一阶微分方程市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第1 1页页10.2 10.2 一阶微分方程一阶微分方程形如形如称为一阶微分方程。称为一阶微分方程。第1页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第2 2页页10.2.1 10.2.1 可分离变量微分方程可分离变量微分方程方程称为方程称为可分离变量可分离变量微分方程微分方程.解法解法为微分方程解为微分方程解.分离变量法分离变量法形如形如第2页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第3 3页页例例1 1 求微分方程求微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分第3页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第4 4页页例例2.求微分方程通解.解解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)或或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,所以可能增、减解.(此式含分离变量时丢失解 y=0)第4页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第5 5页页例例3.解初值问题解解:分离变量得两边积分得即由初始条件得 C=1,(C 为任意常数)故所求特解为第5页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第6 6页页例例 求解微分方程通解求解微分方程通解第6页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第7 7页页例例.求下述微分方程通解:解解:令 则故有即解得(C 为任意常数)所求通解:第7页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第8 8页页解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为第8页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第9 9页页练习练习:解法解法 1 分离变量即(C 0 )解法解法 2故有积分(C 为任意常数)所求通解:积分第9页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第1010页页思索与练习思索与练习 求以下方程通解:提醒提醒:(1)分离变量(2)方程变形为第10页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第1111页页10.2.2 10.2.2 齐次方程齐次方程微分方程称为微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法 作变量代换作变量代换代入原式代入原式,得得可分离变量方程可分离变量方程1.1.定义定义第11页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第1212页页第12页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第1313页页例例4 4 求解微分方程求解微分方程微分方程通解为微分方程通解为解解第13页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第1414页页例例5 5 求解微分方程求解微分方程解解第14页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第1515页页微分方程解为微分方程解为第15页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第1616页页(h,k 为待*可化为齐次方程方程：可化为齐次方程方程：作变换原方程化为 令,解出 h,k(齐次方程)定常数),第16页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第1717页页求出其解后,即得原方 程解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注:上述方法可适合用于下述更普通方程 第17页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第1818页页例例4.求解解解:令得再令 YX u,得令积分得代回原变量,得原方程通解:第18页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第1919页页得 C=1,故所求特解为思索思索:若方程改为 怎样求解?提醒提醒:第19页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第2020页页一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式标准形式:上面方程称为上面方程称为齐次齐次.上面方程称为上面方程称为非齐次非齐次.比如比如线性线性;非线性非线性.10.2.3 10.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程第20页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第2121页页齐次方程通解为齐次方程通解为1.一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程解法解法由分离变量法由分离变量法第21页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第2222页页2.一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分即非齐次方程通解形式即非齐次方程通解形式对照对照第22页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第2323页页用常数变易法常数变易法:则故原方程通解即即作变换两端积分得第23页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第2424页页一阶线性非齐次微分方程通解为一阶线性非齐次微分方程通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解第24页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第2525页页解解例例6 6第一步，求对应齐次方程通解第一步，求对应齐次方程通解第25页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第2626页页解解例例6 6第二步，常数变易法求非齐次方程通解第二步，常数变易法求非齐次方程通解第26页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第2727页页解解例例7 7第27页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第2828页页例例8 8解解方程化为方程化为其中其中第28页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第2929页页所以所以第29页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第3030页页例例9 9 如图所表示，平行于如图所表示，平行于 轴动直线被曲轴动直线被曲 线线 与与 截下线段截下线段PQ之长之长数值上等于阴影部分面积数值上等于阴影部分面积,求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程即即第30页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第3131页页所求曲线为所求曲线为第31页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第3232页页例例3.求方程通解.解解:注意 x,y 同号,由一阶线性方程通解公式通解公式,得故方程可变形为所求通解为 这是以为因变量 y 为自变量一阶线性方程第32页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第3333页页*伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程:伯努利方程标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程通解.解法解法:(线性方程)伯努利 第33页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第3434页页例例4.求方程通解.解解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:第34页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第3535页页思索与练习思索与练习:判别以下方程类型:提醒提醒:可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程第35页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第3636页页利用变量代换求微分方程解：利用变量代换求微分方程解：解解代入原方程代入原方程原方程通解为原方程通解为第36页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第3737页页例例1111 用适当变量代换解以下微分方程用适当变量代换解以下微分方程:解解所求通解为所求通解为第37页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第3838页页解解代入原式代入原式分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为另解另解（一阶线性微分方程）（一阶线性微分方程）第38页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第3939页页小结小结:1.1.可分离变量微分方程可分离变量微分方程:分离变量法分离变量法（1）分离变量）分离变量;（2）两端积分）两端积分-隐式通解隐式通解.可分离变量微分方程解法：可分离变量微分方程解法：第39页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第4040页页3.线性非齐次方程线性非齐次方程2.齐次方程齐次方程齐次方程解法齐次方程解法线性非齐次方程解法线性非齐次方程解法第40页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第4141页页思索题思索题1.求解微分方程求解微分方程2.方程方程是否为齐次方程是否为齐次方程?第41页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第4242页页思索题解答思索题解答为所求解为所求解.第42页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第4343页页2.方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:原方程原方程是是齐次方程齐次方程.第43页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第4444页页第44页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第4545页页例例 解方程解方程例例 求方程求方程第45页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第4646页页1.求一连续可导函数使其满足以下方程:提醒提醒:令则有线性方程利用公式可求出第46页第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院7/5/20247/5/2024第第4747页页思索练习题思索练习题:求解微分方程惯用方法之一是经过变求解微分方程惯用方法之一是经过变量代换将给定微分方程化成可求解形式。量代换将给定微分方程化成可求解形式。第47页