含零收益率的金融非对称Log-GARCH模型研究.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）作者简介：裴浩天（），男，江苏镇江人，博士研究生，研究方向：金融风险管理；车雪萌（），女，山东荣成人，硕士，研究方向：金融风险管理；杨爱军（），通讯作者，男，江苏盐城人，博士，教授，博士生导师，研究方向：金融风险管理；林金官（），男，安徽来安人，博士，教授，博士生导师，研究方向：金融统计与风险度量。含零收益率的金融非对称 模型研究裴浩天，车雪萌，杨爱军，林金官（南京林业大学 经济管理学院，江苏 南京 ；南京审计大学 统计与数据科学学院，江苏 南京 ）摘要：在实际外汇市场中，由于诸如交易缺失、舍入误差等原因使得收益率序列中出现零值，常见 族模型无法对含零收益率数据进行有效拟合，导致波动率估计结果产生较大偏差。为了更准确地估计汇率波动率，本文对含有零收益率的外汇数据进行建模。首先运用不受条件方差为正限制的 模型对汇率市场收益率数据进行拟合，同时提出一个处理含有零收益率的数据处理框架，即将零值视为缺失的观测值。然后通过结合 方法和期望最大化（）算法对含缺失观测值的 模型进行无偏估计。最后通过实证分析比较零收益率两种不同处理方法 非零值代替零值方法和将零值视为缺失值方法下波动率估计结果的差异。研究结果显示零收益率的存在会增加波动率的估计偏差，将非零值作为缺失值方法得到的估计结果更接近市场真实情况。关键词：汇率波动；模型；表达；缺失值中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：，（，；，）：（）（），（），（）（），（）（）（），；，：；引言金融资产波动率模型可分为两大类：一类是广义自回归条件异方差（）模型；另一类是随机波动（）模型。目前 类模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的，已被广泛地用于金融市场分析中。就外汇 市 场 而 言，李 艳 丽 运 用 指 数 平 滑 模 型、模型和 模型对汇率的波动率进行了刻画；张曼等 提出的中位数 模型在资产定价和对汇率的准确估计方面有极大的改进；孙少岩和孙文轩 运用 模型对美元对人民币汇率时间序列的波动率进行了拟合分析；运 用 、和 模型研究了在岸和离岸市场人民币汇率收益率的波动率。但是现有研究运用的非指数形式 类模型受到条件方差为正约束，且未考虑零收益率存在的情况。对数形式 类模型能够确保拟合条件方差的正向性，但该类模型对数运算无法在零值上发生，如果收益率等于零，对数运算就无意义。因此模型无法充分利用样本数据，进而造成解释问题的准确性不足。零收益率发生情况一般有两种。第一种情况，实际收益率等于零的概率为零，但是 受到 缺失交易、离散 近 似 误 差（舍 入 误差）、缺失值和其他数据等问题影响，在观测收益率计算时仍然可能出现零。第二种情况，实际收益率为零的概率不等于零，市场条件影响收益率为零的概率。为了更准确地估计汇率波动率，本文对含有零收益率的外汇数据进行建模。本文主要工作在于：首先，运用不受条件方差为正限制的 模型对汇率市场收益率数据进行拟合，同时利用 模型形式来表示 模型。其次，广泛使用的以最小非零绝对值代替零收益率的处理方法得到的估计结果是有偏的，本文提出一个处理含有零收益率的数据处理框架，即将零值视为缺失的观测值。然后，通过结合 等 的 方法和期望最大化（）算法对含缺失观测值的 模型进行无偏估计。最后，通过实证分析比较零收益率两种不同处理方法 非零值代替零值方法和将零值视为缺失值方法下波动率估计结果的差异。模型构建 模型如果表示中心化的收益率，模型形式为：，（，），（）（）（）其中，和 是滞后阶数，为条件标准差即波动率。在这个过程中，是可观测的且已知的。根据式（），参数 按收益率的正负性可以进一步细化为 ，由 此 表 示 的 模型有以下性质：（）不受正向性限制。