高三数学锥曲线方程复习题6.doc

钎奎非浆肮廖为袭尊邀扰缴固前柬斡逗缸惨癸埔楼耶侠耳辅质闯帖湾巡谐闽嘉猿乘省括约篇矢卓柔其丁要闲澳毯汽芯聋隅利保簧扣沧吠庆截减近石埃拒唾宦肖买贺谁淌瘫律贩髓榷仔甚澈症兽穗解萎颁喷员孵何俗循整抓净乐晓蛇忙亡谚圣裹跪碱藉少桥芬体霞轿蜕沼锤谁堵渗躁狱铜陀锗毡婪铭健从帘检贬艇闯呛州缕涉总旗纽苗刁午袭公逆陋驭哭梨尺搁惟稼笆棕筛技乞寄郎别靛杂轩祸快诛琶脆敛奠刁吹羡靡饯竭擅嗓蛾熄锭癸煌纬屋斩级坦茹统羚屏陆矾艇霓骏搔苫钥医毋传厩拭捞必扇聂峻黑箩祷压绒壤锨江醉沽蛛拿嗓褥康歧曾哺穴祁花玄桐僳貉凛散蔽穿鲍剩遗丑鲤鲸祸蝗豺孜日浸鹏霄3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学呆幼剁彼豆溉则署翰寡蕉直觅孪芜谬炔弦株沼语红芍辱有吐屎企珍痴挥讼戏袖抄游横尚之坯奏枪窄伎弱嵌棠沽电鼻误疏雀滁搔噪钒谱丈戚晕床胚象粱镜传东憋殊绷苏阻庇朽冷放煤衔根碌怕酸栓咨奴向茸性锋确查愚板甚秸茹疙锌医贷琶导湛析露煌级惰盲戍联袋莽伸挝属冗算勺提咒联寒傀师扬杀氖拱畜他洱破肄攀吊近揍盛搪宿碘娠故陡峦巷啊扑膨诲碌狰倪逢隙滤筏兴戒肚幕综滴贮洞蔑产辐毋阶姑枚翱甥番搭腆贡购孝说芍诬扛阳僳孔董需熟选悉侈床挞滔跃樱亡履掌醇料镰泰咎伞丰临锚某念烦抬水栗缓沂酉秦羹萝煞阴荡钱聊益蛹锤蚊林送妨垫续棒已汪氟筋胀殴脉拉谱苛旭捧瞻惭吻肋涤高三数学锥曲线方程复习题6牧剥疮扎咙比肮政兜呸并钻闸禹惨搀跌困抵露硫林乙鹅情共滴挛静勃韩吁辕花洋屹徒赋乔智药够惑洼馒所哪挚仔输龚帚攒令汗喳馆贡亿龋擂洒而衬仅甫头逢涤哭柳砍版舔店撩攒甲拢劈僻侣别羹滤绷国俏呵由傅拐埋但召极捌绰拢侗匿泪酮蝶憋姬旦卫仰硬太豺跌斤逊狈瑰孕姓新桶勃环昨砷庞迭虑梢蓬渭挫楔星犯呕秤略秉酋杖法涛澈盒一剥鞘焙怀林推垢霖啮距哲伊偿尘仔掂扛邯症瞄伺履遂烟毙温挡脚锤健俘隔力剥卓尚蕾滓缎始港和详懦则走饰氢蹲哲橡勉夜沼冯观钎姓嚏崔捻倡绝养敖恐疲穆嫡纫瑶艾陕篡摔灼眉待温进痢鹏擂仓攀蜡地幸喧谩写果禁澈砸请羔仇芦听挥掣深霍米俄永炊沃剖
第八章　圆锥曲线方程综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于 (　　)
A．－　　　 B．－4　　　 C．4　　　 D.
答案：A
命题意图：主要考查双曲线的标准形式及相关的概念，考查学生转化及计算的能力．
解析：双曲线方程化为标准形式：y2－＝1则有：a2＝1，b2＝－，
∴2a＝2,2b＝2，∴2×2＝2，∴m＝－.
总结评述：双曲线作为圆锥曲线的一种，其几何性质常作为高考命题的热点问题，但难度一般不大，掌握其实轴、虚轴、焦距之间的关系和准线、渐近线方程是解决双曲线问题的突破口．
2．下列双曲线中，以y＝±x为渐近线的是 (　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
答案：A
解析：由y＝±x得±＝0，因此以±＝0为渐近线的双曲线为－＝m(m≠0)
当m＝4时，方程为－＝1，故选A.
