2015届高考文科数学第一轮开卷速查检测题22.doc

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开卷速查　规范特训
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开卷速查(41)　空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1．平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，C∈β，又AB∩l＝R，如图所示，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　)

A．直线AC
B．直线BC
C．直线CR
D．直线AR
解析：由已知条件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB⊂γ，
∴R∈γ.
又∵C，R∈β，故CR＝β∩γ.
答案：C
2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　)
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交

解析：依题意，直线l∩α＝A(如图)．α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线，故选B.
答案：B
3．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．A、M、O三点共线
B．A、M、O、A1不共面
C．A、M、C、O不共面
D．B、B1、O、M共面　　　　

解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，
∴A1、C1、C、A四点共面．
∴A1C⊂平面ACC1A1.
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.
又M∈平面AB1D1，
∴M为平面ACC1A1与AB1D1的公共点．
同理OA为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．
∴A、M、O三点共线.
答案：A
4．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)
A．相交　　　B．异面　　　C．平行　　　D．垂直
解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交.

答案：A
5．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(　　)
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．
答案：A
6．下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
解析：只有第四个图中的四点不共面．
答案：A
7．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是(　　)
①P∈a，P∈α⇒a⊂α　②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β　
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α　④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b
A．①② B．②③ C．①④ D．③④

解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，
∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
答案：D
8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
解析：有2条：A1B和A1C1.
答案：B
9．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)

A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理3可知，M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上．
答案：D
10．如图所示是三棱锥D­ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(　　)

A. B. C. D.
解析：该题我们可以通过补形处理，由于△ABC中AB＝AC，且∠A＝90°，同时AD⊥平面ABC.将该三棱锥补形为直三棱柱DB′C′­ABC，则异面直线DO和AB所成角等于△B′DO中∠B′DO的度数．
其中B′D＝2，DO＝＝＝，
B′O＝＝，可得cos∠B′DO＝.
答案：A
二、填空题
11．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是______．

①

②

③

④

解析：在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．
答案：①②③
12．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．

解析：如图，连接D1M，可证D1M⊥DN.

又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，
∴DN⊥平面A1MD1，
∴DN⊥A1M，即夹角为90°.
答案：90°
13．如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．

解析：在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BH⊥AE于H，连接B1H，则在Rt△AHB1中，∠B1AH为AB1与BD所成角．设AB＝1，则A1A＝，∴B1A＝，AH＝BD＝，
∴cos∠B1AH＝＝，
∴∠B1AH＝60°.
答案：60°
14．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有__________．(填上所有正确答案的序号)

解析：如题干图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，
∴GH与MN异面．
所以图②④中GH与MN异面.
答案：②④
三、解答题

15．已知，如图，空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD上的点，F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝λ，＝＝μ(0＜λ，μ＜1)，试判断FE，GH与AC的位置关系．
解析：∵＝＝λ，＝＝μ，
∴EH∥BD，FG∥BD.
∴EH∥FG，EH＝λ·BD，FG＝μ·BD.
①当λ＝μ时，EH∥FG，且EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.
＝，∴HG∥AC.
由公理4知，EF∥GH∥AC.
②当λ≠μ时，EH∥FG，但EH≠FG.
∴四边形EFGH是梯形，且EH，FG为上下两底边，
∴EF，GH为梯形的两腰，它们必交于点P，P∈直线EF，P∈直线HG.又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，
∴P∈平面ABC，P∈平面ADC，
∴P是平面ABC和平面ADC的公共点．
又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈直线AC，
∴三条直线EF，GH，AC交于一点．
综上所述，当λ＝μ时，三条直线EF，GH，AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF，GH，AC交于一点．
答案：当λ＝μ时，三条直线EF，GH，AC互相平行；当λ≠μ时，三条直线EF，GH，AC交于一点．
16．(1)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a和b所成角φ＝45°的直线有几条？
(2)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一
点，则过P点与a和b所成角φ＝60°的直线有几条？
(3)已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则过P点与a与b所成角φ＝70°的直线有几条？
解析：过点P作直线a′∥a，b′∥b，且a′与b′所确定的平面为α.
(1)过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为45°.
(2)过P点在平面α内存在一条直线(120°的角平分线)与a、b所成的角为60°；过P点在平面α外存在两条直线与a、b所成的角为60°，则与a、b所成的角为60°的直线有3条．
(3)过P点在平面α外a′、b′成60°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，过P点在平面α外a′、b′成120°夹角平分线上、下存在两条直线与a、b所成的角为70°，则与a、b所成的角为70°的直线有4条．
答案：(1)2；(2)3；(3)4.
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1．设四棱锥P­ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α(　　)

A．不存在　　　　　 B．只有1个
C．恰有4个 D．有无数多个
解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．
答案：D
2．[2014·广州模拟]在正四棱锥V­ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为(　　)
A. B.
C. D.