对于标准 （，）模型，条件方差表达式为 ，运 筹 与 管 理 年第 卷条件方差全部为正值。但对于 模型，条件方差的对数形式则不受正值约束，可以为负值。（）对称性。当参数 与 相等时，收益率的变化对条件方差的影响效果是一致的；当 与 的绝对值不相等时，收益率对条件方差的影响不同。相同变化条件下，条件方差的变动幅度远大于 对 数 条 件 方 差 的 变 动 幅 度。因 此 对 于 模型，收益率的变化引起对数条件方差的变化程度较小。（）对 数 条 件 方 差 没 有 最 小 值。在 标 准 模型中，条件方差有最小值，最小值受参数的影响，标准 模型的条件方差与 成正比，且与参数 同方向变化。而在 模型中，对数条件方差的期望值没有最小值，二者相割离。（）较小的收益率也会对波动率产生持续性效应。在标准 模型中，较大的波动率通常伴随着其他较大的值。当 参数在一定范围内，收益率的突然上升会引起条件方差增大很多，引起较大幅度的收益率波动，波动趋于平稳所需的时间更长；而较小的收益率变动引起的波动时间较短，是不持续的。此外，标准 模型对于相对微小的变动敏感度不高，一般情况下参数 接近 也正好说明了这一点。与之相比，模型无论对较大的收益率变动还是较小的收益率变动，都会对波动率产生持续性影响。对于 模型，的估计值越小，越能反映出一系列微小变动对波动率的持续性影响，即使是单个微小的冲击也会引起收益率波动较长的时间，有较高的持续性。表示如果 （），那么 （，）模型的 （，）表达形式为：）（）（）当 ，（，）时，（）（）（）由于 （），则。只要遵守适当的假设条件，所有 参数也就是除了对数波动率的截距项 之外的所有 模型参数的一致渐近正态性估计值，都能够通过高斯拟极大似然估计（）或最小二乘估计等常规 估计方法得到。为了估计，常用方法是对残差序列 的分布提出限制性假设或按比例调整估计模型。本文通过比例调整得到 （）的一致性估计量，进而实现对 模型参数 的一致性估计。和 所采用的比例调整方法本质上是拖尾估计，可以将式（）调整为：，（，）。其中，不完全等于标准偏差，随机变量 不一定有单位方差。通过构建 和 ，调整后收益率的对数项拟合值为 ，表示形式下条件方差的拟合值为 ，的残差定义为 。为了得到随时间变化的条件标准偏差的估计值，并将其与其他波动模型相比较，等 将条件标准偏差的估计值调整为乘以 的估计值。尽管经此调整后的条件偏 差 对 金 融市 场 的 实 际影 响 难 以确 定，但在 模型中，经对数调整后条件方差的估计值为（）（），这种经比例调整后条件方差估计值的对数可以用来计算 （）。（）条件下，（）（），即 （）为（）的一致估计量。基于 （）的一致性估计量和式（）中的关系式，包括 和最小二乘估计在内的一系列 估计方法可以被用来对所有 模型的参数进行一致性估计。此外，可以在估计量中添加如非对称 杠杆项、外生变量或预定条件信息（即“”）等额外附加项，且不会对 模型和 参数之间关系产生影响，也不会对偏差修正过程的结构产生影响。针 对 模 型 的 最 大 似 然 估 计，等 的标准 通过对 （，）进行最大化来实现，这里 为高斯密度函数。此外，他们使用了不同于对称的对数波动率函数。在此函数中等式（）被替换为：（）当 时，指示函数 结果为 ，否则为 。在 （）的假设下，对于概率为 的所有 的方程式（）和（）相等。等式（）能够避免了对第 期裴浩天，等：含零收益率的金融非对称 模型研究零值进行对数运算，但是由于标准 方法估计函数也依赖 （）的假设，因此零值存在时也会使得估计为有偏估计。观测零值处理方法为了研究含零收益率的汇率数据，本文区分实际收益率和观测收益率槇，实际收益率由式（）（）给出，观测收益率由下式给出：槇，（）当 时表示可以观测到实际收益率，即观测收益率等于真实收益率。而当 时，表示实际收益率的观测值有误差或缺失。确定真实收益率的数据生成过程与确定 的零生成过程相互独立，是非随机且已知是一种特殊条件，也就是由于交易所关闭导致的零收益率，此时本文算法依然有效。