高一数学下册课时堂堂清复习题13.doc

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反函数

时间：45分钟　　　　分值：100分

一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是 (　　)
A．(0,1) B．[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．R
解析：由x≥1，得log2x≥0，
∴y＝log2x＋3≥3，
∵反函数的定义域就是原函数的值域，
∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．
答案：C
2．函数f(x)＝2x＋1的反函数的图象大致是 (　　)

解析：由y＝2x＋1得x＋1＝log2y，x＝log2y－1(y>0)，即函数f(x)＝2x＋1的反函数是f－1(x)＝log2x－1(x>0)，注意到函数f－1(x)在(0，＋∞)上是增函数，结合各选项知，选A.
答案：A
3．函数y＝ln，x∈(1，＋∞)的反函数为 (　　)
A．y＝，x∈(0，＋∞)
B．y＝，x∈(0，＋∞)
C．y＝，x∈(－∞，0)
D．y＝，x∈(－∞，0)
解析：由y＝ln得x＝，∵x>1，
∴>1，∴>0，ey>1，∴y>0，
因此y＝ln的反函数为y＝，x∈(0，＋∞)． www.k@s@5@ 高#考#资#源#网

答案：B
4．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，则f－1(－)的值是(　　)
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：当x>0时，－x<0，∴f(x)＝－f(－x)＝－3－x，令f(x)＝－，可解得x＝2，即f－1(－)＝2.
答案：B
5．(2009·湖北八校联考)已知函数f(x)＝(ex＋ex－2)(x<1)(其中e是自然对数的底数)的反函数为f－1(x)，则有 (　　)
A．f－1()<f－1() B．f－1()>f－1()
C．f－1()<f－1(2) D．f－1()>f－1(2)
解析：∵函数f(x)＝(ex＋ex－2)＝·ex是一个单调递增函数，∴f－1(x)在(0，＋∞)上也是单调递增函数．
又∵x<1，∴f(x)＝·ex<·e＝.
－2＝＝，
∵2<e<3，∴0<e－2<1，∴(e－2)2－3<0，∴<2；－＝＝，
∵2.7<e<2.8，∴1.2<e－<1.3，
∴(e－)2－>0，∴>，∴<<2.
∴在x<1时，函数f(x)＝(ex＋ex－2)的值域为
(0，)，其中<<2，故选A. www.k@s@5@ 高#考#资#源#网

答案：A
6．(2010·唐山一模)函数y＝(x≤1且x∈R)的图象与其反函数图象的交点共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：求其反函数为y＝1－x2(x≥0)，由，判断其解的个数即可．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．函数y＝(x>1)的反函数是__________．
解析：依题意，由y＝(x>1)得x＝(y>1)，所以函数y＝(x>1)的反函数是y＝(x>1)．
答案：y＝(x>1)
8．(2009·成都一诊)设函数f(x)＝e2(x－1)，y＝f－1(x)为y＝f(x)的反函数，若函数g(x)＝，
则g[g(－1)]＝__________.
解析：依题意得g(－1)＝－1＋2＝1，g[g(－1)]＝g(1)＝f－1(1)．设f－1(1)＝t，则有f(t)＝1，即e2(t－1)＝1，t＝1，所以g[g(－1)]＝1.
答案：1
9．已知函数f(x)＝的反函数f－1(x)的图象的对称中心是(－1,3)，则实数a的值为__________．
解析：因为f－1(x)的图象的对称中心是(－1,3)，所以f(x)的图象的对称中心为(3，－1)．又由f(x)＝＝－1－，则f(x)的图象可由g(x)＝－的图象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a＋1＝3，即a＝2.
答案：2
10．(2009·重庆二次调研)若函数f(x)＝log2(4x－2)，则方程f－1(x)＝x的解是__________．
解析：由f－1(x)＝x，得x＝f(x)，∴x＝log2(4x－2)，即2x＝4x－2，∴2x＝2.∴x＝1.
答案：x＝1
三、解答题(共50分)
11．(15分)求y＝lg(x－)的反函数．
解：由x－>0，得x>，
∴　∴x≥2.
∴lg(x－)＝lg≤lg＝lg2.
由y＝lg(x－)．得
x－＝10y，＝x－10y.
∴x2－4＝x2－2·10yx＋102y.
∴x＝(4·10－y＋10y)．
故f－1(x)＝(10x＋4·10－x)，x∈(－∞，lg2]．
12．(15分)设函数f(x)＝2x－1有反函数f－1(x)，g(x)＝log4(3x＋1)，
(1)若f－1(x)≤g(x)，求x的取值范围D；
(2)设H(x)＝g(x)－f－1(x)，当x∈D时，求函数H(x)的值域及它的反函数H－1(x)．
解：(1)∵f(x)＝2x－1的定义域是R，值域是(－1，＋∞)．由y＝2x－1解得x＝log2(y＋1)(y>－1)，
∴f－1(x)＝log2(x＋1)(x>－1)，于是f－1(x)≤g(x)即为log2(x＋1)≤log4(3x＋1)，即
∴0≤x≤1，即D＝[0,1]．
(2)H(x)＝g(x)－f－1(x)＝log4(3x＋1)－log2(x＋1)
＝log2＝log2(3－)．
∵0≤x≤1，∴1≤3－≤2.
∴0≤log2(3－)≤.
∴H(x)的值域为[0，]．
由y＝log2(3－)得3－＝22y，
∴＝3－4y，x＋1＝，x＝，y∈[0，]．
∴H－1(x)＝(x∈[0，])．
13．(20分)(2009·上海高考)已知函数y＝f－1(x)是y＝f(x)的反函数．定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y＝f(x＋a)与y＝f－1(x＋a)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a和性质”；若函数y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a积性质”．
(1)判断函数g(x)＝x2＋1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由；
(2)求所有满足“2和性质”的一次函数；
(3)设函数y＝f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”．求y＝f(x)的表达式．
解：(1)函数g(x)＝x2＋1(x>0)的反函数是g－1(x)＝(x>1)，∴g－1(x＋1)＝(x>0)，
而g(x＋1)＝(x＋1)2＋1(x>－1)，其反函数为y＝－1(x>1)，
故函数g(x)＝x2＋1(x>0)不满足“1和性质”．
(2)设函数f(x)＝kx＋b(x∈R)满足“2和性质”，k≠0.
∴f－1(x)＝(x∈R)，∴f－1(x＋2)＝，
而f(x＋2)＝k(x＋2)＋b(x∈R)，得反函数为y＝，由“2和性质”定义可知＝对x∈R恒成立，∴k＝－1，b∈R，即所求一次函数为f(x)＝－x＋b(b∈R)．
(3)设a>0，x0>0，且点(x0，y0)在y＝f(ax)图象上，则(y0，x0)在函数y＝f－1(ax)图象上，故可得ay0＝f(x0)＝af(ax0)．令ax0＝x，则a＝，∴f(x0)＝f(x)，即f(x)＝.
综上所述，f(x)＝(k≠0)，此时f(ax)＝，其反函数就是y＝，而f－1(ax)＝，故y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数．

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