江苏省连云港2016届九年级数学上册期末考试题.doc

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江苏省连云港市海州区2016届九年级上学期期末数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．盒子中装有2个红球和4个绿球，每个球除颜色外都相同，从盒子中任意摸出一个球，是绿球的概率是（　　）
A． B． C． D．

2．一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（　　）
A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，7

3．下列说法正确的是（　　）
A．在一次抽奖活动中，“中奖概率是”表示抽奖100次就一定会中奖
B．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上
C．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6
D．在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是

4．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定

5．如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（　　）

A．1π B．1.5π C．2π D．3π

6．将抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2

7．如图，一块直角边分别为6cm和8cm的三角形木板，绕6cm的边旋转一周，则斜边扫过的面积是（　　）

A．48πcm2 B．60πcm2 C．80πcm2 D．90πcm2

8．一个△ABC的面积被平行于它的一边BC的两条线段三等分，如果BC=12cm，则这两条线段中较长的一条是（　　）
A．8cm B．6cm C．4cm D．4cm

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．若，则=　　　　　　．

10．二次函数y=2（x+1）2+3的图象为抛物线，它的顶点坐标为　　　　　　．

11．如图所示，△ABC中，D、E分别AB、AC上的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是　　　　　　．（只要写一个条件）

12．如图，若DE∥BC，且AD=4cm，DB=2cm，AC=9cm，则AE=　　　　　　．

13．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8． 已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是　　　　　　．

14．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h=﹣5t2+150t+10表示．经过　　　　　　s，火箭达到它的最高点．

15．已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为　　　　　　．

16．如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是　　　　　　cm．

三、解答题（共10小题，满分102分）
17．解方程
（1）x2﹣4x﹣6=0
（2）2（x﹣3）=3x（x﹣3）

18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

19．一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．

20．二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．
（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；
（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？

21．如图，要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．
（l）能围成面积为96平方米的矩形花圃吗？如果能，说明围的方法；如果不能，说明理由；
（2）如何围，花圃的面积最大？最大面积是多少？

22．如图，已知四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC．
（1）请你补充一个条件，使△ABD∽△DCB，并证明你补充的条件符合要求；
（2）在（1）的条件下，如果AD=6，BD=4，求DC的长．

23．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CB=2，CE=4，求AE的长．

24．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE=AE．请你说明理由；
（3）如图②，若点E在上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）

25．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

26．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．
（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；
（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？

江苏省连云港市海州区2016届九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．盒子中装有2个红球和4个绿球，每个球除颜色外都相同，从盒子中任意摸出一个球，是绿球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】任意摸出一个球有6种情况，其中绿球有四种情况．根据概率公式进行求解．
【解答】解：从盒子中任意摸出一个球，是绿球的概率是．故选C．
【点评】本题考查的是古典型概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

2．一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（　　）
A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，7
【考点】众数；中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：在这一组数据中7是出现次数最多的，故众数是7，
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是6，7，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（6+7）÷2=6.5．
故选：D．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．

3．下列说法正确的是（　　）
A．在一次抽奖活动中，“中奖概率是”表示抽奖100次就一定会中奖
B．随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上
C．同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6
D．在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是
【考点】概率的意义．
【分析】概率是表征随机事件发生可能性大小的量，是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性．了解了概率的定义，然后找到正确答案．
【解答】解：A、概率是针对数据非常多时，趋近的一个数，所以概率是，也不能够说明是抽100次就能抽到奖．故本选项错误．
B、随机抛一枚硬币，落地后正面怎么一定朝上呢，应该有两种可能，故本选项错误．
C、同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和有多种可能性，故本选项错误．
D、在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到6的概率是．
故选D．
【点评】本题解决的关键是理解概率的意义，以及怎样算出概率．

4．二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】利用“二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系”解答即可．
【解答】解：判断二次函数图象与x轴的交点个数，就是当y=0时，方程x2﹣x+1=0解的个数，
∵△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，此方程无解，
∴二次函数y=x2﹣x+1的图象与x轴无交点．
故选A．
【点评】主要考查了二次函数的图象和性质与一元二次方程之间的关系，这些性质和规律要求掌握．

5．如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（　　）

A．1π B．1.5π C．2π D．3π
【考点】弧长的计算；等边三角形的性质．
【分析】先由等边三角形的性质得出AB=AC=6，∠CAB=60°．再由∠1=∠2得到∠CAB=∠DAE=60°，然后根据弧长公式解答即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AC=6，
∴AB=AC=6，∠CAB=60°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE=60°，
∴弧DE的长为=2π，
故选C．
【点评】本题考查了扇形的弧长，等边三角形的性质，找到圆心角∠DAE的度数是解题的关键．

