2016届高考数学第二轮专题复习检测17.doc

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突破练(二)
1．已知函数f(x)＝sin ＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值．
解　f(x)＝sin ＋2cos 2x－1＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝cos 2x＋sin 2x＝sin .
(1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(A)＝sin ＝得
2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即A＝kπ或A＝＋kπ，
又A为△ABC的内角，所以A＝.
又因为b，a，c成等差数列，所以2a＝b＋c.
∵·＝bccos A＝bc＝9，
∴bc＝18，
∴cos A＝＝－1＝－1＝－1.
∴a＝3.
2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．

(1)证明：平面EAC⊥平面PBD；
(2)若PD∥平面EAC，并且二面角B－AE－C的大小为45°，求PD∶AD的值．
(1)证明　因为PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，又BD∩PD＝D，故AC⊥平面PBD，又AC⊂平面EAC.
所以平面EAC⊥平面PBD.

(2)解　连接OE，因为PD∥平面EAC，所以PD∥OE，所以OE⊥平面ABCD，又O是BD的中点，故此时E为PB的中点，以点O为坐标原点，射线OA，OB，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz.
设OB＝m，OE＝h，则OA＝m，A，B(0，m,0)，E(0,0，h)，＝(－m，m,0)，＝(0，－m，h)，向量n1＝(0,1,0)为平面AEC的一个法向量，设平面ABE的一个法向量n2＝(x，y，z)
则n2·＝0，且n2·＝0，
即－mx＋my＝0且－my＋hz＝0.
取x＝1，则y＝，z＝，
则n2＝，
∴cos 45°＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝，
解得＝，故PD∶AD＝2h∶2m＝h∶m＝∶2.
3．已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.
(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；
(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．
解　(1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．
∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有即
∴－20≤q≤12.
(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.
①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，
∴f(t)－f(8)＝12－t，
即t2－15t＋52＝0，
解得t＝，
∴t＝；
②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，
∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；
③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，
∴f(10)－f(t)＝12－t，
即t2－17t＋72＝0，
解得t＝8,9，
∴t＝9.综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件．
4．已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1.
(1)求椭圆方程；
(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：M·M为定值．
(1)解　化圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，
则圆心为(－1,0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.
又椭圆上的点到点F的距离最小值为－1，所以a－c＝－1，即a＝.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明　①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.
可求得A，B.
此时，M·M＝·＝－.
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为M·M＝·
＝＋y1y2
＝x1x2＋(x1＋x2)＋2＋k(x1＋1)·k(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋k2＋
＝(1＋k2)·＋＋k2＋
＝＋＝－2＋＝－.
所以，M·M为定值，且定值为－.
5．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线3x＋2y－3＝0上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．
解　(1)由题意可得3an＋1＋2Sn－3＝0，
①
n≥2时，3an＋2Sn－1－3＝0，
②
①－②得3an＋1－3an＋2an＝0，
∴＝(n≥2)，
a1＝1,3a2＋a1－3＝0，
∴a2＝，
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，
∴an＝n－1.
(2)由(1)知：Sn＝＝.
若为等差数列，
则S1＋λ·1＋，S2＋λ·2＋，S3＋λ·3＋成等差数列，
∴2＝S1＋λ＋S3＋λ，解得λ＝.
又λ＝时，Sn＋·n＋＝，
显然成等差数列，
故存在实数λ＝，
使得数列成等差数列．
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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