广义Petersen图的混合边邻域粘连度.pdf
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1、Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(2),723-729 Published Online February 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.132070 文章引用文章引用:段云清,武彩萍.广义 Petersen 图的混合边邻域粘连度J.应用数学进展,2024,13(2):723-729.DOI:10.12677/aam.2024.132070 广义广义Petersen图的混合边邻域粘连度图的混合
2、边邻域粘连度 段云清段云清,武彩萍武彩萍*太原理工大学数学学院,山西 晋中 收稿日期:2024年1月28日;录用日期:2024年2月22日;发布日期:2024年2月29日 摘摘 要要 已知图的混合边邻域粘连度概念以及几类基本图的参数计算公式后,本文给出了广义已知图的混合边邻域粘连度概念以及几类基本图的参数计算公式后,本文给出了广义Petersen图的混合图的混合边邻域粘连度的计算公式,使得混合边邻域粘连度算法更为细化,刻画某些网络的抗毁性更为精确。边邻域粘连度的计算公式,使得混合边邻域粘连度算法更为细化,刻画某些网络的抗毁性更为精确。关键词关键词 广义广义Petersen图,网络抗毁性,混合边
3、邻域粘连度图,网络抗毁性,混合边邻域粘连度 The Mixed Edge Neighbor Tenacity of Generalized Petersen Graphs Yunqing Duan,Caiping Wu*School of Mathematics,Taiyuan University of Technology,Jinzhong Shanxi Received:Jan.28th,2024;accepted:Feb.22nd,2024;published:Feb.29th,2024 Abstract After the concept of mixed edge neighbor
4、 tenacity of graphs and the formula for calculating para-meters of some basic graphs are known,the formula for calculating mixed edge neighbor tenacity of generalized Petersen graph is given,which makes the algorithm of mixed edge neighborhood adhe-sion more refined and the damage resistance of some
5、 networks more accurate.Keywords Generalized Petersen Graph,Network Invulnerability,Mixed Edge Neighbor Tenacity *通讯作者。段云清,武彩萍 DOI:10.12677/aam.2024.132070 724 应用数学进展 Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License
6、(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 网络已在当今社会广泛普及,网络抗毁性起源于计算机网络,是通信网络连通性研究的一个重要概念。1985 年 Gunther 和 Hartnell 提出了间谍网络的概念1,他们通过一个图来模拟间谍网络,其中图的顶点代表间谍或站点,边代表通讯方式。间谍网络最重要的特性是:如果间谍被捕,与他们直接接触的间谍是不可靠的。2006 年,南海地震的发生导致部分国际海底通讯电缆中断,使得许多国家和地区通信故障,某些地区的互联网接入和语音通话也受到影响。基于上述背景的抗毁性参数,称为邻域抗毁性
7、参数。在网络抗毁性分析中,主要考虑三个因素2:1)破坏网络的难易程度;2)网络被破坏的严重程度;3)有多少顶点仍然保持连通。因此,邻域连通度1 3、边邻域连通度4 5、邻域完整度6、边邻域完整度7、邻域离散数8、边邻域离散数9 10、邻域坚韧度11、边邻域坚韧度12 13、邻域毁裂度14、边邻域毁裂度15 16等参数被引入,以衡量网络在“邻域”情形下的抗毁性。设(),GV E=是一个简单图,分别称()(),N ef fE Gef=且和相邻和()N eN ee=为 e 的开邻域和闭邻域。若()XE G,则分别称()(),N Xf XE GfE XeXef=且存在使得和相邻和()N XN XX=为
8、 X 的开邻域和闭邻域。若将N X中的边和与 X 中的边关联的点均从中 G 删除,则称 X 为 G 的一个边颠覆策略,记剩余子图为G X。对连通图 G,设()XE G,若G X不连通,或孤立点或空集,则称 X 为 G 的一个邻域边割集。定义 1 1 设 G 是连通图,其边邻域连通度的定义为:()()min:GXXE G=,其中 X 为 G 的邻域边割集。边邻域连通度是基于(1)考虑的。定义 2 7 设 G 是连通图,其边邻域完整度的定义为:()()()min:ENI GXm G XXE G=+,其中()m G X为G X的最大连通分支的阶。边邻域完整度是基于(1)和(3)考虑的。定义 3 9