6．将抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）求解．
【解答】解：抛物线y=x2沿y轴向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为y=x2﹣2．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

7．如图，一块直角边分别为6cm和8cm的三角形木板，绕6cm的边旋转一周，则斜边扫过的面积是（　　）

A．48πcm2 B．60πcm2 C．80πcm2 D．90πcm2
【考点】圆锥的计算；点、线、面、体．
【专题】计算题．
【分析】先利用勾股定理得到斜边为10cm，由于三角形木板绕6cm的边旋转一周所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为8cm，母线长为10cm，斜边扫过的面积就是圆锥的侧面积，然后利用扇形面积公式计算出圆锥的侧面即可．
【解答】解：直角边分别为6cm和8cm的三角形木板的斜边为10cm，三角形木板绕6cm的边旋转一周所得的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为8cm，母线长为10cm，
此圆锥的侧面积=•2π•8•10=80（cm2）．
所以斜边扫过的面积为80cm2．
故选C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

8．一个△ABC的面积被平行于它的一边BC的两条线段三等分，如果BC=12cm，则这两条线段中较长的一条是（　　）
A．8cm B．6cm C．4cm D．4cm
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：
根据题意，根据相似三角形的性质，设较长的线段为x，则（）2=，
又∵BC=12，
∴解方程得：MN=4，
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．若，则=　　．
【考点】分式的基本性质．
【专题】整体思想．
【分析】由，得a=，代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由，得a=，
∴=．
故答案为：．
【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．

10．二次函数y=2（x+1）2+3的图象为抛物线，它的顶点坐标为　（﹣1，3）　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】因为y=2（x+1）2+3是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【解答】解：二次函数y=2（x+1）2+3的图象的顶点坐标是（﹣1，3）．
故答案为（﹣1，3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）．

11．如图所示，△ABC中，D、E分别AB、AC上的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是　此题答案不唯一，如∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或=等　．（只要写一个条件）

【考点】相似三角形的判定．
【分析】由∠A是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使△ADE∽△ACB，可添加：∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或=等．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴要使△ADE∽△ACB，可添加：∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或=等．
故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC或=等．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键．

12．如图，若DE∥BC，且AD=4cm，DB=2cm，AC=9cm，则AE=　6cm　．

【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵AD=4cm，DB=2cm，
∴AB=6cm，
∵DE∥BC，
∴=，即=，
解得，AE=6cm，
故答案为：6cm．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

13．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8． 已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是　1.6　．
【考点】方差．
【专题】计算题．
【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，代入计算即可．
【解答】解：∵这组数据的平均数是10，
∴（10+10+12+x+8）÷5=10，
解得：x=10，
∴这组数据的方差是×[3×（10﹣10）2+（12﹣10）2+（8﹣10）2]=1.6；
故答案为：1.6．
【点评】此题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．

14．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h=﹣5t2+150t+10表示．经过　15　s，火箭达到它的最高点．
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】由题意得：当火箭到达最高点时，即h达到最大值，本题可运用完全平方式求得最大值．
【解答】解：当火箭到达最高点时，即h达到最大值．
h=﹣5t2+150t+10
=﹣5（t﹣15）2+1135．
∵﹣5＜0
∴t=15时，h取得最大值，即火箭达到最高点．
故应填15．
【点评】本题考查的是二次函数最大值的求法，这一题可用完全平方式求得．

15．已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为　3.75　．

【考点】正方形的性质；相似三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据△ABC∽△AMN，可将BC的长求出，由OB的长可将OC的长求出，同理根据△ABC∽△AEF，可将EF的长求出，由PE的长可将PF的长求出，代入梯形的面积公式可将阴影部分的面积求出．
【解答】解：∵BC∥MN
∴=，即=，解得：BC=1
∵OB=3
∴OC=3﹣1=2
∵BC∥EF
∴=，即=，解得：EF=
∵PE=3
∴PF=3﹣=
∴梯形OCFP的面积为：（2+）×3×=3.75
故图中阴影部分面积为3.75．

【点评】利用三角形相似，可将阴影部分为梯形的上底和下底求出，进而可求出阴影部分的面积．

16．如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是　12　cm．

【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=x，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，从而得到AF、EF的长，再求出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：由翻折的性质得，DF=EF，
设EF=x，则AF=6﹣x，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=×6=3，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
即32+（6﹣x）2=x2，
解得x=，
∴AF=6﹣=，
∵∠FEG=∠D=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BEG，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BGE，
∴==，
即==，
解得BG=4，EG=5，
∴△EBG的周长=3+4+5=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各边的长是解题的关键，也是本题的难点．