但一般情况下零值生成过程是随机的，那么算法有效性对不同的随机过程就存在差异。因此对于零收益率或缺失值的程序处理问题，关注重点就在于 的随机过程。记基 于 过 去 条 件 下 的 时 变 零 概 率 为 （）代表，这表示 （）。当 服从独立同分布时，则：（），（）。记 为过去信息的集合，令 ，和 ，分别表示包含残差项的信息集合和 零收益 率生成 的 信 息集 合，同 时 存在 和 的关系。在 时，在算法程序中缺失值用 表示的条件均值来替换，其有效性的关键条件是：（）（，）（）这里 （）表示过去相关信息下 的期望值。以残差项和零收益率产生机制的过去信息之间的相关性为依据，本文对零值生成过程做了类似分类：（）对于每一对（，），和 都是独立的；缺失值是绝对随机产生的，即缺失值与数据值本身没有关系；（）和 在 下各自是独立的，缺失值的生成部分与误差项无相关关系，缺失值的生成过程只与过去时期的收益率有关，与过去时期的缺失值无关；（）和 相关，缺失值的生成与误差项存在相关关系，缺失值的分布受观测数值中缺失部分的影响，即零收益率的产生受过去时期缺失值的影响。算法当零收益率存在时，假设 表示为非零值的位置，并令 表示非零值的数量。第 次迭代过程表示为：步骤 对于 ，计算）（）当 （）（）当 ，）（）（）（）（）（）（）（）。步 骤 计 算 近 似 条 件 对 数 似 然 函 数 （）；（）和其他量（例如梯度和 矩阵）以得到第 次迭 代 值（），（），（），（），（）和（），其中 和（）分别是单变量高斯密度函数和波动率参数第 次估计值。实证分析 数据选取与处理本文选择的样本包括：英镑兑人民币汇率价格、日元兑人民币汇率价格、澳元兑人民币汇率价格、美元兑港币汇率价格、美元兑日元汇率价格、澳元兑美元汇率价格、英镑兑美元汇率价格、英镑兑日元汇率价格以及英镑兑澳元汇率价格数据。实证结果分析表 给出了 （，）模型的估计结果，规 范 式 为，表示自然对数收益率的百分比，即汇率价格的自然对数差乘以 。本文运用两种方法对零收益率数据进行处理：第一，方法表示使用 最 小 的 非 零 绝 对 值 代 替 零，然 后 通 过 高 斯 来估计模型；第二，方法则保留零值，并结合 和 算法与高斯 结合来估计模型。对比两种处理方法下得到的估计结果发现，估计值的最大差值由美元对港币汇率数据产生，英镑对人民币汇率、日元对人民币汇率和澳元对人民币汇率数据产生的估计值差值较小。因此对含较多零收益率序列，不同方法下得到的估计值差值较大；对含较少零收益率序列而言，估计值差值较小。控制无条件方差，美元对港币汇率、日元对人民币汇率和英镑对澳元汇率在 方法下的估计值较高，其中美元对港币的汇率在该方法下的估计值远高于其他汇率的估计值，其余六组汇率数据由 方法得到的估计值比较高。美元对港币汇率数据在两种处理 方 式 下 得 到 的 的 估 计 值 差 值 最 大，为 。英镑对人民币汇率、日元对人民币汇率和运 筹 与 管 理 年第 卷澳元对人民币汇率三组样本数据的零值占比较低，分别为 ，和 ，两种处理方式下 的估计值比较接近，两种方法下的估计值差值最小为 。表 （，）模型估计结果 （）（）值 参数 控制 时刻冲击的影响或较大收益率的短期影响，也就是过去发生较大的外部冲击对汇率收益率波动的影响程度。除日元对人民币汇率和英镑对澳元汇率由 方法得到的估计值略低于 方法得到的估计值外，大部分样本数据通过 方法处理得到的估计值都比较高，美元兑港币汇率由两种处理方法得到的估计值差值最大，为 。美元对港币汇率收益率序列的估计值最高，说明零收益率的存在放大了外部冲击对汇率收益率波动的影响，收益率波动幅度更大，持续时间更长。零的数量与参数 之间可能存在相互作用，方法得到的估计值普遍大于或等于 方法得到的估计值。美元对港币汇率序列拥有最高比例的零收益率，当用 方法时，的估计值为 ，而在 方法下得到的估计值为 ，差值为 ，且两个估计值在各自方法下相比其他汇率得到的结果均是最小的，其他八组汇率数据的 估计值在两种方法下的差值较小。