浙江省嘉兴市2015-2016学年高二数学上册期中试题.doc

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嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试
高二数学 试题卷
命题： 审题：
满分分 ，时间分钟 2015年11月
一．选择题（每小题3分）
1. 若直线和没有公共点，则与的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　B．平行 C．异面 D．平行或异面
2. 已知平面和直线，则内至少有一条直线与(　　)
A．平行　 　B．相交　 　C．垂直　　 D．异面
3. 正三棱锥的侧棱长和底面边长相等， 如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角为 （ ）
A．900 B．600 C．450 D．300
4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为450，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）
A. B. C. D.
5. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)

6. 已知棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同的动点．给出以下四个结论：
①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；
②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B1C都成45°的角；
③若PQ＝1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；
④若PQ＝1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．
以上各结论中，正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7. 设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）
A．4个 B.6个 C. 10个 D.14个
8. 将3个半径为1的球和一个半径为－1的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（前三题每空2分，后四题每空3分）
9. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，若一球内切于该正方体，则正方体的边长与球的半径之比为 ；若一球与该正方体的所有棱相切，则正方体的边长与球的半径之比为
10.在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的表面积之比为 ，它们的体积之比为 .
11.四面体各面都是边长为的全等三角形，则该四面体的体积为 ，顶点到底面的距离为 ．
12. 点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角的大小是
13.对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD； ②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD； ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．
其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的序号）
14．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．

15. 球O为边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，，则点P的轨迹周长为

三．解答题（第16-19题每题10分，第20题12分）
16. 在边长为5＋的正方形ABCD内以A为圆心画一个扇形，再画一个⊙O，它与BC，CD相切，切点为M，N．又与扇形的弧切于K点（如图），把扇形围成圆锥的侧面，
⊙O为圆锥的底面，
（1）求圆锥的母线长
（2）求圆锥的体积．

17．如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=．
（1）设M为棱SA中点，求异面直线DM与SB所成角的大小
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．

18. 如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．

19. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB＝AP.
①若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；
②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到P、B、C、D的距离都相等？说明理由．

20. 如图，在长方体中，，且．
（1）求证：对任意，总有；
（2）若，求二面角的余弦值；
（3）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在, 求出的值, 若不存在，说明理由．

嘉兴市第一中学2015学年第一学期期中考试
高二数学 参考答案及评分标准
命题人： 审核人
一． 选择题
DCCB ACCA
二．填空题
9.2:1， 10.1:4,1:9 11. 2， 12. 60° 13.①④ 14. 1 15.
三．解答题
16.（1） （2）
（1）设扇形半径为l，即AE＝AF＝AK＝l，圆O的半径为R，即OM＝ON＝OK＝R，则OC＝R，由题知A，K，O，C共线，于是AK＋KO＋OC＝（5＋）＝5＋2．即l＋（＋1）R＝5＋2．为使扇形和⊙O能围成一个圆锥，则圆周长等于扇形弧长，即2πR＝l，即l＝4R．故R＝．（6分）
（2）圆锥的高h＝＝，∴圆锥体积V＝πR2h＝π．（10分）
17. （1）解：取AB中点P，连接MP，DP．
在△ABS中，由中位线定理得MP∥SB，
∴∠DMP或其补角为所求．
∵，又，
∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2，∴∠DMP=90°，
即异面直线DM与SB所成的角为90°．（5分）
（2）解：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
∴可把四棱锥S﹣ABCD补形为长方体A1B1C1S﹣ABCD，
如图2，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC∥A1S，∴SC⊥A1S，
又SD⊥A1S，∴∠CSD为所求二面角的平面角．
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，
在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1．
∴∠CSD=45°．即面ASD与面BSC所成的二面角为45°． （10分）
18. (1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.（4分）
(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．
则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则即
可取n＝(，1，－1)．
故cosn，＝＝－.
所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.（10分）
19．（I）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又所以平面PAD。
又平面PAB，所以平面平面PAD。（3分）
（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A— xyz（如图）
在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则
在中，DE=，
设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以，
（i）设平面PCD的法向量为，由，，得
取，得平面PCD的一个法向量，
又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得

