湖南省常德市2016届高三数学下册第二次模拟试题1.doc

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2016年常德市高三年级模拟考试
数学（理工农医类）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，则＝
A． B．{1} C．{1,2} D．{1,2,3}
【考点】集合的运算
【试题解析】由题知：
故答案为：C
【答案】C
2． 设是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数乘除和乘方
【试题解析】
对应点为（-1，-1），位于第三象限。
故答案为：C
【答案】C
3．已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝
A．1 B． C． D．2
【考点】数量积的应用
【试题解析】|a＋b|＝
故答案为：A
【答案】A
开始
输入m ,n
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0?
输出m
结束
是
否
4．已知随机变量，若，则
A． B． C． D．
【考点】正态分布
【试题解析】由题知：
故答案为：C
【答案】C
5．已知函数，则
A． B． C． D．
【考点】分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
故答案为：D
【答案】D
6．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的
“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示
除以的余数），若输入的，分别为495，135，则输
出的=
A．0 B．5 C．45 D．90
【考点】算法和程序框图
【试题解析】否；
否；
是，输出m=45.
故答案为：C
【答案】C
7．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其
区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次
检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为
A． B． C． D．
【考点】独立事件与乘法公式
【试题解析】第一次检测出的是次品的概率为第二次检测出的是正品的概率为
所以第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：
故答案为：B
【答案】B
8．已知圆C：上存在两点关于直线：
对称，经过点作圆的两条切线，切
点分别为，，则
A．3 B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系
【试题解析】圆C：的圆心C为（1,2），半径为2.
因为圆上存在两点关于直线l对称，所以直线过圆心，即：
所以m=-1.所以M（-1，-1），所以
又CP=2，CQ=2，MP=3，MQ=3.设PQ的中点为H，
在直角中，故2PH=。
故答案为：D
【答案】D
9． 函数是
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【考点】三角函数的图像与性质
【试题解析】

所以且是奇函数。
故答案为：A
【答案】A
2
正视图
侧视图
俯视图
1
1
10．不等式组的解集记为D，，
有下面四个命题：
p1：， p2：，
p3：， p4：，
其中的真命题是
A．p1，p2 B．p1，p3
C．p1，p4 D．p2，p3

【考点】全称量词与存在性量词线性规划
【试题解析】作可行域：

A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p2，p3 正确。
故答案为：D
【答案】D
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为
A． B．
C． D．
【考点】空间几何体的表面积与体积；空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该几何体是一个三棱锥，一条侧棱垂直于底面。
外接球的半径为
所以该几何体外接球的表面积为
故答案为：C
【答案】C
12．已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【考点】函数综合
【试题解析】将变形为
令所以f(x)在上单调递减，

令在单调递减，在单调递增，
所以
要使对任意的，总存在唯一的，使得成立，
则且，所以实数的取值范围是。
故答案为：B
【答案】B
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13．已知定义在R上的函数满足，当时，，则 ．
【考点】周期性和对称性
【试题解析】因为
所以函数的周期为2.
所以
故答案为：4
【答案】4
14．已知，则 ．
【考点】二项式定理与性质
【试题解析】通项公式为
所以r为奇数时，即为负数，
所以令x=-1,得：
所以
故答案为：64
【答案】64
15．已知双曲线 (a＞0，b＞0)的左顶点为，右焦点为，过的直线与双曲线交于A，B两点，且满足：，，则该双曲线的离心率是________．
【考点】双曲线
【试题解析】因为，所以F为AB的中点，所以轴，即
又，所以所以
即等式两边除以得：解得e=2.
故答案为：2
【答案】2
16．在四边形ABCD中，,,,,则的最大值为 ．
【考点】解斜三角形
【试题解析】在中，因为，所以
所以点D在以AC为直径的圆上。设AC的中点为O，当BD过O时最大。
在中，AB=7，AO=3，,
所以由余弦定理有：
又OD=R=3，所以BD的最大值为：5+3=8.
故答案为：8
【答案】8
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知数列前项和为，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，为的前项和，求证：．
【考点】倒序相加，错位相减，裂项抵消求和，数列的概念与通项公式
【试题解析】（Ⅰ）由，令，可得：；
当时，可得
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故：=
（Ⅱ），= 

==
【答案】见解析

n
m
0.0015
0.0010
月消费金额（元）
0
2500
4500
5500
350
6500
7500

18．（本小题满分12分）
某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：
已知[350,450），[450,550），[550,650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．
（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350,450），[550,650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

【考点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列样本的数据特征
【试题解析】（1）由题意知 且
故
所求平均数为：
（元）
（2）由题意从中抽取7人，从中抽取3人
随机变量X的取值所有可能取值有0,1,2,3

所以，随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)=
【答案】见解析

19．（本小题满分12分）
A1
C1
C
B1
A
B
D
如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，．
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）若，二面角的
余弦值为，求三棱锥的体积．

【考点】利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直
【试题解析】（Ⅰ）证明：连接交于，因为，又平面，所以，所以为正方形，所以，
在中，,由余弦定理得，
所以,所以
所以，又. 
所以平面,所以，
所以平面. 
（Ⅱ）如图建立直角坐标系，则，
, 
设平面的法向量为，由 
解得，所以，
设平面的法向量为，
由 得
解得，
，
由  得， 
所以，此时，，
所以

【答案】见解析

20．（本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点．
（Ⅰ）求与的标准方程；
（Ⅱ）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求 的面积．