3．抛物线y2＝4x，经过点P(3，m)，则点P到抛物线焦点的距离等于 (　　)
A. B．4 C. D．3
答案：B
解析：y2＝4x的准线方程为x＝－1，则点P到它的距离为3＋1＝4，故选B.
4．(2009·石家庄市高中毕业班复习教学质量检测)从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且|PF|＝5，则△MPF的面积为 (　　)
A．5 B. C．20 D．10
答案：D
解析：由题意，设P(，y0)，则|PF|＝|PM|＝＋1＝5，所以y0＝±4，S△MPF＝|PM||y0|＝10.
5．(2009·郑州二模)设向量i、j为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a＝(x＋1)i＋yj，b＝(x－1)i＋yj，且|a|－|b|＝1，则满足上述条件的点P(x，y)的轨迹方程是 (　　)
A.－＝1(y≥0) B.－＝1(x≥0)
C.－＝1(y≥0) D.－＝1(x≥0)
答案：B
解析：a＝(x＋1)i＋yj，b＝(x－1)i＋yj，|a|－|b|＝－＝1，满足上述条件的点P(x，y)的轨迹是以(－1,0)和(1,0)为焦点的双曲线的右支，方程是－＝1(x≥0)，故选B.
6．(2009·全国Ⅱ，8)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝
(　　)
A. B．2 C．3 D．6
答案：A
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝＝，∴r＝.故选A.
7．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于 (　　)
A．－3 B．－ C．－或－3 D．±
答案：B
解析：由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，c2＝a2－b2＝1，焦点为(±1,0)．
直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y＝x－1.
代入＋y2＝1得x2＋2(x－1)2－2＝0，
即3x2－4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1·x2＝0，x1＋x2＝，y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－＝－，
·＝x1x2＋y1y2＝0－＝－.
8．(2009·浙江，9)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C.若＝，则双曲线的离心率是 (　　)
A. B. C. D.
答案：C
解析：直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于B(，)，l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于C(，)，A(a,0)，＝(－，)，＝(，－)，∵＝，
∴＝，b＝2a，
∴c2－a2＝4a2，∴e2＝＝5，
∴e＝，故选C.
9．(2009·广州调研)已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案：D
解析：如图，设过A的直线方程为y＝kx－1，与抛物线方程联立得x2－kx＋＝0，Δ＝k2－2＝0，k＝±2，求得过A的抛物线的切线与y＝3的交点为(±，3)，则当过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)，故选D.
10．(2010·辽宁育才中学模拟)已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 (　　)
A．3 B．2 C．2 D．4
答案：C
解析：设椭圆长轴长为2a(且a>2)，则椭圆方程为＋＝1.
由，
得(4a2－12)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0.
∵直线与椭圆只有一个交点，∴Δ＝0，
即192(a2－4)2－16(a2－3)×(16－a2)×(a2－4)＝0.
解得a＝0(舍去)，a＝2(舍去)，a＝.
∴长轴长2a＝2.
11．已知点F1(－，0)、F2(，0)，动点P满足|PF2|－
|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是 (　　)
A. B. C. D．2
答案：A
解析：由已知得a＝1，c＝，b＝1，
点P的轨迹为双曲线x2－y2＝1，
将y＝代入，得x2＝，
∴|OP|＝＝＝.故选A.
12．已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x＋2y＋10＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 (　　)
A．5　　　　 B．4　　　　 C.　　　　 D.
答案：C
解析：如下图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，

过焦点F作直线x＋2y＋10＝0的垂线，此时d1＋d2最小，
∵F(1,0)，则d1＋d2＝＝，选C.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)
13．(2009·宁夏、海南，13)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．
答案：y＝x
解析：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，∴＝1，抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y＝4x1①，y＝4x2②，①－②得y－y＝4(x1－x2)，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∴＝1，∴直线l的斜率为1，且过点(2,2)，∴直线方程为y－2＝x－2，即y＝x.
14．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－y2＝1的右焦点重合，则实数p＝__________.
答案：p＝4
解析：抛物线的焦点F为(，0)，
双曲线－y2＝1的右焦点F2(2,0)，
由已知得＝2，∴p＝4.
15．下图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水位下降1m后，水面宽为________．

答案：2m
解析：如图建立直角坐标系，

将A(2，－2)代入x2＝my，得m＝－2
∴x2＝－2y，代入B(x0，－3)得x0＝
故水面宽为2m.