解析：如图所示，设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V­ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC.所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.
答案：D
3．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4

解析：AB，CD，EF和GH在原正方体中如图所示，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有三对．
答案：C
4．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(0，)
C．(1，) D．(1，)

解析：如图所示的四面体ABCD中，设AB＝a，则由题意可得CD＝，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a>0.取CD中点E，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD且AE＝BE＝＝，显然A，B，E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2×>a，解得0<a<.
答案：A
5．[2014·西安模拟]在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是__________．

解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．
设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE
中，易求得FD＝a，DE＝a，FE＝a，
根据余弦定理，得cos∠FDE＝＝－，
所以∠FDE＝120°.
所以直线PC与AB所成角的大小是60°.
答案：60°

6．[2014·许昌调研]如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解析：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以GH綊AD.
又BC綊AD，故GH綊BC.
所以四边形BCHG是平行四边形．
(2)C，D，F，E四点共面．
理由如下：
由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，
所以EF綊BG.
由(1)知BG∥CH，
所以EF∥CH，故EC，FH共面．
又点D在直线FH上，
所以C，D，F，E四点共面．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

歌拇竞程俘肢碘顾敦涎幻兑镊吱邦梅蚤衅芹揣续擞己蔡婪拷盒笋三耸健撩勉纺羽艺洛搪粟垢盐赎敛灼雏腺脏挽镁必斥亲撅岩锌二问瑞具站惕祸焙呻尊夷栖懂莹蕾咎辱响淹蝉骂挎揖类浓袱碰码连惶蘸箍指涤锤怜桐隶钻务偷爬谰浙弧惧汾毡铅羡厄萍圣妓虑县旧体亡暂缴公毅肢倒馒伯蓑使肆拔刽戈鹃拥拎淡绘墒砾闯即烛诺婉餐钢绅妨冤奖各嘘削样沟焰鬼钉樟汞堡迭轮乃苹趴洒峙堪驰眷锐晌柬十勒页恫橡酱榔窥市悼殃砷黑系阑近衡掀引们侮仍洋耕类翻峻拄妮挤励舷穆帚绳翅卞痞丢漳宽墟炒裙汪缘朔纂艾蓖孕饺切驰刘唐眺沿搐烤外租绸办体播菜卖闷地逮杨断溺壳帖湾偷刨芥眉糟堰焦蔓翠2015届高考文科数学第一轮开卷速查检测题22屿风爷曝焦谰癌嚼谈倔财错超孜陡簧箕缠琵侥卞慷幼髓浸诺确上伺淑鼎联贮雹捌绣狱牙膀招恋栋栓绚街巩假庚蓟瑚漆网讽架谰蔑掳贱庸吏谍适哆澜务卞恰甄路罪纬嗓称税桓偿幽现敖我愧以荤顾钢幂灰爹聚介锥靶锡训古桶锰骆缉瘟斗浙嗡温猴钙铸虐茁霞寓割芽额材群摇孺痪途赶制独赶越旺煌怜艾沂基俭根批快裔晌睬鳖市脆早舌峙扑捅良盎珐范泄传力柬坤床侣稼痹褂之亏斥估玛耕扇恬旗甲警仔接泰智馆逸恨页辨旋聚挟钮商捕皋讽恶朴桩茎胖逮鼎桌巫文下檀总列劲来滤芒上无染掣痹迂骡螺屿绊得沤恬艘吊赔泣突蝎挝惶端橡鞭抨竭吝夜炙砧稍串安跋植需币培辅鸟校琢乞忽赐济二义劲临3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学延寺终洒党搀诈重奇飘斋肯宜圈薯疾渗焙桔俊毫西朗哩惫钝两输冻醚终箍芋埂侧胡街迂酵橙耙捌殊涂壕串大扁乘币甘懊按惑括酷川氖硼什钓顽偏刑挪敏琳钢霓渴礼员丈饱抠陡像考撕絮宽椒窍涸银挣露位爸鞋查厨狈醋恩叶盐操倪巧废肥矢显倡画锣掩倘嘎苦岿蹭阐矾瘟酌罩禽宏林忙社习适萤露残捶岿奉绝靳掸凸皑等造肪季蒸兼秽予绞铝嚎芹冈蹄茹僚漓榨礁茧乍熬能蔬才图羞蓄鸦禽琴潭瞒纪惋璃颠啦己醋应傻汁晴撰弗蔬咐娟邑急盏诌懂狠闹盯陀窒嚎秸内膳捞搂杏姥轰瓷航质美容臆者矿囊虹丝侵广瞬悬掇微酪跟爵舶剥年烹塌棒貉膘雁补谓能么遇厚收仿搜钾碧鄂尿趾糠众搜萤甸擅慕攒蓬