2015届高考数学第二轮高效精练35.doc
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4、理解导函数的概念2. 熟记导数的基本公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等1. 已知m为实数,函数f(x)x2(xm),若f(1)1,则f(x)的单调递减区间为_答案:解析: f(x)3x22mx,f(1)32m1,m2, f(x)3x24x0,x0.2. 已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为yx381x234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件答案:
5、9解析:yx2810,解得0x9;令导数yx2810,解得x9.所以函数yx381x234在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,)上是减函数,所以在x9处取极大值,也是最大值3. 若函数f(x)2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k1,k1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是_答案:解析:因为f(x)的定义域为(0,),f(x)4x,由f(x)0,得x.据题意得解得1k.4. 若曲线f(x)ax2lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_. 答案:a0解析:由题意知该函数的定义域为(0,),由f(x)2ax.因为存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为在x0范围内,导函数
6、f(x)2ax存在零点等价于方程2ax0在(0,)内有解,显然可得a(,0)题型一 利用导数求曲线的切线方程例1 (2013浙江卷)已知aR,函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1) 若a1,求曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2) 若|a|1,求f(x)在闭区间0,|2a|上的最小值解:(1) 当a1时,f(x)2x36x26x, f(2)1624124. f(x)6x212x6, f(2)242466, yf(x)在(2,f(2)处的切线方程为y46(x2)6xy80.(2) f(x)6x26(a1)x6a6x2(a1)xa6(x1)(xa), 当a1时,x(,1a,)
7、时,yf(x)递增,x(1,a)时,yf(x)递减, 当x0,2|a|时,且2|a|2,x0,1a,2|a|时,yf(x)递增,x(1,a)时,yf(x)递减, 最小值是f(a)2a33(a1)a26a23a2a3;再比较f(0)0与f(a)的大小, 当a3时,f(x)min3a2a3,当1a3时,f(x)min0. 当a2,在x0,2|a|时,x(0,1)时,yf(x)递减,x1,2|a|时,yf(x)递增, 最小值是f(1)3a1.综上所述:f(x)在0,|2a|上的最小值g(a)已知函数f(x)ax3x2ax,其中aR,xR.(1) 当a1时,求函数f(x)在x1处的切线方程;(2) 若
8、函数f(x)在区间(1,2)上不是单调函数,试求a的取值范围;(3) 已知b1,如果存在a(,1,使得函数h(x)f(x)f(x)(x1,b)在x1处取得最小值,试求b的最大值解:(1) 当a1时,f(x)x3x2x,则f(x)3x22x1,故kf(1)4.又切点为(1,1),故所求切线方程为y14(x1),即4xy30.(2) 由题意知,f(x)3ax22xa在区间(1,2)上有不重复的零点,由f(x)3ax22xa0,得(3x21)a2x.因为3x210,所以a.令y,则y0,故y在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为,从而a的取值范围是.(3) h(x)f(x)f(x)ax3(3a1)
9、x2(2a)xa,由题意知h(x)h(1)对x1,b恒成立,即ax3(3a1)x2(2a)xa2a1对x1,b恒成立,即(x1)ax2(2a1)x(13a)0对x1,b恒成立当x1时,式显然成立;当x(1,b时,式可化为ax2(2a1)x(13a)0,令(x)ax2(2a1)x(13a),则其图象是开口向下的抛物线,所以即其等价于.因为在a(,1时有解,所以1,解得10;当x(1,0)时,f(x)0.故f(x)在(,1),(0,)上单调递增,在(1,0)上单调递减(2) f(x)x(ex1ax),令g(x)ex1ax,g(x)exa.若a1,则当x(0,)时,g(x)0,g(x)为增函数,而g
10、(0)0,从而当x0时,g(x)0,即f(x)0.若a1,则当x(0,ln a)时,g(x)0,g(x)为减函数,而g(0)0,从而当x(0,ln a)时,g(x)0,即f(x)0,bR,函数f(x)x3ax,g(x)x2bx,f(x)、g(x)是f(x)、g(x)的导函数若f(x)g(x)0在区间1,)上恒成立(1) 求实数b的取值范围;(2) 当b取最小值时,讨论函数h(x)f(x)g(x)在1,)上的单调性解:(1) f(x)x3ax,g(x)x2bx, f(x)3x2a,g(x)2xb.x1,),f(x)g(x)0,即x1,),(3x2a)(2xb)0. a0, 3x2a0, x1,)
11、,2xb0,即x1,),b2x, b2,故所求实数b的取值范围是2,)(2) b的最小值为2,h(x)x3x2ax2x,h(x)3x22xa23a.当a时,h(x)3x22xa20对x1,)恒成立,h(x)在1,)上单调递增;当0a时,由h(x)3x22xa20,得x1, h(x)在1,上单调递增,在,上单调递减,在上单调递增题型三 利用导数解应用题例3 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件: 报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加; 报销的医疗费用不得低于医疗总费
12、用的50%; 报销的医疗费用不得超过8万元(1) 请你分析该单位能否采用函数模型y0.05(x24x8)作为报销方案;(2) 若该单位决定采用函数模型yx2lnxa(a为常数)作为报销方案,请你确定整数a的值(参考数据:ln20.69,ln102.3)解:(1) 函数y0.05(x24x8)在2,10上是增函数,满足条件;当x10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件;但当x3时,y0得x0且x1)(1) 若函数f(x)在(1,)上为减函数,求实数a的最小值;(2) 若x1、x2e,e2,使f(x1)f(x2)a成立,求实数a的取值范围解:(1) 因为f(x)在(1,)上为减函数,故f
13、(x)a0在(1,)上恒成立,所以当x(1,)时,f(x)max0. 又f(x)a2a2a, 故当,即xe2时,f(x)maxa.所以a0,于是a,故a的最小值为 (2) (解法1)命题“若x1、x2e,e2,使f(x1)f(x2)a成立”等价于“当xe,e2时,有f(x)minf(x)maxa”由(1),当xe,e2时,f(x)maxa, f(x)maxa.问题等价于“当xe,e2时,有f(x)min” 当a时,由(1),f(x)在e,e2上为减函数, 则f(x)minf(e2)ae2,故a. 当a,不合题意(ii) 若a0,即0a,由f(x)的单调性和值域知,唯一x0(e,e2),使f(x
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