高三数学专题04-数学开放性问题怎么解.doc
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4、题怎么解 陕西永寿县中学 特级教师安振平 数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.例 1 设等比数列的公比为 ,前 项和为 ,是否存在常数 ,使数列 也成等比数列?若存在,求出常数;若不存在,请 明 理 由. 讲解 存在型开放题的求解一般是从假
5、设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数, 使数列 成等比数列. (i) 当 时, 代入上式得 即=0但, 于是不存在常数 ,使成等比数列. (ii) 当 时, 代 入 上 式 得 . 综 上 可 知 , 存 在 常 数 ,使成等比数列.等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.(1)写出y与x之间的函数关系式
6、;(2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值); (3 ) 使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (i )当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床; (ii )当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床,问用哪种方案处理较为合算?请说明你的理由.讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. (1) =. (2)解不等式 0,得 x.xN, 3 x 17.故从第3年工厂开始盈利.(3)(i) 40当且仅当时,即x=7时,等号成立.到2008年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利127+30=114万元.(ii)y=-2x2+40x-98= -2(x-10)
7、2 +102,当x=10时,ymax=102.故到2011年,盈利额达到最大值,工厂共获利102+12=114万元.解答函数型最优化实际应用题,二、三元均值不等式是常用的工具.例3 已知函数f(x)= (x-2)(1)求f(x)的反函数f-1(x); (2)设a1=1,=-f-1(an)(nN),求an; (3)设Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意nN,有bn成立?若存在,求出m的值;若不存在说明理由. 讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性.(1) y=,x0).(2) , =4.是公差为4的等差数列.a1=1, =
8、+4(n-1)=4n-3.an0 , an=.(3) bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn对于nN成立.5 ,m5,存在最小正数m=6,使得对任意nN有bn成立.为了求an ,我们先求,这是因为是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范.例4 已知数列在直线x-y+1=0上.(1) 求数列an的通项公式;(2)若函数求函数f(n)的最小值;(3)设表示数列bn的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由. 讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探
9、索. (1) (2) ,.(3), . 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立.事实上, 数列an是等差数列, 你知道吗? 例5 深夜,一辆出租车被牵涉进一起交通事故,该市有两家出租车公司红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色,并对证人的辨别能力作了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定对红色出租车公平吗?试说明理由.讲解 设该城市有出租车1000辆,那么依题意可得如下信息:证人所说的颜色(正确率80%)真实颜色蓝色红
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