2016届高考理科数学第一轮课进冲关检测4.doc

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1．(2015·咸阳市一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b≥1)的离心率e＝，且椭圆C过点P(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线的l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点．求△PAB面积的最大值．
解：(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2，
则椭圆方程为＋＝1，即x2＋4y2＝4b2.
∵椭圆过点P(2,1)，∴b2＝2，a2＝8
椭圆方程为＋＝1
(2)设l的方程为y＝x＋m，代入椭圆方程中整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，
Δ＝4m2－4(2m2－4)>0⇒m2<4.
则|AB|＝ ×＝ .
点P到直线l的距离d＝＝.
因此S△＝d|AB|＝·≤＝2
当且仅当m2＝2∈[0,4)，即m＝±时取得最大值2.
2．(2015·邢台市二模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(3，－1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点P在直线l：x＝－2上，过P作直线求椭圆C于M，N两点，使得PM＝PN，再过P作直线l′⊥MN，证明：直接l′恒过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)由题意知点(3，－1)在椭圆C上，
即＋＝1, ①
又椭圆的离心率为，所以＝＝2＝，②
联立①②可解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为直线l的方程为x＝－2，设P(－2，y0)，y0∈，
当y0≠0时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然x1≠x2，
联立则＋＝0，即＝－·，
又PM＝PN，即P为线段MN的中点，
故直线MN的斜率为－·＝，
又l′⊥MN，所以直线l′的方程为
y－y0＝－(x＋2)，
即y＝－，
显然l′恒过定点；
当y0＝0时，直线MN即x＝－2，此时l′为x轴亦过点.
综上所述，l′恒过定点.
3．(理)(2015·菏泽市一模)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆T与椭圆C交于点M、N.

(1)求椭圆C的方程；
(2)求·的最小值，并求此时圆T的方程；
(3)设点P是椭圆C 上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点. 试问；是否存在使S△POS·S△POR最大的点P，若存在求出P点的坐标，若不存在说明理由．
解：(1)由题意知解之得：a＝2，c＝，由c2＝a2－b2得b＝1，
故椭圆C方程为＋y2＝1.
(2)点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1>0, 由于点M在椭圆C上，∴y＝1－，由已知T(－2,0)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，

∴·＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝2－.
由于－2<x<2，故当x1＝－时，·取得最小值为－，当x1＝－时，y1＝，故M，又点M在圆T上，代入圆的方程得r2＝，故圆T的方程为：(x＋2)2＋y2＝；
(3)假设存在满足条件的点P，设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：
y－y0＝(x－x0)，令y＝0，得xR＝，同理xS＝，故xR·xS＝；
又点M与点P在椭圆上，故x＝4(1－y)，x＝4(1－y)，
得xR·xS＝
＝＝4，
∴|OR|·|OS|＝|xR|·|xS|＝|xR·xS|＝4为定值，
∵S△POS·S△POR＝|OS||yp|·|OR||yP|
＝×4×y＝y，
由P为椭圆上的一点，∴要使S△POS·S△POR最大，只要y最大，而y的最大值为1，故满足条件的P点存在其坐标为P(0,1)和P(0，－1)．
3．(文)(2015·菏泽市一模)如图，已知椭圆C: ＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：(x＋2)2＋y2＝r2(t>0)，设圆T与椭圆C交于点M、N.

(1)求椭圆C的方程；
(2)求·的最小值，并求此时圆T的方程；
(3)设点P是椭圆C 上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与轴交于点R，S，O为坐标原点．
求证：|OR|·|OS|为定值．
解：(1)由题意知解之得：a＝2，c＝，由c2＝a2－b2得b＝1，
故椭圆C方程为＋y2＝1.
(2)点M与点N关于x轴对称，
设M(x1，y1)，N(x1－y1)不妨设y1>0.
由于点M在椭圆C上，∴y＝1－，
由已知T(－2,0)，则＝(x1＋2，y1)，
＝(x1＋2，－y1)，
∴·＝(x1＋2，y1)(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y，
(x1＋2)2－＝2－，
由于－2<x<2，故当x1＝－时，·取得最小值为－，
当x1＝－时，y1＝，故M，又点M在圆T上，代入圆的方程得r2＝，故圆T的方程为：(x＋2)2＋y2＝.
