江西省抚州市2015-2016学年高一数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年江西省抚州市金溪一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题(本题共12道小题。每小题5分，共60分)
1．函数y=+lg（x+2）的定义域为( )
A．（﹣2，1） B． C．

2．已知M={y∈R|y=|x|}，N={x∈R|x＞0}，则( )
A．M⊋N B．M=N C．M∩N=∅ D．N⊋M

3．函数y=x2+x （﹣1≤x≤3 ）的值域是( )
A． B． C． D．

4．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是( )
A．y=﹣3x+1 B．y=x2﹣2x+3 C．y= D．y=

5．函数的零点所在的区间是( )
A． B． C． D．

6．下列各项表示同一函数的是( )
A． B．
C． D．

7．若a=log3π，b=log76，c=log20.8，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

8．函数的单调递增区间是( )
A．（﹣∞，﹣2] B． D．

9．已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是( )
A．（0，] B．（0，1） C．上的最大值为5，则m、n的值分别为( )
A．、2 B．、4 C．、 D．、4

12．已知函数f（x）=2﹣，（x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则实数m的取值范围是( )
A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（0，） D．（﹣1，1）

二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）
13．函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x﹣5，则f（g（2））=__________．

14．已知=__________．

15．若函数f（x）对一切x∈R，都有f（x+2）=，且f（1）=﹣1，则f（5）=__________．

16．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：
（1）f（x）=
（2）f（x）=x2
（3）f（x）=
（4）f（x）=，
能被称为“理想函数”的有__________（填相应的序号）．

三、解答题（本题共6道小题，17题10分，18题12分，19题12分，20题12分，21题12分，22题12分）
17．计算下列各式：
（1）；
（2）．

18．已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，集合B={x|p+1≤x≤2p﹣1}．
（1）若p=4时，求A∩B、A∪B；
（2）若B⊆A，求实数p的取值范围．

19．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数y=kx+b的关系（图象如图所示）．
（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价﹣成本总价）为S元，
①求S关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．

20．若f（x）=x2﹣x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a＞0且a≠1）
（1）求a，b的值；
（2）求f（log2x）的最小值及相应x的值．

21．已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．②当x＜0时，f（x）＞0且f（1）=﹣3 两个条件，
（1）求证：f（0）=0；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）解不等式f（2x﹣2）﹣f（x）≥﹣12．

22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．

2015-2016学年江西省抚州市金溪一中高一（上）期中数学试卷

一、选择题(本题共12道小题。每小题5分，共60分)
1．函数y=+lg（x+2）的定义域为( )
A．（﹣2，1） B． C．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，解得﹣2＜x≤1，
故函数的定义域为（﹣2，1]，
故选：D
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件

2．已知M={y∈R|y=|x|}，N={x∈R|x＞0}，则( )
A．M⊋N B．M=N C．M∩N=∅ D．N⊋M
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】先根据|x|≥0，化简集合M，然后根据两集合的包含关系，应注意这两个集合均为数集，来确定M，N的关系．
【解答】解：∵M={y∈R|y=|x|}，|x|≥0，
∴M={y|y≥0}，
又N={x∈R|x＞0}，
∴由两集合的包含关系得，M⊋N．
故选A．
【点评】本题主要考查两集合的包含关系及其应用，首先要化简，其次根据定义确定，本题为基础题．

3．函数y=x2+x （﹣1≤x≤3 ）的值域是( )
A． B． C． D．
【考点】二次函数在闭区间上的最值．
【专题】计算题．
【分析】先将二次函数配方，确定函数在指定区间上的单调性，从而可求函数的值域．
【解答】解：由y=x2+x得，
∴函数的对称轴为直线
∵﹣1≤x≤3，
∴函数在上为减函数，在上为增函数
∴x=时，函数的最小值为
x=3时，函数的最大值为12
∴≤y≤12．
故值域是
故选B．
【点评】本题重点考查二次函数在指定区间上的值域，解题的关键是配方，确定函数的单调性，属于基础题．

4．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是( )
A．y=﹣3x+1 B．y=x2﹣2x+3 C．y= D．y=
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题．在解答时，可以结合选项逐一进行排查，排查时充分考虑所给函数的特性：一次函数性、幂函数性、二次函数性还有反比例函数性．问题即可获得解答．
【解答】解：由题意可知：
对A：y=﹣3x+1，为一次函数，易知在区间（0，2）上为减函数；
对B：y=x2﹣2x+3，为二次函数，开口向上，对称轴为x=1，所以在区间（0，2）上为先减后增函数；
对C：y=，为幂函数，易知在区间（0，2）上为增函数；
对D：y=，为反比例函数，易知在（﹣∞，0）和（0，+∞）为单调减函数，所以函数在（0，2）上为减函数；
综上可知：y=在区间（0，2）上为增函数；
故选C．
【点评】本题考查的是对不同的基本初等函数判断在同一区间上的单调性的问题．在解答的过程当中充分体现了对不同基本初等函数性质的理解、认识和应用能力．值得同学们体会反思．

5．函数的零点所在的区间是( )
A． B． C． D．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】令函数f（x）=0得到，转化为两个简单函数g（x）=2x，h（x）=，最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案．
【解答】解：令=0，
可得，
再令g（x）=2x，，
在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，
可知g（x）与h（x）的交点在（，1），
从而函数f（x）的零点在（，1），
故选：B．

