高考数学专题复习测试卷17.doc

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第二十一讲　三角函数的性质
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．(2010·重庆)下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin　　　　B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析：由于y＝sin＝cos2x的最小正周期为π，且在上是减函数，故选A.
答案：A
2．(2010·陕西)函数f(x)＝2sinxcosx是(　　)
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：因为f(x)＝2sinxcosx＝sin2x是奇函数，T＝π，所以选C.
答案：C
3．(2010·陕西)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)在上是递增的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
解析：f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，故f(x)在上是递减的，A错；f(x)的最小正周期为π，最大值为1，C、D错．故选B.
答案：B
4．在下列关于函数y＝sin2x＋cos2x的结论中，正确的是(　　)
A．在区间(k∈Z)上是增函数
B．周期是
C．最大值为1，最小值为－1
D．是奇函数
答案：A
5．ω是正实数，函数f(x)＝2sin(ωx)在上是增函数，那么(　　)
A．0＜ω≤ B．0＜ω≤2
C．0＜ω≤ D．ω≥2
解析：x∈，则ωx∈.又y＝sinx是上的单调增函数，
则⇒0＜ω≤.
答案：A
6．已知函数y＝sinx定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不可能是(　　)
A.　　　B.　　　C．π　　　D.
解析：画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为，故选A.
答案：A
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．(2010·浙江)函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．
解析：f(x)＝sin－2sin2x＝sin2x－cos2x－2×＝sin2x＋cos2x－＝sin－，故该函数的最小正周期为＝π.
答案：π
8．(2010·江苏)设定义在区间上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
解析：设P(x0，y0)，则由消去y0得，6cosx0＝5tanx0⇒6cos2x0＝5sinx0，即6sin2x0＋5sinx0－6＝0，解得sinx0＝－(舍去)或，∵PP1⊥x轴，且点P、P1、P2共线，∴|P1P2|＝sinx0＝.
答案：
9．(2010·山东潍坊模拟)对于函数
f(x)＝给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；
②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值是－1；
③该函数的图象关于x＝＋2kπ(k∈Z)对称；
④当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤.
其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)
答案：③④
10．给出下列五个命题，其中正确命题的序号为______．
①函数y＝的最小正周期是；
②函数y＝sin在区间上单调递减；
③直线x＝是函数y＝sin的图象的一条对称轴；
④函数y＝sinx＋，x∈(0，π)的最小值是4；
⑤函数y＝tan－的一个对称中心为点(π，0)．
解析：①最小正周期是π，②y在区间[π，π]上单调递增，③为对称中心，④sinx≠2，∴y的最小值不是4.
答案：⑤
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知函数f(x)＝log(sinx－cosx)．
(1)求它的定义域和值域；
(2)判定它的奇偶性；
(3)判定它的周期性，若是周期函数，求出它的最小正周期．
解：(1)由sinx－cosx>0⇒sin>0，
∴定义域为(k∈Z)．
∵sin∈，∴值域为.
(2)∵定义域关于原点不对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(3)∵f(x＋2π)＝log[sin(x＋2π)－cos(x＋2π)]
＝log(sinx－cosx)＝f(x)，
∴已知函数是周期函数，且最小正周期T＝2π.
12．求当函数y＝sin2x＋acosx－a－的最大值为1时a的值．
分析：先通过变形化为关于cosx的二次函数，配方后，根据函数式的特点，对a进行分类讨论．
解：y＝1－cos2x＋acosx－a－＝－cos2x＋acosx－－＝－2＋－－.
设cosx＝t，∵－1≤cosx≤1，∴－1≤t≤1.
∴y＝－2＋－－，－1≤t≤1.
(1)当＜－1，即a＜－2时，t＝－1，y有最大值－a－.
由已知条件可得－a－＝1，∴a＝－＞－2(舍去)．
(2)当－1≤≤1时，即－2≤a≤2时，t＝，y有最大值－－.
由已知条件可得－－＝1，解得a＝1－或a＝1＋(舍去)．
(3)当＞1，即a＞2时，t＝1，y有最大值－.
由已知条件可得－＝1，∴a＝5.
综上可得a＝1－或a＝5.
评析：解答此类问题的一般步骤：
(1)化为关于sinx或cosx的二次函数；
(2)利用配方法或换元法，转化为闭区间上二次函数的最值问题；
(3)对于字母系数的问题需进行分类讨论．
13．(2010·广东)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞),0<φ<π)在x＝时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f＝，求sinα.
解：(1)T＝.
(2)由题设可知A＝4且sin＝1，
则φ＋＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．
∵0<φ<π，∴φ＝.∴f(x)＝4sin.
(3)∵f＝4sin＝4cos2α＝，
∴cos2α＝.
∴sin2α＝(1－cos2α)＝.∴sinα＝±.

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