高一数学下册知识点练兵检测试题17.doc

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在括号内．
1．已知全集U＝R，若集合M＝{x|log2x＜2}，集合N＝{x|y＝}，则M∩(∁UN)＝(　　)
A．{x|0＜x＜3}　　　　
B．{x|0＜x≤3}
C．{x|3＜x＜4}
D．{x|3≤x＜4}
解析：由log2x＜2，得0＜x＜4，∴M＝{0＜x＜4}．
N＝{x|y＝}＝{x|x≥3}，∵M∩(∁UN)＝{x|0＜x＜3}．
答案：A
2．若(a＋2i)i＝b＋i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝(　　)
A．－1　　　　B．1　　　　C．－3　　　　D．3
解析：由(a＋2i)i＝－2＋ai＝b＋i⇒⇒a＋b＝－1.
答案：A
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为(　　)

A．(16＋π)cm3 B．(16＋3π)cm3
C．(20＋4π)cm3 D．(18＋π)cm3
解析：由三视图知，该几何体的上部分是正四棱柱，下部分是圆柱．正四棱柱的底面边长为4 cm，高为1 cm，其体积为16 cm3；圆柱的底面半径为1 cm，高为3 cm，其体积为3π cm3.所以该几何体的体积为(16＋3π)cm3.
答案：B
4．若函数y＝f(10＋x)与函数y＝f(10－x)的图象关于直线l对称，则直线l的方程是(　　)
A．y＝0 B．x＝0 C．y＝10 D．x＝10
解析：y＝f(10＋x)可以看作是由y＝f(x)的图象向左平移10个单位得到的，y＝f(10－x)＝f[－(x－10)]可以看作是由y＝f(－x)的图象向右平移10个单位得到的．而y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴(即直线x＝0)对称，故函数y＝f(10＋x)与y＝f(10－x)的图象的对称轴l的方程是x＝0.
答案：B
5．若等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋a，则常数a的值等于(　　)
A．－ B．－1 C. D．3
解析：由Sn＝32n－1＋a知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝8×32n－3.
当n＝1时，a1＝S1＝3＋a.
∵数列{an}是等比数列，∴3＋a＝8×32×1－3＝，∴a＝－.
答案：A
6．已知两条不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，则m⊥n，则α⊥β；
④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．
答案：B
7．已知两单位向量a，b的夹角为60°，则两向量p＝2a＋b与q＝-3a+2b的夹角为（ ）
Ａ．６０° Ｂ．１２０° Ｃ．３０° Ｄ．１５０°

答案：B
8．某电视台举行大型文艺晚会，晚会演出时，为了达到更好的演唱效果，演出团从8名歌唱演员中选派4名在舞台上站成一排伴唱，其中甲、乙2人中有且仅有1人参加，则在舞台上伴唱队列的不同排列方法共有(　　)
A．480种 B．540种 C．840种 D．960种
解析：先从甲、乙2人中选出1人，有C种方法，再从其他6人中选出3人，有C种方法，最后让选出的4人在舞台上站成一排，有A种排法．于是，在舞台上伴唱队列的不同排列方法共有C·C·A＝960(种)．
答案：D
9．给出如下几个结论：
①命题“∃x∈R，sinx＋cosx＝2”的否定是“∃x∈R，sinx＋cosx≠2”；
②命题“∀x∈R，sinx＋≥2”的否定是“∃x∈R，sinx＋＜2”；
③对于∀x∈(0，)，tanx＋≥2；
④∃x∈R，使sinx＋cosx＝。其中正确的为（ ）
Ａ．③ Ｂ．③④
Ｃ．②③④ Ｄ．①②③④

答案：C
10．已知变量x、y满足约束条件，则f(x，y)＝的取值范围是(　　)
A．(，) B．(，＋∞)
C．[，] D．(－∞，)
解析：

画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，则f(x，y)＝＝，令＝k，则f(x，y)＝g(k)＝＝2－.
而k＝表示可行域内的点P(x，y)与坐标原点O的连线的斜率，观察图形可知，kOA≤k≤kOB，而kOA＝＝，kOB＝＝3，∴≤k≤3，即≤f(x，y)≤.
答案：C
11．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是(　　)
A. B．2 C. D．2
解析：把圆的方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，则可知直线与圆相离．如图，S四边形PACB＝S△PAC＋S△PBC，

