其转换成三元联系数组合预测来求解权系数，也可得精确结果。第 期田成诗，等：基于联系数投影的三角模糊数组合预测模型及其应用 联系数投影的定权系数三角模糊数组合预测模型定义 设序列 和 ，令：，（），槡 （槡），称（）（，），槡为序列在 上的投影。定义 设三元联系数实际值序列为 ，三元联系数单项预测值序列为 ，而 为三元联系数组合预测值序列，令：（）（）（槡），（）（）（槡），称 （）为 在第 个 上的投影，（）为 在 上的投影。定义 中联系数投影值越大，表明两个三元联系数序列差异越小，拟合效果越好，进而原三角模糊数中实际值与预测值两序列差异越小。在用联系数投影衡量预测效果时，希望三元联系数序列在 上的投影值（）越大越好，但由于误差存在，（）只能趋近于，考虑（）是权系数，的函数，因此建立联系数投影的三角模糊数组合预测模型（）为：（）（）（槡），（）联系数广义诱导有序加权平均算子定义 设 是 的 元函数，令：（，），（，），（，）（）（）（）（）称 为 维 联 系 数 广 义 诱 导 有 序 加 权 平 均（）算子。其中，；三元联系数记为 ；在（，），（，），（，）中，是 的诱导值，将，按从大到小排列，第 个三元联系数的下标记为 （）；参数（，）（，）。性质 （同一性）设三元联系数 ，是 的诱导值，则 算子 仍是一个三元联系数。性质 （幂等性）若三元联系数 ，则 算子 （，），（，），（，）。性质 （置换不变性）设三元联系数数组（，），（，），（，）是 （，），（，），（，）的任意一个置换，则：（，），（，），（，）（，），（，），（，）。每种单项预测在各时点预测精度是不断变化的，如果遵循高精度预测方法赋予较大权系数的原则，则可获得准确的组合预测值。但模型（）中每种 单 项 预 测 在 各 时 点 权 系 数 固 定 不 变，利 用 算子在对数据，进行集结时，先 后 顺 序 是 由，大 小 确 定，将 算子用于解决模型（）存在的不足，可构建一种变权系数三角模糊数组合预测方法。联系数投影和 算子的三角模糊数组合预测模型定义 设 三 元 联系 数：，当 ，时，称（，）（）为三元联系数 相对于 的平均精度。利用各三元联系数单项预测值 相对于实际值 的平均精度 作为 算子中的诱导值 ，诱导值越大所对应的单项预测值，赋予较大权系数，每个时点处都类似处理，则预测结果会更精确。将 和 结合可构成 个含三元联系数的二维数组（，），（，），（，），利用 算子对该数组进行数据集结，可得第 时刻由 算子集结而成的三元联系数组运 筹 与 管 理 年第 卷合预测值 （）：（）（）（）（）（）根据性质 可知 （）仍是三元联系数，不妨设为：（）（）（）（），利用定义 可计算出（）式同部、异部和反部分别为：（）（），（）（）（）（）（）（），（）（）（）（），。三元联系数实际值 在由 算子集结而成 的 组 合 预 测 值 （）上 的 联 系 数 投 影 （）（）是，的函数，当从联系数投影的角度考虑问题时，（）（）越大越好，结合联系数投影和 算子，建立变权系数三角模糊数组合预测模型（）为：（）（）（）（）（）（）（）（）槡）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），；（，）（，）（）定义 设 （），（），表示联系数投影（）或 （）（），当 时，模型（）（）都是优性组合预测；当 时，模型（）（）都是非劣性组合预测；当 时，模型（）（）都是劣性组合预测。实证分析为直观说明联系数投影的三角模糊数组合预测模 型（）和 模 型（）的 有 效 性，选 取 相 关 研究 中的数据进行实证分析，见表 。表 三角模糊数实际值和三角模糊数单项预测值实际值最小二乘模糊线性回归二次多项式模糊时间序列模糊时间序列自回归（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）两类三角模糊数组合预测模型的求解利用定义 将表 中各三角模糊数转换成对应的三元联系数，由定义 和定义 的运算规则，代入模型（）中，根据最大化模型准则，计算出最优权系数为：，。再将最优权系数与表 中单项预测值加权平均组合，通过定义 中三角模糊数运算规则，可求出三角模糊数组合预测值，见表 。第 期田成诗，等：基于联系数投影的三角模糊数组合预测模型及其应用表 实际值和模型（）最优组合预测值实际值模型（）组合预测值（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）计算各时点处三种三元联系数单项方法预测值相对 于三 元联 系数实 际 值 的平 均 精度，作为 算子的诱导值，利用 算子生成的三元联系数组合预测值表达式，代入模型（）中，由于无法计算出所有参数对应的权系数，故随机选取 ，求解出对应模型（）的最优权系数，见表 。根据表 中最优权系数和定义 中运算规则，按（）式计算出由 算子生成的三角模糊数组合预测值，见表 。