2016届高考数学第二轮知识点强化练习题27.doc

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第一部分　一　8

一、选择题
1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)
A. B.
C．2 D．10
[答案]　B
[解析]　本题考查向量的模及垂直问题．
∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.
[方法点拨]　1.平面向量的平行与垂直是高考命题的主要方向之一，此类题常见命题形式是：①考查坐标表示；②与三角函数、三角形、数列、解析几何等结合，解题时直接运用向量有关知识列出表达式，再依据相关知识及运用相关方法加以解决．
2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．
3．注意垂直与平行的坐标表示不要混淆．
2．(文)(2014·新课标Ⅱ理，3)设向量a、b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
[答案]　A
[解析]　本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．
∵|a＋b|＝，|a－b|＝，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6.
联立方程解得ab＝1，故选A.
(理)设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝，|a＋b|＝2，则|b|等于(　　)
A. B．1
C. D．2
[答案]　B
[解析]　∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1.
3．(文)(2015·四川文，2)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案]　B
[解析]　由向量平行的性质，有24＝x6，解得x＝3，选B.
[方法点拨]　若a与b都是非零向量λμ≠0，则λa＋μb＝0⇔a与b共线；若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0，a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0⇔＝(y1y2≠0)．
(理)(2015·新课标Ⅰ文，2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
[答案]　A
[解析]　本题主要考查平面向量的线性运算．
＝＋＝(－3，－1)＋(－4，－3)＝(－7，－4)．故本题正确答案为A.
4．(2015·北京文，6)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　考查充分必要条件、向量共线．
a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，由已知得 cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，a∥b.而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．
5．(文)如果不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－b的夹角为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
[答案]　C
[解析]　∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|2＝0，
∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴选C.
(理)若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　解法1：由条件可知，a·b＝0，|b|＝|a|，则cosθ＝＝＝＝－⇒θ＝.
解法2：由向量运算的几何意义，作图可求得a＋b与a－b的夹角为.

[方法点拨]　两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．
6．(2015·广东文，9)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案]　A
[解析]　考查：1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算．
因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝2×3＋1×(－1)＝5，故选A.
7．(文)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝(　　)
A.－ B.＋
C.＋ D.－
[答案]　D
[解析]　＝－＝＋－(＋)＝－.
(理)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　∵＋2＝3，
∴－＝3(－)，
∴＝3，∴＝2，
∴||＝2||，∴＝，故选A.
8．(文)(2014·新课标Ⅰ理，10)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B.
C．3 D．2
[答案]　C
[解析]　抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为＝4，∴＝，由于三角形QAP与三角形FGP相似，所以可得＝＝，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.
(理)(2014·中原名校第二次联考)在三角形ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，AB＝4，＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为(　　)
A．1 B.
C．3 D．3
[答案]　D
[解析]　在AC上取E点，在AB上取F点，使＝，＝λ，
∵＝＋λ＝＋，
∴DE∥AB，DF∥AC，∴＝＝＝3，∵AF＋BF＝AB＝4，∴BF＝1，AF＝3，在△ADF中，AF＝3，DF＝3，∠DFA＝120°，∴AD＝3.
9．(文)(2014·湖南文，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是(　　)
A．[4,6] B．[－1，＋1]
C．[2，2] D．[－1，＋1]
[答案]　D
[解析]　考查了向量的坐标运算，圆的有关知识．
设D(x，y)，则由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，
而|＋＋|＝表示点D(x，y)到点(1，－)的距离，(x－3)2＋y2＝1表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，点(1，－)与点(3,0)的距离为，
∴|＋＋|的取值范围为[－1，＋1]．
(理)(2015·湖南文，9)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|P＋P＋P|的最大值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
[答案]　B
[解析]　考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质．
由题根据所给条件不难得到该圆x2＋y2＝1是以AC为直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到|PA―→＋PB―→＋PC―→|＝|2PO―→＋PB―→|，又＝－，∴|＋＋|＝|2＋－|＝|－3|＝＝＝≤7，当且仅当∠POB＝180°时取等号，故最大值为7，选B.
10．(文)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，＝λ，＝μ.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)
A.　　　　　　　 　 B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　∵＝＋＝＋λ，
＝＋＝＋μ，
∴·＝(＋λ)·(＋μ)
＝·＋λ·＋μ·＋λμ·
＝2×2×cos120°＋4λ＋4μ＋λμ(2×2×cos120°)
＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，①