而S△PAC＝|PA|·|CA|＝|PA|，
S△PBC＝|PB|·|CB|＝|PB|，
又|PA|＝，|PB|＝，
∴当|PC|取最小值时，|PA|＝|PB|取最小值，即S△PAC＝S△PBC取最小值，此时，CP⊥l，|CP|＝＝2，则S△PAC＝S△PBC＝×＝，即四边形PACB面积的最小值是.
答案：C
12．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈(－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]内零点的个数为(　　)
A．12 B．14 C．13 D．8
解析：如图，当x∈[0,5]时，结合图象知f(x)与g(x)共有5个交点，共在区间[－5,0]上共有5个交点；当x∈(0,10]时结合图象知共有9个交点．故函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,10]上共有14个零点．

答案：B
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中横线上．
13．已知α是第二象限的角，且sin(π＋α)＝－，则tan2α的值为__________．
解析：由sin(π＋α)＝－，得sinα＝，∵α是第二象限的角，∴cosα＝－，从而得tanα＝－，
∴tan2α＝＝＝－.
答案：－
14．如图所示的流程图，根据最后输出的变量S具有的数值，则S的末位数字是__________．

解析：事实上S具有的数值为20082009，根据题目要求只需考虑8n的尾数变化即可．
首先来观察8n的末位数字的变化规律.
n
2
3
4
5
…
8n的末位数字
4
2
6
8
…
8n的末位数字的变化是以4为周期的规律循环出现．
2009被4除余数为1，所以20082009的末位数字为8.
答案：8
15．若f(x)＝|2x－1|－|x＋1|，则满足f(x)＜2的x的取值范围为__________．
解析：①当x＜－1时，不等式f(x)＜2可转化为－(2x－1)－[－(x＋1)]＜2，得x＞0，此时无解；
②当－1≤x≤时，不等式f(x)＜2可转化为－(2x－1)－(x＋1)＜2，得x＞－，此时，不等式的解集为：－＜x≤；
③当x＞时，不等式f(x)＜2可转化为2x－1－(x＋1)＜2，得x＜4，此时，不等式的解集为：＜x＜4.
由①、②、③得满足f(x)＜2的x的取值范围为{x|－＜x＜4}．
答案：{x|－＜x＜4}
16．椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝__________.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有.
∵－＝1，－＝1.
两式相减得＝，
即＝，
即＝，即kOM·kAB＝.
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题12分)如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步(如由A到B)；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步(如由A到C)，当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步(如由A到D)．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．

(1)求质点P恰好返回到A点的概率；
(2)在质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望．
解析：(1)投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现都是等可能的，其概率为P1＝＝.
只投掷一次不可能返回到A点；若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为P2＝()2×3＝；
若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结果，其概率为P3＝()3×3＝；
若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1,1,1,1)．其概率为P4＝()4＝.
所以，质点P恰好返回到A点的概率为：P＝P2＋P3＋P4＝＋＋＝.
(2)由(1)知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且ξ的可能取值为2,3,4，
则P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，
所以，Eξ＝2×＋3×＋4×＝.
18．(本小题12分)已知函数f(x)＝a2x3－ax2＋，g(x)＝－ax＋1，其中a＞0.
(1)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，试求实数a的值；
(2)在区间(0，]上至少存在一个实数x0，使f(x0)＞g(x0)成立，试求实数a的取值范围．
解析：(1)设函数f(x)的图象与函数g(x)的图象的公共点为M(x0，y0)，则，
即.
由①得a(ax－2x0＋1)＝0，∵a＞0，且x0≠0，
∴a＝.　③
由②得a2x－ax＋ax0－＝0.　④
把③代入④，得()2·x－·x＋·x0－＝0，化简得x－2x0＋1＝0，解得x0＝1.
当x0＝1时，a＝＝1，
于是，所求实数a的值为1.
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝a2x3－ax2＋ax－(x∈(0，])，
对F(x)求导，得F′(x)＝a2x2－2ax＋a＝a2x2＋a(1－2x)＞0(a＞0)，∴F(x)在(0，]上为增函数，则F(x)max＝F()．
依题意，只需F(x)max＞0，即a2×－a×＋a×－＞0，
∴a2＋6a－8＞0，
解得a＞－3＋或a＜－3－(舍去)．
于是，所求实数a的取值范围是(－3＋，＋∞)．
19．(本小题12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E、F分别是BC，PC的中点．

(1)证明：AE⊥PD；
(2)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E－AF－C的余弦值．
解析：(1)由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又BC∥AD，所以AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
所以PA⊥AE.
而PA⊂平面PAD，AD⊂面PAD且PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.又PD⊂面PAD，所以AE⊥PD.
(2)设AB＝2，H为PD上任意一点，连接AH，如图．

由(1)知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE＝，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时tan∠EHA＝＝＝，因此AH＝.又AD＝2，所以∠ADH＝45°，所以PA＝2.
解法一　因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E－AF－C的平面角，在Rt△AOE中，EO＝AE·sin30°＝，AO＝AE·cos30°＝，又F是PC的中点，则AF⊥PC，∠FAO＝45°.则在Rt△ASO中，SO＝AO·sin45°＝，又SE＝＝ ＝，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝＝＝，即所求二面角的余弦值为.
解法二　因为AE，AD，AP两两垂直，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，连接BD，因为E，F分别为BC，PC的中点，所以A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，F(，，1)．
所以＝(，0,0)，＝(，，1)．
设平面AEF的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则，
因此，取z1＝－1，则m＝(0,2，－1)．又可知BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量．又＝(－，3,0)，
所以cos〈m，〉＝＝＝.
因为二面角E－AF－C为锐角，所以所求二面角的余统值为.