表 不同参数下模型（）最优权系数权系数 表 不同参数下模型（）组合预测值 （，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）两类三角模糊数组合预测模型的误差评价分析 （）（）（），（），（），（）槡 （）槡 （）槡）。构建 ，新的三角模糊数预测误差评价指标来衡量预测效果，误差评价指标值越小反映出两三角模糊数越接近。对几种不同预测方法，利用四种预测误差评价指标值作有效性分析，见表 。从表 的 ，指标值可得：模型（）和模型（）都明显优越于三种单项预测方法，也都优越于相关研究 中预测方法，尤其模型（）的优越程度更明显。模型（）明显优越模型（），这是由于 算子在集结数据时充分考虑了精度大的预测方法赋予较大权系数。参数 取值不同，模型（）形式上也会不同，随机选取 种参数下模型（）的四个指标值变动较小，说明模型（）具有较强稳定性。运 筹 与 管 理 年第 卷表 各模型预测误差评价指标值预测方法 最小二乘模糊线性回归 二次多项式模糊时间序列 模糊时间序列自回归 组合预测模型（）组合预测模型（）（）组合预测模型（）（）组合预测模型（）（）组合预测模型（）（）丁珍妮等 的方法 朱家明等 的方法（算子）朱家明等 的方法（算子）丁珍妮等 的方法 （）两类三角模糊数组合预测模型的优劣性分析利用定义 对模型进行优劣性分析，由表 数据可得：模型（）和不同参数下模型（）的联系数投影都大于三种单项预测方法的联系数投影，尤其模型（）优越程度更明显，说明两类三角模糊数组合预测模型都是优性组合预测方法。种参数下模型（）的联系数投影变化小，且都明显大于模型（）的联系数投影，说明模型（）有较强稳定性，且比模型（）更有效。表 实际值在各模型预测值的联系数投影预测方法联系数投影最小二乘模糊线性回归 二次多项式模糊时间序列 模糊时间序列自回归 组合预测模型（）组合预测模型（）（）组合预测模型（）（）组合预测模型（）（）组合预测模型（）（）灵敏度分析模型（）中参数 有无穷种取值可能，当 变化时，模型（）最优权系数、误差评价指标都会变化，取参数在 ，）（，作灵敏度分析，检验模型的稳健性。图 中参数 在 ，）（，变化时，三个权系数波动都很小，其中 最大，在 附近缓慢递减，表明联系数平均精度最大的预测方法在组合预测值中贡献最大；居中，在 附近缓慢递增；始终为 ，表明联系数平均精度最差的预测方法在组合预测值中无贡献。图 参数变化时模型（）最优权系数变化由于参数 在 ，）（，变化时，模型（）最优权系数变化很小，在图 和图 中四种误差评价指标波动也很小，其中 指标在 附近缓慢递增，其增势略明显；指标在 附近缓慢递减；指标在 附近、指标在 附近都近似呈水平趋势。图 参数变化时 、的变化第 期田成诗，等：基于联系数投影的三角模糊数组合预测模型及其应用图 参数变化时 、的变化综合来看，参数 在 ，）（，变化时，模型（）的最优权系数、四种误差评价指标波动幅度都很小，可能是模型（）相关量计算中同时考虑了三元联系数的同部、异部和反部，三者彼此相互抵消的原因。结语为回避三角模糊数运算的模糊性和复杂性，本文引入三元联系数，利用其计算方便的特点，将三角模糊数组合预测转化成三元联系数组合预测。构建联系数投影作为新的最优准则，算子作为新的数据集结方式，分别从定权系数和变权系数建立联系数投影的三角模糊数组合预测模型，实证分析表明两类模型都能提升预测精度，尤其变权系数三角模糊数组合预测模型优越性更明显。由于模糊数据的组合预测研究还处在发展阶段，本文在对变权系数三角模糊数组合预测模型参数讨论时，只在有限区间作灵敏度分析，参数取其他值时模型如何变化；构建其他联系数信息集结算子对组合预测模型会有怎样影响，今后可作深入研究。参考文献：，（）：唐小我，马永开，曾勇，等 现代组合预测和组合投资决策方法及应用研究 北京：科学出版社，陈华友 组合 预 测 方 法 有 效 性 理 论 及 其 应 用 北京：科学出版社，汪同三，张 涛 组 合 预 测理 论、方 法 及 应 用 北京：社会科学文献出版社，凌立文，张大斌 组合预测模型构建方法及其应用研究综述 统计与决策，（）：袁宏俊，胡凌 云 基 于 连 续 区 间 有 序 几 何 加 权 平 均 算子的区间型组合预测模型 数理统计与管理，（）：戴现朝，李浩，周礼刚，等 一种基于 算子和广义向量夹角余弦的 最 优 区 间 组 合 预 测 模 型 系统科学与数学，（）：曹晓俊，袁宏俊 连续区间广义有序加权调和平均算子及其在区间组合预测中应用 南京理工大学学报，（）：胡凌云，杨威，王恒娜 一种新型高精度的区间数组合预测方法 统计与决策，（）：汪漂 混合 区 间 多 尺 度 分 解 的 区 间 时 间 序 列 组 合预测 运筹与管理，（）：，：丁珍妮，陈华友，朱家明 基于面积型中心误差准则的模糊组合预测模型及应用 模糊系统与数学，（）：朱家明，陈华友，周礼刚，等 基于 算子的模糊优化 组 合 预测 模 型 及 其 应 用 运 筹 与 管 理，（）：丁珍妮，陈华友，朱家明 三角模糊数组合预测模型及其 值近似解法 统计与决策，（）：赵克勤 集对分析及其初步应用 杭州：浙江科技出版社，运 筹 与 管 理 年第 卷