表示汇率收益率对微小变动反应的灵敏度，反映收益率序列自身对市场变化的记忆性。参数值越小，表明该收益率序列对市场中微小变动的反应越灵敏。表中显示 方法相比 方法得到的估计值更小，且含零比例较高的美元对港币汇率收益率序列的估计值最小，这说明零的存在提高了收益率序列对市场变化的敏感度。最后，对平方残差的二阶滞后自相关进行 检验，结果表明除英镑对人民币汇率和澳元对人民币汇率的 检验统计量值未发生变化外，其余七组样本的检验统计量值都减小了，即 方法整体上对模型进行了优化。英镑对人民币汇率在两种方法下检验统计量对应 值均为 ，美元兑港币汇率通过 方法得到的检验统计量对应 值为 ，均大于显著性水平。其他样本数据的二阶自相关检验统计量对应 值均接近 ，小于显著性水平，即序列存在相关性，这种情况可能是由于模型没有考虑不对称性有关。金融数据收益率通常表现出非对称性，为了研究零对非对称性的影响，本文对加入非对称项的 （，）模 型 进 行 估 计，其 非 对 称 项 与 等 中的设置相同。对非对称模型采用了与对称模型相同的估算过程，非对称 （，）模型的估计结果见表 。第 期裴浩天，等：含零收益率的金融非对称 模型研究对比 表 和 表 我 们 可 以 看 出，非 对 称 （，）模型与 （，）模型的估计结果总体情况相同。对于截距的估计值，除美元对港币汇率和英镑对澳元汇率由 方法得到的估计值低于 方法的估计值外，其他样本序列由 方法得到的估计值均大于或等于 方法得到的估计值。其中，美元对港币汇率数据由两种处理方法得到的估计值差异最大，为 。对于 参数的估计值，通过 方法得到的的值均大于 方法得到的估计值，美元对港币汇率由两种方法得到的估计值差值最大，为 。澳元对人民币汇率在两种方法下得到的估计值差值最小，为 。对于参数 的估计值，通过 方法 得到 的 估 计值 均小 于 或 等于 方法得到的估计值，其中美元对港币汇率的估计值差值最大，为 ；而其他样本序列，两种处理方法得到的估计值差异均在 以内。表 非对称性 （，）模型估计结果 （）（）（）（）值 进一步分析由两种不同零值处理方法导致汇率波动率估计结果的差异，估计结果如表 表 所示。表 表 表明不同处理方法对波动率估计结果的影响显著。其中对于零收益率占比最高的美元对港币汇率数据而言，由 方法得到的波动率与 方法得到的波动率比值最高达 倍，平均比值为 倍。对于零值占比最小的英镑对人民币汇率和澳元对人民币汇率数据而言，方法和 方法两种处理方法得到的波动率估计均值相同，即两种处理方法的修正作用差异不大。对比上述几组汇率波动率的估计结果可以看出，含零收益率比例越高的数据，方法对零值的修正效果越好，即 方法对处理含零值较多的汇率数据适用性更高。表 波动率估计结果分析（）运 筹 与 管 理 年第 卷表 波动率估计结果分析（）表 波动率估计结果分析（）结论本文选择美国、中国、英国、日本、澳洲五个经济体之间的汇率价格数据为样本，运用 模型对汇率波动率进行建模。本文考虑了汇率市场零收益率数据对波动率模型拟合结果的影响，并运用非零值代替零值和将零值视为缺失观测值这两种不同处理方法来处理零收益率数据。通过结合高斯拟极大似然估计函数与期望最大化算法来对模型进行估计，本文全面对比分析了两种不同零值处理方法下模型的估计结果。研究结果显示零收益率的存在会增加波动率的估计偏差，将非零值作为缺失值方法得到的估计结果更接近市场真实情况。参考文献：李艳丽 人民币汇率波 动 的 预 测基 于损 失 函 数和 检验的比较分析 中国人民大学国际货币研究所 国际货币评论 年合辑 北京：国际货币评论 编辑部，：张曼，赵学靖，田人合 基于中位数 模型的汇率波动率预测 统计与决策，：孙少岩，孙文轩 加入 后人民币汇率波动规律研究基于 模型的实证分析 经济问题，：，（）：，：，：，（）：，：？，：第 期裴浩天，等：含零收益率的金融非对称 模型研究