(3)证明：设P(x0，y0)，则直线MP的方程为y－y0＝(x－x0)，
令y＝0，得xR＝，同理xS＝
， 故xR·xS＝，
又点M与点P在椭圆上，故x＝4(1－y)，x＝
4(1－y)，
得xR·xS＝
＝＝4，
∴|OR|·|OS|＝|xR|·|xS|＝|xR·xS|＝4为定值．
对应学生用书理173页　 文159页
4．(2015·南阳市三模)已知圆C1：x2＋y2＝，直线l：y＝x＋m(m>0)与圆C1相切，且交椭圆C2：＋＝1(a>b>0)于A1，B1两点，c是椭圆的半焦距，c＝b.
(1)求m的值；
(2)O为坐标原点，若⊥，求椭圆C2的方程；
(3)在(2)的条件下，设椭圆C2的左右顶点分别为A，B，动点S(x0，y0)∈C2(y0>0)，直线AS，BS与直线x＝分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．
解析：(1)直线l：y＝x＋m(m>0)与圆C1：x2＋y2＝相切，所以＝，m＝.
(2)将l：y＝x＋代入得
C2：＋＝1得：(b2＋a2)x2＋a2x＋a2－a2b2＝0　①
设A1(x1，y1)，B1(x2，y2)，则
x1＋x2＝；x1x2＝；
y1y2＝＝
因为⊥⇒4(a2＋b2)－5a2b2＝0　②
由已知c＝b；a2＝4b2代入②b2(1－b2)＝0⇒b2＝1，a2＝4，所以椭圆C2的方程为＋y2＝1.
(3)显然直线AS的斜率存在，设为k且k>0则AS：y＝k(x＋2)
依题意M，由得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，
设S(x0，y0)则x0·(－2)＝⇒x0＝，y0＝k(x0＋2)即S，又B(2,0)所以kBS＝＝－，BS：
y＝－(x－2)
由⇒N.
∵k>0⇒|MN|＝＋≥2 ＝，
当且仅当＝，即k＝时，等号成立．
所以k＝时，|MN|min＝.
5．(理)(2015·广州市二模)已知定点F(0,1)和直线l：y＝－1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若点A的坐标为(2,1), 直线l1：y＝kx＋1(k∈R，且k≠0)与曲线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l于点S，T.试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．
解析：(1)解法1：由题意，点M到点F的距离等于它到直线l的距离， 故点M的轨迹是以点F为焦点， l为准线的抛物线．∴曲线E的方程为x2＝4y.
解法2：设点M的坐标为(x，y)，依题意，
得|MF|＝|y＋1|，
即＝|y＋1|，
化简得x2＝4y.∴曲线E的方程为x2＝4y.
(2)解法1: 设点B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，依题意得，x＝4y1，x＝4y2.
由消去y得x2－4kx－4＝0，
解得x1,2＝＝2k±2.
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
直线AB的斜率kAB＝＝＝，
故直线AB的方程为y－1＝(x－2)．
令y＝－1，得x＝2－，
∴点S的坐标为.
同理可得点T的坐标为.
∴|ST|＝
＝
＝
＝＝.
∴|ST|2＝＝＝.
设线段ST的中点坐标为(x0，－1)，
则x0＝
＝2－
＝2－＝2－＝－.
∴以线段ST为直径的圆的方程为2＋(y＋1)2＝|ST|2＝.
展开得x2＋x＋(y＋1)2＝－＝4.
令x＝0，得(y＋1)2＝4，解得y＝1或y＝－3.
∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)．
解法2：由(1)得抛物线E的方程为x2＝4y.
设直线AB的方程为y－1＝k1(x－2)，点B的坐标为(x1，y1)，
由解得∴点S的坐标为.
由消去y，得x2－4k1x＋8k1－4＝0，即(x－2)(x－4k1＋2)＝0，解得x＝2或x＝4k1－2.
∴x1＝4k1－2，y1＝x＝4k－4k1＋1.
∴点B的坐标为(4k1－2,4k－4k1＋1)．
同理，设直线AC的方程为y－1＝k2(x－2)，
则点T的坐标为，点C的坐标为(4k2－2,4k－4k2＋1)．
∵点B，C在直线l1：y＝kx＋1上，
∴k＝
＝＝k1＋k2－1.
∴k1＋k2＝k＋1.
又4k－4k1＋1＝k(4k1－2)＋1，得4k－4k1＝4kk1－2k＝4(k1＋k2－1)k1－2k，
化简得k1k2＝.
