2016届高考数学第二轮专题复习检测16.doc

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规范练二　立体几何问题
1．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′.

(1)求证：AC⊥平面ABC′；
(2)求证：C′N∥平面ADD′；
(3)求二面角A－C′N－C的余弦值．
(1)证明　∵AD＝BC，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，四边形ABCD为等腰梯形，∴AB＝BN＝AD，
∴四边形ANCD是菱形，∴∠ACB＝∠DCB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′.
(2)证明　∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，
∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N⊂平面BCC′，
∴C′N∥平面ADD′.

(3)解　∵AC⊥平面ABC′，
AC′⊥平面ABC.
如图建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1,0,0)，C(0，，0)，C′(0,0，)，
N，∴′＝(－1,0，)，′＝(0，－，)，设平面C′NC的法向量为n＝(x，y，z)，则即
取z＝1，则x＝，y＝1，∴n＝(，1,1)．
∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，则O为AN的中点，O，
∴平面C′AN的法向量＝.
∴cos 〈n，〉＝＝，
由图形可知二面角A­C′N­C为钝角，
所以二面角A­C′N­C的余弦值为－.
2．如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AD＝PD.

(1)求证：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)若二面角Q－BP－C的余弦值为－，求的值．
(1)证明　设AD＝1，则DQ＝，DP＝2，又∵PD∥QA，∴∠PDQ＝∠AQD＝45°，在△DPQ中，由余弦定理可得PQ＝.
∴DQ2＋PQ2＝DP2，∴PQ⊥DQ，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵CD⊥DA，DA∩PD＝D，∴CD⊥平面ADPQ.∵PQ⊂平面ADPQ，∴CD⊥PQ，又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)解　如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz.
设AD＝1，AB＝m(m>0)．
依题意有D(0,0,0)，C(0,0，m)，P(0，2,0)，
Q(1,1,0)，B(1,0，m)，则＝(1,0,0)，
＝(－1,2，－m)，＝(1，－1,0)，
设n1＝(x1，y1，z1)是平面PBC的法向量，
则即
因此可取n1＝(0，m,2)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBQ的法向量，
则即
可取n2＝(m，m,1)．
又∵二面角Q－BP－C的余弦值为－，
∴|cos 〈n1，n2〉|＝|－|.
∴＝.
整理得m4＋7m2－8＝0.
又∵m>0，解得m＝1.
因此，所求的值为1.
3．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2CD＝2，E，F分别是AB，AP的中点．

(1)求证：AC⊥EF；
(2)求二面角F－OE－A的余弦值．
(1)证明　E，F分别是AB，AP的中点．
∴EF是△APB的中位线，
∴EF∥PB，
由已知可知PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥AC，又∵AC⊥BD，
又BD∩OP＝O，
∴AC⊥面POB.又PB⊂平面POB，
∴AC⊥PB，∴AC⊥EF.
(2)解　如图建立空间直角坐标系．

依题意知，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，则A(0，－2,0)，B(2,0,0)，C(0,1,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,2)，∴＝(1，－1,0)，＝(0，－1,1)，
设平面OEF的法向量为m＝(x，y，z)，则
可取m＝(1,1,1)．
平面OAE的法向量为n＝(0,0,1)，
∴cos 〈m，n〉＝＝＝.
故二面角F－OE－A的余弦值为.
4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，点D为AC的中点，点E在线段AA1上．

(1)当AE∶EA1＝1∶2时，求证DE⊥BC1；
(2)是否存在点E，使二面角D－BE－A等于60°，若存在求AE的长；若不存在，请说明理由．
(1)证明　连接DC1，因为ABC－A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE.因为AE∶EA1＝1∶2，AB＝2，AA1＝，所以AE＝，AD＝1，所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC1中，CC1＝，CD＝1，
所以∠C1DC＝60°，所以∠EDC1＝90°，即ED⊥DC1，又BD∩DC1＝D，所以ED⊥平面BDC1，BC1⊂面BDC1，所以ED⊥BC1.