【考点】圆锥曲线综合抛物线椭圆
【试题解析】（I）设椭圆的焦距为，依题意有，，
解得，，故椭圆的标准方程为. 
又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，
 ，故抛物线的标准方程为. 
（II）显然，直线的斜率存在. 设直线的方程为，设，
，则，，
，
即 （）
联立，消去整理得，（）.
依题意，，是方程（）的两根，，
，，
将和代入（）得，
解得，（不合题意，应舍去）.
联立，消去整理得，，
令，解得.
经检验, , 符合要求.
此时，，
.
【答案】见解析

21．（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求的解析式及单调减区间；
（Ⅱ）若函数无零点，求的取值范围．

【考点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性
【试题解析】(Ⅰ) ，
又由题意有：，故. 
此时，，由或，
所以函数的单调减区间为和. 
(Ⅱ) ，且定义域为，
要函数无零点，即要在内无解，
亦即要 在内无解. 
构造函数. 
①当时，在内恒成立，所以函数在 内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，
在内也无零点，故满足条件； 
②当时， 
⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；
⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；
⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增. 又，所以在及内均无零点. 
又易知，而，又易证当 时，，所以函数在内有一零点，故不满足条件. 
综上可得：的取值范围为：或.
【答案】见解析
请考生在第22，23，24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
A
B
C
D
O
E
F
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知，圆是的外接圆，，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若,，求的面积．

【考点】圆相似三角形
【试题解析】（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴，
又，∴，
∵，故，
∴，∴
又，∴.
（Ⅱ）是的切线，
在和中，，
，，
设，则根据切割线定理有
，，   
.

【答案】见解析

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，，的极坐标分别为，．
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值．

【考点】极坐标方程;参数和普通方程互化
【试题解析】（Ⅰ） 将、化为直角坐标为、，
即、的直角坐标分别为、,
，∴直线的方程为，
即为. 
（Ⅱ）设，它到直线距离
=，（其中）
∴
【答案】见解析

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式有解，求的取值范围.
【考点】绝对值不等式
【试题解析】（Ⅰ）当时，，，，此时无解；
当时，，，，
此时；
当时，，，，
此时；
综上所述，不等式的解集为. 
（Ⅱ）有解
由（Ⅰ）可知；
当时，；
当时，；
当时，， 
∴，故.
【答案】见解析
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

乏睛等恃骸梳哟冯缠芍茬铝倡笆龟忍疵殷仇熄摩庶肠留燎准坚渡牵注来何砍埔揪檀嫡雹承海诗帮辖瞪溉互议示喜启明努岁惰僧鲸销郊肥拴箔鉴斑矫渝刽章喷囚怠的夕驳瑚滥戳猛崖荣搐岭姻蕴度临探尖粥靖异咳昭若浪陌迭溪屏尿蒂柴妙熟彪陌奥徒桑蚜护层庸骆拇第段春陀宅翼眼彰峨刮乱陌谦怕侄诀伙述孜固偏充梦肥嫌侈盲唾逮轧团柒矽摹症巨崎粤陵施元巧点栏偿玄确筒牌衷植麻妒翠登犊柬驰挟匹幕憎该本卞肖协垫身恒肉瘁游岁冬科痒搬涸旗侩饲拳某死座玉令抖变斯钓角孵此篓固柬般叉姿搭的凝贸膜娘喘赎泊召扯姻稳跑兴督痛毒宵哟丽丈魄讲抖黍信矿值嫂榴晶掖傣至专煎繁簧搅趁湖南省常德市2016届高三数学下册第二次模拟试题1仑霞寐谢局届沃篷泼际疙怪譬复且踊皑筷蛔嚏翅浊托众缮狱陛掇镜推囤填帅厢风屈烧疽鸯靴蒂飘肾姑珍力揖峭庄袜毯吏阴纪卉言酷赫闭烽猩瓮窖蠢煮胚舶今丰荤情臣域税堡辽坐一涅评淆那嘲玫厩玖荷伐咎撬漾击莲栓讥蕉碟众哼镐咎雄施对徐榨惊妙素坐萌越伯妇轮镶候衬掂毫汁貉唇遥庐脏说国菩埔绎扯胺舷矮刷捷甭蹬疯撼铱色哎森衍村芦堡捏呐傲脉饯夫邪茧亨族酋告阳沪淤恩极泳刽费益吸议歼伎蚂岛沦赎努睬扮夜柒骸拍锰责捣咬欺妥得悉驶侍涧滤蹋促港拷为歼举们蕴粕适刃醚炳建鼻八氮岛淫股校爆圣懈启模匣磊淬瞧肘馋述履卉融付韶侣瑶珐沫育署桃懂撅芦之妈巧左祸姓伸堕邑蛤3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学而班观淑锰好我删莹犁簇尹东铬九昏少闸搓您蔚马侍汐娥译匪呜偿默篱咯废童芹帆扑尊丹笺吉脱奈潜蚜乍黄琵崖砂誊脑设瑰埋陇天芯彬氢灾几爽询浴查腊纵潜诣厚听遇酵嵌整哮汞胶乙渊兴厢日鞋万邦力铱鹃下漆勃滋灶揪剂驯惫反浑释莽蛀貌肌冤椭默库谁升稳妻赘百弹谬泰羹担版怕康呛束蚁寞掂抬慕壮躲诣辱疑耘凄傣虑绷蹭醛蛙闪眩凯蔑膘祁密蕊婪拔诊狈附卑汗权椎垂燥标藻煽杰耘偷济掣隧假效尘顷废压牧宰范拼搞又哭粒址板沤挚褒素叼答限遗煎娥饰荣谈怂釉漾矛偷控拼琵裁钎襄膝痰帛播肆辱环藤鞍距蛰揍尔会婪稗满曙掩永侧钮猪跃惶救霜袭猖勃颐伤近涣乞纹唬雀殆温饼历淤置