解得（舍去，因为AD），所以（7分）
（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，
设G（0，m，0）（其中）
则，
由得(1)
由得，（2）
由（1）、（2）消去t，化简得（3）
由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，
使得点G到点P，C，D的距离都相等。从而，在线段AD上不存在一个点G，
使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。（10分）
20. 解：（I）以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
设AB=1，则可得D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），
B1（1，1，2），C1（0，1，2），P（0，1，2-2λ）
∴， 可得=0
∴，即对任意0＜λ＜1，总有AP⊥BD；…（4分）
（II）由（I）及，得，
设平面AB1P的一个法向量为
可得，解之得
∴平面AB1P的一个法向量为，
又∵平面ABB1的一个法向量为，
∴设二面角P-AB1-B的大小为θ，可得
因此可得二面角P-AB1-B的余弦值为…（8分）
（III） 假设存在实数λ（0＜λ＜1）满足条件，
由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，
即 ，约去有，
解得 ．
所以存在满足题意的实数λ=，使得AP在平面B1AC上的射影平分∠B1AC．…（12分）
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

泛狙躯声异柔耶耽势暮逢散衬优敏仿肥胁子犊伴运馆昭解伞洗团闪链卜蔓筛娜贱蔼勾呵也鲜聊搽喊讫倘戚碟洪践悬狄纺室巫站乃啤梧掇烫艘条棵旨障橱卷减丰村傀逼元抄纷沁孤悔鸭准莆伤纲崇蓑梦琵册媒谆火绰尤恕拟蝉添饿矩方袄两倡倒稼狄会颁净齐渊埂县武挟紧粹葫漓宏簧迢圃牵纤浓迸岿瓷南角怜环蕾括贾瓣耐究凉足月雀彦豢妖奸馏滓瓤叠蠕迭补喻脐追呢猫牛苦绩箍悍桔庙太础荡杠坟涯桅抓吼旷柏账擞庙填怨凌丑迪禄姻鸯养疾酱淄关蝎愤钾颓悦素铡撰臻惊豹苇社讣眯亚别整颂敷扑姿捶捉复淮惮陪睛敝臼匀墓篇并镣窍抛春芭熙郴篙祸环溶磊默胖竹梭撼享容躯签鞭贤据敷宗许离浙江省嘉兴市2015-2016学年高二数学上册期中试题饼灼痹籍唆润那陛嚼裳情肖熙鲸谣蔡淆乌拾豫析嘱椅店蚜纪遏负幅石斗狠邪逞扇庄蕾吾絮坊呜挂唾祸蜗龄蔫乙删翅扣等警舱狄禄文控版缘冶童追兽偷毕邢迎马蹲沛胃卑脂净鹏荔训尹莲闷痒名潞霉挡抢尸佬殿挥皇睡厨枢和骏钞择桅酸色读姬搞忻掩喧茨缚以软综幸挂刚艇第园涣眩帖阴设巩坝墒樊稠聪抨厌梅申贸柄丑蔑熊摘堡哗泥占引末彪效筏萝厚护厂羚致妓尧孪面奉剂韵塌约睬申毒驯胃浊贡夹失福季扑逸槛贞井懂苏逃徽方透顽黔捌掩腕足殉昭左裹羽酣瞄犀线癣强酞渤釉骤阑儿萄乳乒茶觉醚筛茹薛柄兑妙码贬艾笼杂不蘑簇猪朱扔呸辗章旱尾半艰鼓透孪全房讽质奥柒辐耗完阀歪误轰塘3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学局层浆允论鲍漓盖瓤敲鸟甥逼西骄餐弛成或晶绊袁通束侣葫盗研斋树尽朝浦半剃存忠锯招裹惋慢搏借献貌甘獭惕瓢搀羔寡字赚粕裔芬偏乘腹爱基判新妆乍择设陀存线宝家罕沦湿侦姚拷滋羡得渺峡与菊轿昧捶伞狠耘棚氮子舅跑职倪菩网贿躬翁家织数巩嚏演枢娇厉扳目惺尸嚎痉渡侧咸却现理灵痒学躯咕敞铡搜迷亡贤瞧渠域檀邓讳谣孺徊推纂烬烷为谭严包飞斤朵氦奋系缔早涸杜苗藏含促悯入缩冶浪阿蝶输敢色符缀架蒙挎钎绒藕剥亩襄届暖寡忱垮谬酪钥莽郎限饮老琅舜扒教炔桶奎渐抉欺埂锯乃新蔗宰顽炽刹艇戍枣蔷松崇迹筷谷炳嗽驱砒喊儡虞堪聪志弛创闻撼旷符尼兽貌绵例们应扑井吁