9、设 G 是连通图,其边邻域离散数的定义为:()()()min:ENS GG XXXE G=,其中 X 为 G 的邻域边割集,()G X为GX的连通分支数。定义 4 12 设 G 是连通图,其边邻域坚韧度的定义为:()()()min:ENXtGXE GG X=,其中 X 为 G 的邻域边割集,()G X为GX的连通分支数。边邻域离散数和边邻域坚韧度是基于(1)和(2)考虑的。边邻域坚韧度是边邻域离散数的除法形式,尽管这两个参数在定义上有一些相似之处,但在衡量网络的抗毁性方面作用不同。定义 5 15 设 G 是连通图,其边邻域毁裂度的定义为:()()()()min:ENR GG XXm G XXE
10、 G=,其中 X 为 G 的邻域边割集,()m G X和()G X为G X的最大连通分支的阶和连通分支数。边邻域毁裂度是基于(1)、(2)和(3)考虑的,是视角较为全面的抗毁性参数。为了更好地刻画边失效情形下的网络抗毁性,闫伟等人提出图的混合边邻域粘连度的概念。定义 6 17 设 G 是连通图,其混合边邻域粘连度定义为()()()()min:Xm G XMENT GXE GG X+=,Open AccessOpen Access段云清,武彩萍 DOI:10.12677/aam.2024.132070 725 应用数学进展 其中 X 为 G 的邻域边割集,()m G X和()G X为G X的最大
11、连通分支的阶和连通分支数。若有*X,使 得()()()*minXm G XMENT GG X+=,则称*X为 G 的一个混合边邻域粘连集,简记为 MENT-集。显然,混合边邻域粘连度越大,网络抗毁性越好。混合边邻域粘连度和边邻域毁裂度在衡量网络的抗毁性方面作用不同。目前已经研究了()3nP n、()3nCn、(),23n kTkn、()1,14nSn、(),DS m n、()3nKn、,m nK、1,2,n nnpK等(当 p 比较大时,完全 p 部分图的最大匹配需通过算法解决18)基本图的混合边邻域粘连度计算公式,下文我们将研究广义 Petersen 图的混合边邻域粘连度计算公式。本文所讨论
12、的图均是简单无向图,未定义的概念和术语参见文献19 20。2.广义广义 Petersen 图的混合边邻域粘连度图的混合边邻域粘连度 考虑广义 Petersen 图的混合边邻域坚韧度,先了解其定义及其部分性质,具体如下:定义定义 2.1 对于正整数 n 和 t 满足3n,11tn,且2tn,定义广义 Petersen 图(),P n t为:()()1212,;,nnV P n tu uu v vv=,()()()()()1,iiiiii tE P n tu uu vv v+=,其中下标关于模 n 同余。Watkins 等人证明了(),P n t与(),P n nt同构。图 1 所示为广义 Pet
13、ersen 图()5,2P,由于该图在各种图论文献中经常出现,人们习惯上称之为 Petersen 图。Figure 1.Petersen graph 图图 1.Petersen 图 定理定理 2.2 对广义 Petersen 图(),1P n有()()41,6,0421,61,0243,62,041,143,634222,642145,6543knk kkknkkkknkkkMENT P nknkkknkkknkk+=+=+=+=+=+=+=+,其中kZ+。段云清,武彩萍 DOI:10.12677/aam.2024.132070 726 应用数学进展 证明 显然()()33,12MENT P=
14、,()()4,12MENT P=,()()55,13MENT P=。根据 n 被 6 除的余数,分 以下六种情形讨论(其中kZ+)。情形 1 6,0nk k=。令 124562612 35 661 6,kkkkXu u u uuuv v v vvv=,结合图()6,1Pk结构(如图 2 所示)可知,X 为()6,1Pk的一个 MENT-集,容易知道4Xk=,()()6,11m PkX=且()()6,14PkXk=,则()()416,14kMENT Pkk+=。Figure 2.P(6k,1)and a MENT-set of P(6k,1)图图 2.P(6k,1)及其一个 MENT-集 情形
15、2 61,0nkk=+。令 124562612 35 661 661 61,kkkkkkXu u u uuuv v v vvvuv+=,结合图()61,1Pk+结构可知,X为()61,1Pk+的一个 MENT-集,容易知道41Xk=+,()()61,11m PkX+=且()()61,14PkXk+=,则()()2161,12kMENT Pkk+=。情形 3 62,0nkk=+。令 1245626161622 35 661 662 62,kkkkkkkkXu u u uuuuuv v v vvvuv+=,结合图()62,1Pk+结构可知,X 为()62,1Pk+的一个 MENT-集,容易知道42
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