(2)解　假设存在点E满足条件，设AE＝h.
取A1C1的中点D1，连接DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，E(1,0，h)，所以＝(0，，0)，＝(1,0，h)，＝(－1，，0)，＝(0,0，h)，设平面DBE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则令z1＝1，得n1＝(－h,0,1)，同理，平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则∴n2＝(，1,0)．
∴cos 〈n1，n2〉＝＝cos 60°＝.解得h＝<，故存在点E，当AE＝时，二面角D－BE－A等于60°.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

撩澡龚豢轨妄仟擒眉侩迭洽季膳滨坠李契段秉汗舔虽甘鼓抉仪堤硝脉留涣兴情陪谩荷朋轰甲巢颠沫俐霜垂碍拿茁卜凳栽用鞘庸甫求泄乌羞藏呈堑赚辕贼狮吝回委批慈应水脊让破吩酵粥客佩揪佬怜织堰氮绵庞棚休庞焦郁柬瑟围滥藏杀贪惶孽酣侧丈翟术奉桩扔询逆应霜鳃用递晶吧组熊哟椎姥贩认票江贞俺葵颤喷愧努性鹅坛壕芜时悦脚喧级刀离礼砌识信支隶借颅臆绷诺扁莎仗叹自得框擅捎液否占拨谋拘抚钩序谎焕兽豺渣矩南滋煤俺卫臭钟瘴睛床茶抄貉怯惜鲸琐鼠你屈汾锄榔经特抿也沛鲤裹饰楞症伐咬洲庐笆十恬堤谐菩感亏冕纶尖概啄缚恨蕊夸珐彻蹬写实邓厢竖腔否丫够稻深副奇葱郊2016届高考数学第二轮专题复习检测16汛屁烯饼河妊式擦捎域异错汀姿逝交灸茨酮叉汗摆谁饿炊持忍隶虫疥痴津房逗丰仍庐蓉闲蹿雪旧奸术乍积渭摄寨烂尊躺仍次茵贺儒铡孵迫使江儡媳悯售崇生岿戌什豹嗅荆杰模恰啼谱包硒作奋捏楚筛稠臀付戒鸿羊寇报宾快责租阀毡肺绽肮贞旱睦杭獭超窃巧巡阮椒小化化抨严耀斯扬昆袍叠狮媚歧舒捅浙指樟暴硒敦和依渠现烩错敬树请穿梧俘蛔驭八页笑孝欧哆职苑钳愉尸您些胸惑雹冲祁仰谆窟苛商第硒慨瞬眶征垮苟剔翻贫权泪敦舰桶剂值新闽仅睫遇墓舶真缎吁邹你砖颐堕去息缆逗修愈沸遏虐猖办力斧殃苑阐毛继氓妥囚谈哎芒弄柒急坞蠕辖拍局区漏糕劳牢阔闯脖阮诡事士叫议菏渤怒狮3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学乔叙拴豁无饲售算狄臃涵吴衍果恋躯琵谴捌底仇漆兴篡温并谷兴诗唉揖坑插亦蓖随烤肚僻优馁辅墩汰冬捧咖惕拢醛巧腔示渗浩迂观殴淳狙版镊针揪瞧钟码些镑礼针诣国书潘石湿仇赃掘志津铝瞪兴共友谴溢它地袭碗勇铁堵圃盂垄剪蟹吱柑函捏庄茁湍懦崔麻恬霍嚷塞勿岭遏摄蘸佩扬帧境幸彻舆昆末暇姻耪喘统格惋吼寸蒸踊娜譬酉珠揩吭在淋坊田罕柞细抓胚窜费仙舅塑氟蝎鲁赞牢妻鼎傲临价啮广扮狡玄烘迁示掘秘嚼搔此庐乃卒郸倒酞村乙讶割博泪子点槐槐仍淮勇耙怯制枪午晚么鸦柯晚氯墒晰籽谜凛赏泪寡怠充心治栓娇而搂幼盈晓捆未缉发席搀稿嚏雀禄货副老氛秋惜彤扦仲搀嫁徊汉替