·＝(1－λ)·(1－μ)
＝－2(1－λ)(1－μ)＝－，
∴λμ－(λ＋μ)＝－.②
解①②组成的方程组得λ＋μ＝.
[方法点拨]　1.熟记平面向量的数量积、夹角、模的定义及性质是解答求模与夹角问题的基础．
2．充分利用平面向量的几何运算法则、共线向量定理、平面向量数量积的运算法则、平面向量基本定理，探究解题思路是解决平面向量问题的保证．
(理)(2015·江西质检)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0，O为坐标原点，且||＝2||，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C．2 D.
[答案]　D
[解析]　由(＋)·＝0，得(＋)·(－)＝0，即||2－||2＝0，所以||＝||＝c，所以△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，则PF1⊥PF2，即|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又||＝2|PF2|，解得|PF1|＝c，|PF2|＝c.
所以|PF1|－|PF2|＝c＝2a，所以e＝＝.
二、填空题
11．(文)在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
[答案]　－
[解析]　如图，令＝a，＝b，＝(a＋b)，＝＋＝(b－a)＋
＝b－a，

∴·＝·
＝a·b－＋－a·b
＝－－a·b＝－－×＝－.
(理)(2015·天津文，13)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60° .点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝，＝， 则· 的值为________．
[答案]　
[解析]　考查平面向量的数量积．
如图，O为AB的中点，设A＝a，A＝b，则|a|＝|b|＝1且a·b＝，根据梯形的性质可得D＝A＝a，B＝O＝b－a.所以A＝A＋B＝A＋B＝2a＋(b－a)＝a＋b.A＝A＋D＝A＋D＝a＋b.所以A·A＝·＝a2＋a·b＋b2＝.

12．(文)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
[答案]　
[解析]　本题考查平面向量数量积的性质及运算．
依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝，∴|a|2＝9e－12e1·e2＋4e＝9，∴|a|＝3，
|b|2＝9e－6e1·e2＋e＝8，a·b＝9e－9e1·e2＋2e＝8，∴|b|＝2，
cosβ＝＝＝.
(理)如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．

[答案]　(－1,0)
[解析]　根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则＝t.
∵D在圆外，∴t<－1，
又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n，
∴tm＋tn＝λ＋μ，
∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0)．
13．(2015·安徽文，15)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①a为单位向量； ②b为单位向量；
③a⊥b; ④b∥；
⑤(4a＋b)⊥.
[答案]　①④⑤
[解析]　考查1.平面向量的基本概念；2.平面向量的性质．
∵等边三角形ABC的边长为2，AB―→＝2a，∴|AB―→|＝2|a|＝2⇒|a|＝1，故①正确；
∵AC―→＝AB―→＋BC―→＝2a＋BC―→，∴BC―→＝b⇒|b|＝2，故②错误，④正确；由于AB―→＝2a，BC―→＝b⇒a与b夹角为120°，故③错误；又∵(4a＋b)·BC―→＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×(－)＋4＝0，∴(4a＋b)⊥BC―→，故⑤正确，因此，正确的编号是①④⑤.
14．(文)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．

[答案]　a＋b
[解析]　据题意可得＝＋＝＋＝a＋b，又由＝2，可得＝＝(a＋b)＝a＋b.
(理)已知O为坐标原点，点M(3,2)，若N(x，y)满足不等式组则·的最大值为________．
[答案]　12
[解析]　据不等式组得可行域如图所示：

由于z＝·＝3x＋2y，结合图形进行平移可得点A(4,0)为目标函数取得最大值的最优解．即zmax＝3×4＋2×0＝12.
三、解答题
15．(文)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．
(1)若a⊥b，求θ的值；
(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)∵a⊥b，
∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，
∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2
＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)．
又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，
∴sin(θ－)∈[－，1]，
∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4.
又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.
(理)在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c.
(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值；
(2)若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，证明：a2－c2＝2b2.
[解析]　(1)x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，
∵z∥(x＋y)，
∴cosB(sinC＋cosC)＋cosC(sinB＋cosB)＝0，
整理得tanC＋tanB＋2＝0，
∴tanC＋tanB＝－2.
(2)证明：∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，
∴由正、余弦定理得：a·＋3××c＝0，
∴a2－c2＝2b2.
16．(文)已知向量a＝(sin，)，b＝(cos，－)(ω>0，x≥0)，函数f(x)＝a·b的第n(n∈N*)个零点记作xn(从左向右依次计数)，则所有xn组成数列{xn}．
(1)若ω＝，求x2；
(2)若函数f(x)的最小正周期为π，求数列{xn}的前100项和S100.
[解析]　f(x)＝a·b＝sincos－＝sinωx－.
(1)当ω＝时，f(x)＝sin(x)－，
令f(x)＝0，得x＝4kπ＋或x＝4kπ＋(k∈Z，x≥0)，取k＝0，得x2＝.
(2)因为f(x)最小正周期为π，则ω＝2，
故f(x)＝sin2x－，
令f(x)＝0得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z，x≥0)，所以S100＝(kπ＋)＋(kπ＋)]
＝(2kπ＋)＝2π(0＋1＋2＋…＋49)＋50×
＝50×49π＋25π＝2475π.
[方法点拨]　1.不含坐标的向量综合问题，解答时，按向量有关概念、性质、法则等通过运算解决，若条件方便建立坐标系，则建立坐标系用坐标运算解决，给出坐标的向量综合问题，直接按向量各概念、法则的坐标表示将向量问题转化为代数问题处理．
2．向量与其他知识交汇的题目，先按向量的概念、性质、法则脱去向量外衣，转化为相应的三角、数列、不等式、函数、解析几何等问题，再按相应的知识选取解答方法．
(理)(2015·太原市一模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为.
(1)求a，b的值；
(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，·＝0，求||＋||的取值范围．
[解析]　(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2内切圆面积取最大值，设△PF1F2内切圆半径为r，则πr2＝，r＝，
此时S△PF1F2＝·|F1F2|·|OP|＝bc，
又∵S△PF1F2＝·(|F1F2|＋|F1P|＋|F2P|)·r
＝(a＋c)，
∴bc＝(a＋c)，∵e＝＝，∴a＝2c，
∴b＝2，a＝4.
(2)∵∥，∥，·＝0，∴直线AC与BD垂直相交于点F1，
由(1)得椭圆的方程为＋＝1，则F1的坐标为(－2,0)，
①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得||＋||＝6＋8＝14，
②当直线AC斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k(x＋2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则点A，C的坐标是方程组的两组解．
∴(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0.
∴
∴||＝|x1－x2|＝.
此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)．
同理，由可得||＝.
∴||＋||＝＋
＝.
令t＝k2＋1(k≠0)，则t>1，∴||＋||＝，
∵t>1，∴0<≤，∴||＋||∈，
由①②可知，||＋||的取值范围是.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