20．(本小题14分)(2009·太原模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，公比q＝f(λ)＝(λ≠－1,0)．
(1)证明：Sn＝(1＋λ)－λan；
(2)若数列{bn}满足b1＝，bn＝f(bn－1)(n≥2，n∈N*)，求数列{bn}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，若λ＝1，记Cn＝an(－1)，数列{Cn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，2≤Tn＜4.
解析：(1)由题意得Sn＝＝＝(1＋λ)(1－qn)＝(1＋λ)－(1＋λ)＝(1＋λ)－λ·＝(1＋λ)－λan.
∴Sn＝(1＋λ)－λan.
(2)∵f(λ)＝，∴bn＝⇒＝＋1，
∴{}是首项为＝2，公差为1的等差数列，
∴＝2＋(n－1)＝n＋1，∴bn＝.
(3)λ＝1时，an＝()n－1，
∴Cn＝an(－1)＝()n－1n，
∴Tn＝1＋2×()＋3×()2＋…＋n×()n－1，①
Tn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n，②
①－②得：Tn＝1＋()＋()2＋()3＋…＋()n－1－n()n＝2[1－()n]－n()n，
∴Tn＝4[1－()n]－2n()n＝4－()n－2－n()n－1＜4，设f(n)＝Tn，则易知函数f(n)单调递增，故当n≥2时，Tn≥T2＝2.故当n≥2时，2≤Tn＜4.
21．(本小题14分)已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(，1)，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若直线l是圆O：x2＋y2＝的一条切线，试证明∠AOB＝.它的逆命题成立吗？若成立，请给出证明；否则，请说明理由．
解析：(1)因为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(，1)，且离心率为，
所以，解得，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝kx＋m，直线l与椭圆C交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由直线l与圆O相切得r＝，即r2＝＝.
联立方程组，得x2＋2(kx＋m)2＝8，
即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)＞0，即8k2－m2＋4＞0.由方程根与系数的关系得：，
从而y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝.要证∠AOB＝，即⊥，只需证x1x2＋y1y2＝0，即证＋＝0，即证3m2－8k2－8＝0，而＝，所以3m2－8k2－8＝0成立．即∠AOB＝.
而当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝±，此时直线l与椭圆＋＝1的两个交点为(，±)或(－，±)，满足⊥.综上，有∠AOB＝.
逆命题：已知直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，若∠AOB＝，则直线l是圆O：x2＋y2＝的一条切线．结论成立．
证明：当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，直线l与椭圆C：＋＝1的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)＞0，即8k2－m2＋4＞0，由方程根与系数的关系得：
，
则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝.由∠AOB＝知，⊥，即x1x2＋y1y2＝0，即＋＝0，所以3m2－8k2－8＝0.因为圆心到直线l的距离d＝，则d2＝＝＝，而r2＝，此时直线y＝kx＋m与圆O相切．
当直线l的斜率不存在时，由⊥可以计算得到直线l与椭圆＋＝1的两个交点为(，±)或
(－，±)，此时直线l为x＝±.满足圆心到直线的距离等于半径，即直线与圆相切．
综上，其逆命题成立．
22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E.若AB＝6，BC＝4，求AE的长．
解析：∵∠BCM＝∠A，BE∥MN，∴∠BCM＝∠EBC，∠A＝∠EBC.又∠ACB是公共角，∴ΔABC∽ΔBEC，∴＝.
∵AB＝AC＝6，BC＝4，∴EC＝＝＝，
∴AE＝AC－EC＝.
23．(本小题10分)选修4－4：坐标系与参数方程
求直线l：(t为参数)被圆C：(α为参数)截得弦长．
解析：将直线l的方程(t为参数)化为普通方程为：x＋y＝2，
将圆C的方程(α为参数)化为普通方程为：x2＋y2＝9，
则圆心到直线l的距离d＝＝，
∴所求弦长为2＝2＝2.
24．(本小题10分)选修4－5：不等式选讲
已知2x＋y＝1，x＞0，y＞0，求的最小值．
解析：∵2x＋y＝1，x＞0，y＞0，

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