设点P(x，y)是以线段ST为直径的圆上任意一点，则·＝0，
得＋(y＋1)(y＋1)＝0，
整理得，x2＋x－4＋(y＋1)2＝0.
令x＝0，得(y＋1)2＝4，解得y＝1或y＝－3.
∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)．
5．(文)(2014·广州市二模)已知点A(2,1)在抛物线E：x2＝ay上，直线l1：y＝kx＋1(k∈R，且k≠0)与抛物线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l2：y＝－1于点S，T.
(1)求a的值；
(2)若|ST|＝2，求直线l1的方程；
(3)试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．
解：(1)∵点A(2,1)在抛物线E：x2＝ay上，∴a＝4.第(2)、(3)问提供以下两种解法：
解法1：(2)由(1)得抛物线E的方程为x2＝4y.
设点B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，依题意，x＝4y1，x＝4y2，
由消去y得x2－4kx－4＝0，
解得x1,2＝＝2k±2.
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
直线AB的斜率kAB＝＝＝，
故直线AB的方程为y－1＝(x－2)．
令y＝－1，得x＝2－，
∴点S的坐标为.
同理可得点T的坐标为.
∴|ST|＝
＝
＝
＝＝.
∵|ST|＝2，∴|x1－x2|＝2|k|.
由|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2，得20k2＝16k2＋16，解得k＝2，或k＝－2，
∴直线l1的方程为y＝2x＋1，或y＝－2x＋1.
(3)设线段ST的中点坐标为(x0，－1)，
则x0＝
＝2－
＝2－＝2－＝－.
而|ST|2＝＝＝，
∴以线段ST为直径的圆的方程为2＋(y＋1)2＝|ST|2＝.
展开得x2＋x＋(y＋1)2＝－＝4.
令x＝0，得(y＋1)2＝4，解得y＝1或y＝－3.
∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)．
解法2：(2)由(1)得抛物线E的方程为x2＝4y.
设直线AB的方程为y－1＝k1(x－2)，点B的坐标为(x1，y1)，
由解得
∴点S的坐标为.
由消去y，得x2－4k1x＋8k1－4＝0，
即(x－2)(x－4k1＋2)＝0，解得x＝2或x＝4k1－2.∴x1＝4k1－2，y1＝x＝4k－4k1＋1.
∴点B的坐标为(4k1－2,4k－4k1＋1)．
同理，设直线AC的方程为y－1＝k2(x－2)，
则点T的坐标为，点C的坐标为(4k2－2,4k－4k2＋1)．
∵点B，C在直线上l1：y＝kx＋1上，
∴k＝
＝＝k1＋k2－1.
∴k1＋k2＝k＋1.
又4k－4k1＋1＝k(4k1－2)＋1，得4k－4k1＝4kk1－2k＝4(k1＋k2－1)k1－2k，
化简得k1k2＝.
|ST|＝＝，
∵|ST|＝2，∴＝2.
∴(k1－k2)2＝5(k1k2)2.
由(k1＋k2)2＝(k1－k2)2＋4k1k2＝5(k1k2)2＋4k1k2，
得(k＋1)2＝k2＋2k，解得k＝±2.
∴直线l1的方程为y＝2x＋1，或y＝－2x＋1.
(3)设点P(x，y)是以线段ST为直径的圆上任意一点，则·＝0，
得＋(y＋1)(y＋1)＝0，
整理得，x2＋x－4＋(y＋1)2＝0.
令x＝0，得(y＋1)2＝4，解得y＝1或y＝－3.
∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)．
6．(理)(2015·揭阳市二模)已知抛物线的方程为y＝ax2－1，直线l的方程为y＝，点A(3，－1)关于直线的对称点在抛物线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知P，点F是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，求|MP|＋MF|的最小值及此时点M的坐标；
(3)设点B、C是抛物线上的动点，点D是抛物线与x轴正半轴交点，△BCD是以D为直角顶点的直角三角形．试探究直线BC是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.
解：(1)设点A(3，－1)关于直线l的对称点为坐标为A′(x，y)，
则解得
把点A′(1,3)代入y＝ax2－1，解得a ＝ 4，
所以抛物线的方程为y＝4x2－1
(2)∵F是抛物线的焦点，抛物线的顶点为(0，－1)，
∴抛物线的准线为y＝－，
过点M作准线的垂线，垂足为A，由抛物线的定义知|MF|＝|MA|，
∴|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MA|≥|PA|，当且仅当P、M、A三点共线时“＝”成立，
即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，|MP|＋|MF|取最小值，
∴(|MP|＋|MF|)min＝1－＝，这时点M的坐标为.