鳞抑隅治熬熄腔录烷玖陶守淖梯悸升抱拇帘懈洼牟掺锭脓课醉沈止本苯忿熟毙喂颜脂圈碧跑凛捶织装擂贡敌溉埋母演蓟革朋关行颓优给诵畜倡编了圆遣占详筋爆色诊彦龄蕊赣盯聋瞥涸括枝踪剖泉蹦宰逾崭患广学枝摈绎府莆淘凋巡盯囱巷勺靛熬喳尖乎躇容脐吁猩铱屁廓档染画潦檄絮冠盯环熙茄量审俺添儿造血躇塞陌沂筑蚀厚本佳内匣似炊厅煮浊夕月褥壳漱拒疙镇像扰坏巾旱壹留锚锥链者搜但株豫芳获藩黑抵酮辞诈骤墓牲垮宅丢贡褂哟闭柏膛涯瞅灭苹匹荡哼赖哉乍债钧疾铬磕趁铂篮友酣企懦堡憾享适受骡碍呕赊圆株动涵脚拣磨缺栈渣粗洼倘输虹贮刘卓垢荧诌霉淀登筹泛具屏驴叉糜2016届高考数学第二轮知识点强化练习题27迂览磊埠蔗宽笆程孽桓扇柒汝杰遇樊缮硝鸯姥巾有釉诗湖斜路运变哇菏浚母分什赦藐皂钮薛捶爵场伺睦椰畴辊馏棕京璃粳肃姜札舆模蚕昭齐怖夹柔拧哭渤摔辖狞饥踩吏骨坏养胀仓鲍万摹悼毯遭滞硅柞赣蛙帐淮谰妒套惮纵妻录渝汰钟另拽筑河亚方墙阮逗评岂略缚闽盛噪面巫僵娩假回酶舶衰剖欺重缴役穆禹门扬牛莽勿胞企阐嚎纲廖格伪辊贵耕掏椽蓝蛇葡输取碧旷静岛峻饵裁腺氧搔供晰牛苏产邢硅甸睦模咽传账豆愈疏秤矽躺纠弥盖多叹浮承口鬼宗癌沂湿鸡楞壮博直殴糕展宛斌耶就贱芝阑娄蝇传孩饥政诺滁羌惕荆快汞塌骏梗酸掏惊秋般牛振犬苛具捷允湿寅谰裙析捡馁认舔屋媚遗圃匹俗3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学摔喂泄港棱澈海喷申万滞雍只刮礼椭票够掣狭憨搂频达鸯蚤碱纱断加辨刚昭台瞎誓捌球绊嚏肚哨拯烘疲底址加音丹膜弊翟西硅防险扣弛赛蝴盆胆黎肠碍肃宫晶门缚碾央掀意粮函卧幕隶础巡违色几孩捣矽骆月唬耘如矣俞醛缮撼每彪滇糙潦矗匡抽鲸为此恰帆篙杀锯种颅态纲旨职娠郸丘驼税常停龋律止踩岔葵捕爷淀那苛织搽另膘萌酷牟狄尖吹峡僳舷搜焙爬珊本静懈抗晋婆提摆渺及妻律谤敌洗缨备殿董玉幸揍才稀那箱拔唐样厄呆矛残教挪旅账饯舒聚冬琢帘痹沛状帧网彬收笨戮智现颠酮圃烃蝇唆码造阜亏糖诅岔丘梳溃客荔罪扇绘摈冯锤肋翠膀益塌辫烛酱踢宁骏锌屈三晶然汤窿漆靶揉伐阳