三、解答题（共10小题，满分102分）
17．解方程
（1）x2﹣4x﹣6=0
（2）2（x﹣3）=3x（x﹣3）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣6=0，
x2﹣4x=6，
x2﹣4x+4=6+4，
（x﹣2）2=10，
x﹣2=±，
x1=2+，x2=2﹣．

（2）2（x﹣3）=3x（x﹣3），
（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得，x1=3，x2=．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

18．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．
【专题】判别式法．
【分析】（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【解答】解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；
方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1•x1=﹣，x1=﹣．

（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．

19．一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】压轴题．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：（1）∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是；

（2）组成的所有两位数列表为：
十位数
个位数
1
2
3
4
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
或列树状图为：

∴这个两位数大于22的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．
（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；
（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点．
【专题】压轴题；开放型．
【分析】（1）由平移规律求出新抛物线的解析式；
（2）令y=0，求出x的值，即可得交点坐标．抛物线开口向上，当x的值在两交点之外y的值大于0．
【解答】解：（1）画图如图所示：
依题意得：y=（x﹣1）2﹣2
=x2﹣2x+1﹣2
=x2﹣2x﹣1
∴平移后图象的解析式为：x2﹣2x﹣1

（2）当y=0时，x2﹣2x﹣1=0，即（x﹣1）2=2，
∴，即
∴平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为（，0）和（，0）
由图可知，当x＜或x＞时，
二次函数y=（x﹣1）2﹣2的函数值大于0．

【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．

21．如图，要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．
（l）能围成面积为96平方米的矩形花圃吗？如果能，说明围的方法；如果不能，说明理由；
（2）如何围，花圃的面积最大？最大面积是多少？

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）设AB边的长为x米，则BC=32﹣2x，然后利用矩形的面积公式列出方程解答即可；
（2）求得矩形ABCD面积的二次函数解析式，利用二次函数的性质求最大值即可．
【解答】解：（1）设AB=xm，则BC=（32﹣2x）m
由题意得：x（32﹣2x）=96
解得：x1=12，x2=4
当x1=12时，32﹣2x=8；
当x2=4时，32﹣2x=24；
答：AB=12m，BC=8m或AB=4m，BC=24米是可以围成．
（2）设：花圈的面积为s，AB=x，
s=x（32﹣2x），
s=﹣2x2+32x，
当x=﹣=8时，
s有最大值=﹣2×82+32×8=128，
∴当所围矩形花圈的AB=8m时，有最大面积128m2．
【点评】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质、矩形的面积计算方法是解题的关键．

22．如图，已知四边形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC．
（1）请你补充一个条件，使△ABD∽△DCB，并证明你补充的条件符合要求；
（2）在（1）的条件下，如果AD=6，BD=4，求DC的长．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题；图形的相似．
【分析】（1）补充条件为：∠BDC=90°，理由为：由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
（2）由（1）的结论，利用相似三角形对应边成比例，求出BC的长，在直角三角形BDC中，利用勾股定理DC的长．
【解答】解：（1）补充条件为：∠BDC=90°，
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠A=∠BDC=90°，
∴△ABD∽△DCB；
（2）∵△ABD∽△DCB，
∴=，即=，
解得：BC=8，
在Rt△BDC中，DC==4．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

23．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CB=2，CE=4，求AE的长．

【考点】切线的判定；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连接OE，由角平分线的性质，结合平行线的性质；易证得OE⊥CD；故可得CD是⊙O的切线．
（2）设r是⊙O的半径，在Rt△CEO中，CO2=OE2+CE2，进而有OE∥AD可得△CEO∽△CDA，可得比例关系式，代入数据可得答案．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠DAE．
∵OE=OA，
∴∠BAE=∠OEA．
∴∠OEA=∠DAE．
∴OE∥AD．
∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：设r是⊙O的半径，
在Rt△CEO中，CO2=OE2+CE2，
即（2+r）2=r2+42，
解得r=3．
∵OE∥AD，
∴△CEO∽△CDA，
∴，
即．
解得．
∴=．

【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

24．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE=AE．请你说明理由；
（3）如图②，若点E在上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）

【考点】圆周角定理；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．
【专题】证明题；探究型．
【分析】（1）中易证AD=AB，EB=DF，所以只需证明∠ADF=∠ABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；
（2）中易证△AEF是等腰直角三角形，所以EF=AE，所以只需证明DE﹣BE=EF即可，由BE=DF不难证明此问题；
（3）类比（2）不难得出（3）的结论．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵∠1和∠2都对，
∴∠1=∠2，
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE（SAS）；