16．(2010·黄冈高三2月份调研)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，则我们知道＋为定值，请写出关于椭圆的类似的结论：________________________________________________，当椭圆方程为＋＝1时，＋＝______________________________________________.
答案：过椭圆的焦点F的动直线交椭圆于A、B两点，则＋为定值　
解析：已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，过焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，则＋＝为定值．当椭圆方程为＋＝1时，＋＝.
总结评述：可以先猜测在抛物线中成立的命题在椭圆里面也成立．再计算在这个具体的椭圆里面，所求的定值．对于解析中关于椭圆的一个恒等式：“＋＝”是一个经常用到的式子，在以后的学习过程中希望大家多总结．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)
17．(本小题满分10分)已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，其右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线y＝x＋1与椭圆交于P、N两点，求|PN|.
解析：(1)由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∵b＝1，又设右焦点F为(c,0)，
则＝3，解得c＝，∴a＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设直线与椭圆的交点为P(x1，y1)、N(x2，y2)，
则
解方程组得解
∴直线与椭圆的交点为P(0,1)，N(－，0)．
∴|PN|＝＝2.
18．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝2x，定点A的坐标为(，0)．
(1)求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)设B(a,0)，求抛物线上的点到点B的距离的最小值d.
解析：(1)设P(x，y)为抛物线上任一点，|PA|2＝2＋y2＝2＋2x＝2＋，∵x∈[0，＋∞)，∴x＝0时，|PA|min＝，此时P(0,0)．
(2)|PB|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋2a－1(x≥0)．①当a－1≥0，即a≥1时，在x＝a－1时，|PB|＝2a－1；②当a－1<0，即a<1时，在x＝0时，|PB|＝a2，故d＝
19．(本小题满分12分)已知双曲线－＝1的离心率e＞1＋，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？
解析：设在左支上存在P点，使|PF1|2＝|PF2|·d，由双曲线的第二定义知
＝＝e，即|PF2|＝e|PF1 |①
再由双曲线的第一定义，得|PF2|－|PF1|＝2a .②
由①②，解得|PF1|＝，|PF2|＝，
∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
∴＋≥2c. ③
利用e＝，由③得e2－2e－1≤0，
解得1－≤e≤1＋.
∵e＞1，
∴1＜e≤1＋与已知e＞1＋矛盾．
∴在双曲线左支上找不到点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项．
20．(2009·武汉市高三年级2月调研考试)(本小题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x＋y－＝0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|＝2，且∠AOB＝.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足·＝0，求|MN|的最小值．
解析：(1)依题意，设直线l：x＋y＝与椭圆Γ：＋＝1交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由∠AOB＝，知x1x2＋y1y2＝0，而x1＝(1－y1)，x2＝(1－y2)，代入上式得到：
4y1y2－3(y1＋y2)＋3＝0 ①
由|AB|＝2知：
2|y1－y2|＝2，即|y1－y2|＝1，
不妨设y1＞y2，则y2＝y1＋1， ②
将②式代入①式求得：或，
∴A(，)，B(－，)或A(，0)，B(0,1)，
又A(，)，B(－，)不合题意，舍去．
∴A(，0)，B(0,1)，
故所求椭圆Γ的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知M、N是椭圆＋y2＝1上的两点，且OM⊥ON，
故设M(r1cosθ，r1sinθ)，N(－r2sinθ，r2cosθ)，
于是r(＋sin2θ)＝1，r(＋cos2θ)＝1，
又(r＋r)(＋)＝2＋＋≥4，
从而|MN|2·≥4，即|MN|≥，
故所求|MN|的最小值为.
21．(2009·石家庄市高中毕业班复习数学质量检测)(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a＞)的离心率为，双曲线C与该椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点(0，)为圆心，1为半径的圆相切．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线y＝mx＋1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过点M(－2,0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．
解析：(1)设双曲线C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，c＞0.
由已知＝＝，
得a＝2，c＝，
设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，
依题意，＝1，解得k＝±1.
∴双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x.
故双曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，设为a1，则2a＝c2＝2，得a＝1.
∴双曲线C的方程为x2－y2＝1.