(3)BC所在的直线经过定点，该定点坐标为，
令y＝4x2－1＝0，可得D点的坐标为
设B(x1，y1)，C(x2，y2)显然x1≠x2，
则kBC＝＝＝4(x1＋x2)，
kDB＝4，kDC＝4，
∵BD⊥CD，∴kDB·kDC＝16＝－1，即x1x2＝－－(x1＋x2)，
直线BC的方程为y－y1＝4(x1＋x2)(x－x1)，
即y＝4(x1＋x2)x－4x1x2－1＝2(x1＋x2)(2x＋1)＋.所以直线BC经过定点.
6．(文)(2015·厦门市质检)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)与椭圆C2：＋＝1(a>b>0)在第一象限的公共点为A(2，1)，设抛物线C1的焦点为F，椭圆C2的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，△F1F2F面积为6.
(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；
(2)设A1，A2为椭圆C2的左、右顶点，P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，直线l：x＝，l与直线A1P，A2P分别交于点M，N，试探究：在x轴上是否存在定点D，使得以线段MN为直线的圆恒过点D，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)推广(2)，得椭圆一般性的正确命题，据此类比，得到双曲线的一般性正确命题，请直接写出这个双曲线的正确命题(不必证明)．

解：(1)点A(2，1)代入x2＝2py得，(2)2＝2p，∴p＝4，∴抛物线C1的方程为x2＝8y，
∴抛物线的焦点为F(0,2)，依题意，
S△FF1F2＝×|F1F2|×|OF|＝×2c×2＝6，
∴c＝3.
方法一：∴椭圆方程为＋＝1，点A(2，1)代入得，－＝1，
解得a2＝12或a2＝6，∵a2＝6时，a＝<3＝c，不合题意，舍去．
∴a2＝12，∴椭圆C2的方程为＋＝1.
综上得，抛物线C1的方程为x2＝8y，椭圆C2的方程为＋＝1.
方法二：∴F1(－3,0)，F2(3,0)，
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝4，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝12－9＝3，∴椭圆C2的方程为＋＝1，
综上得，抛物线C1的方程为x2＝8y，椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，则＋＝1，由(1)知，A1(－2，0)，A2(2，0)，直线l：x＝4，kPA1＝，kPA2＝，
直线PA1：y－0＝(x＋2)，直线PA2：y－0＝(x－2)，
∴M，
N，
假设存在定点D(m,0)符合题意，则·＝0，
又＝，
＝，
∴·＝(4－m)2＋(42－12)＝0，
即(4－m)2＋4×＝0，
∵＋＝1，∴＝1－＝，即＝－，代入得(4－m)2＋4×＝0，解得m＝3或m＝5，
∴存在定点(3,0)或(5,0)符合题意．
方法二：取点P为上顶点(0，)，
∵A1(－2，0)，A2(2，0)，
∴直线PA1：y＝(x＋2)，
直线PA2：y＝－(x－2)，∵直线l：x＝－4.
∴M(4,2＋)，N(4，－2＋)，∴MN为直径的圆为：(x－4)2＋(y－)2＝4，
令y＝0代入解得，x＝3或x＝5，
∴猜想存在定点D(3,0)或(5,0)符合题意，证明如下：
设P(x0，y0)，则＋＝1，则y＝3，
kPA1＝，kPA2＝，
直线PA1：y－0＝(x＋2)，直线PA2：y－0＝(x－2)，
∴M，
N，
当D为(3,0)时，＝，＝，
∴·＝1＋(42－12)＝1＋×4＝1＋3××4＝0，
同理可证，当D为(5,0)时，也符合·＝0，
∴⊥＝0，∴以MN为直径的圆恒过点D(3,0)或(5,0)，
综上得，存在定点D(3,0)或(5,0)符合题意．
(3)所得双曲线的一般结论为：设A1，A2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，P为双曲线上异于A1，A2的任意一点，直线l：x＝(其中c为半焦距)，l与直线A1P，A2P分别交于点M，N，则在x轴上存在定点D，使得以线段MN为直径的圆恒过点D，且定点D的坐标为(c,0)或.

[备课札记]
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薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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