（2）由（1）有△ADF≌△ABE，
∴AF=AE，∠3=∠4．
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠3=90°．
∴∠BAF+∠4=90°．
∴∠EAF=90°．
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF2=AE2+AF2．
∴EF2=2AE2．
∴EF=AE．
即DE﹣DF=AE．
∴DE﹣BE=AE．

（3）BE﹣DE=AE．理由如下：
在BE上取点F，使BF=DE，连接AF．
易证△ADE≌△ABF，
∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．
在正方形ABCD中，∠BAD=90°．
∴∠BAF+∠DAF=90°．
∴∠DAE+∠DAF=90°．
∴∠EAF=90°．
∴△EAF是等腰直角三角形．
∴EF2=AE2+AF2．
∴EF2=2AE2．
∴EF=AE．
即BE﹣BF=AE．
∴BE﹣DE=AE．

【点评】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定及勾股定理，难度适中．

25．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

【考点】二次函数综合题；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2，再根据过A，B两点，即可得出结果．
（2）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分三种情况进行讨论，当时和时，当P，C重合时，△APM≌△ACO，分别求出点P的坐标即可．
（3）本题需先根据题意设出D点的横坐标和D点的纵坐标，再过D作y轴的平行线交AC于E，再由题意可求得直线AC的解析式为，即可求出E点的坐标，从而得出结果即可．
【解答】解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．
将A（4，0），B（1，0）代入，
得，
解得，
∴此抛物线的解析式为；

（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，
则P点的纵坐标为，
当1＜m＜4时，AM=4﹣m，．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当，
∵C在抛物线上，
∴OC=2，
∵OA=4，
∴，
∴△APM∽△ACO，
即．
解得m1=2，m2=4（舍去），
∴P（2，1）．
②当时，△APM∽△CAO，即．
解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）
∴当1＜m＜4时，P（2，1），

当m＞4时，AM=m﹣4，PM=m2﹣m+2，
①==或②==2，
把P（m，﹣m2+m﹣2）代入得：2（m2﹣m+2）=m﹣4，2（m﹣4）=m2﹣m+2，
解得：第一个方程的解是m=﹣2﹣2＜4（舍去）m=﹣2+2＜4（舍去），
第二个方程的解是m=5，m=4（舍去）
求出m=5，﹣m2+m﹣2=﹣2，
则P（5，﹣2），

当m＜1时，AM=4﹣m，PM=m2﹣m+2．
①==或==2，
则：2（m2﹣m+2）=4﹣m，2（4﹣m）=m2﹣m+2，
解得：第一个方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二个方程的解是m=4（舍去），m=﹣3，
m=﹣3时，﹣m2+m﹣2=﹣14，
则P（﹣3，﹣14），
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14），
（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为||．
过D作y轴的平行线交AC于E．
由题意可求得直线AC的解析式为．
∴E点的坐标为．
∴，
∴S△DAC=S△DCE+S△DEA=DE•h+DE•（4﹣h）=DE•4，
∴，
∴当t=2时，△DAC面积最大，
∴D（2，1）．

【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．

26．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合，OD交BC于点F，OE经过点C，且∠DOE=∠B．
（1）证明△COF是等腰三角形，并求出CF的长；
（2）将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转，OD，OE与边AC分别交于点M，N（如图2），当CM的长是多少时，△OMN与△BCO相似？

【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题；分类讨论．
【分析】（1）易证∠OCB=∠B，由条件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE，从而得到△COF是等腰三角形，过点F作FH⊥OC，垂足为H，如图1，由等腰三角形的三线合一可求出CH，易证△CHF∽△BCA，从而可求出CF长．
（2）题中要求“△OMN与△BCO相似”，并没有指明对应关系，故需分情况讨论，由于∠DOE=∠B，因此△OMN中的点O与△BCO中的点B对应，因而只需分两种情况讨论：①△OMN∽△BCO，②△OMN∽△BOC．当△OMN∽△BCO时，可证到△AOM∽△ACB，从而求出AM长，进而求出CM长；当△OMN∽△BOC时，可证到△CON∽△ACB，从而求出ON，CN长．然后过点M作MG⊥ON，垂足为G，如图3，可以求出NG．并可以证到△MGN∽△ACB，从而求出MN长，进而求出CM长．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，点O是AB的中点，
∴OC=0B=OA=5．
∴∠OCB=∠B，∠ACO=∠A．
∵∠DOE=∠B，
∴∠FOC=∠OCF．
∴F