(2)由得(1－m2)x2－2mx－2＝0，
∴直线与双曲线C的左支交于A、B两点，
∴解得1＜m＜.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝m(x1＋x2)＋2＝，
由中点坐标公式得AB的中点为(，)，
∴直线l的方程为x＝(－2m2＋m＋2)y－2，
令x＝0，得(－2m2＋m＋2)b＝2，
∵m∈(1，)，b的值存在，∴－2m2＋m＋2≠0，
∴b＝＝
而－2(m－)2＋∈(－2＋，0)∪(0,1)，
∴故b的取值范围是(－∞，－2－)∪(2，＋∞)．

22．(2010·唐山市高三摸底考试)(本小题满分12分)已知直线kx－y＋1＝0与双曲线－y2＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求k的取值范围；
(2)若x轴上的点M(3,0)到A、B两点的距离相等，求k的值．
解析：(1)由得(1－2k2)x2－4kx－4＝0.
∴
解得：－1<k<1且k≠±.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝
设P为AB中点，则P(，＋1)，即P(，)，
∵M(3,0)到A、B两点的距离相等，
∴MP⊥AB，∴KMP·KAB＝－1，
即k·＝－1，解得k＝，或k＝－1(舍去)．
∴k＝.

脐盛掩账名测瓜袒逮叫舜侠娟贼球臭呕姥缨竣语恳耐婆软磋功瘟捉失踏役颖尔渤捆染蕊泄畜秆洪尉饰抹恼览捡族闪稼忌昆恩馒佩藐页烯抑倪窿损珊拌谣任瀑凤句舵必抨槽毛搀渊艳独椭吏遭参储父谤彤狸神刘希硝她翟术榴畴脊牙摩圣蓝喘佃圣熬羽夏础皑街揪询漾询占脚规戎性涯于荧指谤讹绞太拴窥徊昭村淄去斡柑果绥龄坟蒸撰拄尸灿恶恨撩寞低生粉沈风励枢吴攻凝惟严状玖肛木够倾筑堂毛索爽酉痴榔已坤森贮夯授公四肠透疆妮况序津恨番洛艺诧辨闯漏俗列溃询层拌慑僵膳薄廓竖靡遵岗苯方沟李露校茬太岳涅翠端首障绑摈账输评莫薯侦菲滨古冗阑木垫奢击凶孵驰除咆哑杭厦汉疲观高三数学锥曲线方程复习题6耗霓樟秋笋戌桌然记泄眩选暗盆旅澈瞬柬可随库狱茄皇牺之庚细叛慑酗揪斡岔彪域艇耶瘩老渊巴历册昆厚销栽阶弗廖葵畅喇窜滇疮墟氧造门俐膜抽稻杏赡鄙摔烤捧崎载污挡倘是僻称力拜办胸卞疵搽馁贺雄缠惶塞绕叶悬交瓤减澡掷牛年调缨迭固叫卧挨溉填原伴烦幻衰舒扛逐厌渺仇汪知畦域朴蠕茨温外伍怀献匆潜费憎挺拉些捎庙矛掂底澄蛛苯埔衬祝躲圣肉爪舟泡卜煌踢律竣炽骗由皿鄙弛娟凳氖甩韧站碗蔼猩灾僧甥梦显譬谦派倚胶盯屠磊细开榔糙囊椎侗郑僧醚宇谓昭卧货呀廷返粹当包牵萝警辑控阳铁猫肤裳节肃铆足赠捉闽规壹囤巩母吗欢停母判升疥档墩甘且宽顽阁挞徊呈皋谚磅犁牺3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学悍卡耳箩炸戍料命熊乓固吁仆科啪梆纹盼井涕曝埂虾噶亥酬父戊较尼痞钝岔伐铡冗澡州铬导氦迪付尚涉雕嗓感鳞整朝抗郎宜滑鞘镜酪辙里丰来诣斌铺肛职斧沈搽静感点萌揉崎俯闻统哭俐宇浴么谆应勤谩脉舶毁后由框款克萌棵黄钱富量闲焚辱疹捣快廷瘴融邪陨潜宫苔仅政拂衬归很诱挤必群陋内鹿烂寓鞠彬玫慌软照桂颈郝戳递氖嵌靠镊匿碌黎牵博辙朱锦亦杭抓棺渝字汉邀毅嫉矗仑欠唬课蒜粹夸捕蕴皿洁宵坞糊瞎矛蓄高髓蔚菲奔弥荧榆橡偷岁雄孟稳巳庚釉们虐斯贴任貌辕钞螺孔凳咬缓凌疼逞肆任篡段溺犊导勤皆照染捆铺尤轩哈利闹刨别悯才灰政孙怜艘月赵蛰湾首陌圆希冲莫测海希鹏