【点评】本题主要考查函数零点所在区间的求法．考查数形结合思想是中档题．

6．下列各项表示同一函数的是( )
A． B．
C． D．
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】逐一分析四个答案中所给两个函数的定义域和解析式是否均一致，进而可由两个函数表示同一函数的定义得到答案．
【解答】解：A中，=x+1（x≠1），与g（x）=x+1两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；
B中，=|x|﹣1，与g（x）=x﹣1两个函数的解析式不同，故不表示同一函数；
C中，定义域与解析式均相同，故表示同一函数
D中，f（x）=1与=1（x≠0），两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；
故选C
【点评】本题考查的知识点是判断两个函数是否是同一函数，两个函数为同一函数时，要求定义域和解析式一致

7．若a=log3π，b=log76，c=log20.8，则( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】根据π＞3，6＜7，2＞1，0.8＜1，可知log3π＞1，0＜log76＜1，log20.8＜0，进而比较出大小．
【解答】解：∵log3π＞1，0＜log76＜1，log20.8＜0
∴a＞b＞c
故选A．
【点评】本题主要考查对数函数的性质及图象．是高考的热点．

8．函数的单调递增区间是( )
A．（﹣∞，﹣2] B． D．
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先求出函数的定义域，进而根据二次函数及幂函数的单调性，结合复合函数“同增异减”的原则，可得答案．
【解答】解：函数的定义域为
令t=﹣x2﹣4x+5，则y=
∵当x∈为函数的单调增区间
故选C
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握复合函数“同增异减”的原则，是解答的关键．

9．已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是( )
A．（0，] B．（0，1） C．上的最大值为5，则m、n的值分别为( )
A．、2 B．、4 C．、 D．、4
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意可知0＜m＜1＜n，以及mn=1，又f（x）在区间上的最大值为5，可得出f（m5）=5求出m，故可得m、n的值．
【解答】解：f（x）=|log4x|，图象如图，

正实数m、n满足m＜n，且f（m）=f（n），
∴0＜m＜1＜n，
再由f（m）=f（n），得|log4m|=|log4n|，
即﹣log4m=log4n，∴log4mn=0，∴mn=1，
又函数在区间上的最大值为5，由于f（m）=f（n），f（m5）=5f（m），
故可得f（m5）=5，即||=5，即=﹣5，即m5=4﹣5，可得m=，∴n=4．
∴m、n的值分别为、4．
故选：B．
【点评】本题考查对数函数的值域与最值，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出0＜m＜1＜n，以及mn=1及f（x）在区间上的最大值的位置．根据题设条件灵活判断对解题很重要．是中档题．

12．已知函数f（x）=2﹣，（x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则实数m的取值范围是( )
A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（0，） D．（﹣1，1）
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由题意可得 b＞a＞0，m＞0，故有 ，故a，b是方程mx2﹣2x+1=0的两个不等正实根，再利用
二次函数的性质求得m的范围，综合可得结论．
【解答】解：由于y=f（x）=2﹣ （x＞0）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），
可得 b＞a＞0，且mb＞ma，由此解得m＞0．
故有 ，
∴a，b是方程mx2﹣2x+1=0的两个不等正实根．
设g（x）mx2﹣2x+1，则有二次函数g（x）的对称轴为x=，函数g（x）的图象和x轴的正半轴有2个交点．
故有 ，由此解得0＜m＜1．
综上可得，0＜m＜1，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的定义域和值域，函数与方程的综合应用，二次方程根与系数的关系等，考查了推理判断能力，属于基础题．

二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）
13．函数f（x）=2x+3，函数g（x）=3x﹣5，则f（g（2））=5．
【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】求出g（2）的值，然后求解f（g（2））的值即可．
【解答】解：∵函数g（x）=3x﹣5，
∴g（2）=3×2﹣5=1，
∵函数f（x）=2x+3，
∴f（g（2））=f（1）=2×1+3=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查函数值的求法，基础知识的考查，比较简单．

14．已知=1．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】首先分析题目已知2x=5y=10，求的值，故考虑到把x和y用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．
【解答】解：因为2x=5y=10，
故x=log210，y=log510
=1
故答案为：1．
【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．

15．若函数f（x）对一切x∈R，都有f（x+2）=，且f（1）=﹣1，则f（5）=﹣1．
【考点】函数的值；函数的周期性．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】直接利用已知条件，化简求解即可．
【解答】解：函数f（x）对一切x∈R，都有f（x+2）=，且f（1）=﹣1，
则f（5）===﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数值的求法，考查计算能力．

16．若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：
（1）f（x）=
（2）f（x）=x2
（3）f（x）=
（4）f（x）=，
能被称为“理想函数”的有（4）（填相应的序号）．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】证明题；新定义．
【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的单调减函数，由此意义判断题干所给四个函数是否同时具备两个性质即可
【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，
（1）f（x）= 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故排除（1）；
（2）f（x）=x2 为定义域上的偶函数，排除（2）；
（3）f（x）==1﹣，定义域为R，由于y=2x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；
（4）f（x）=的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数
故答案为 （4）

【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法

三、解答题（本题共6道小题，17题10分，18题12分，19题12分，20题12分，21题12分，22题12分）
17．计算下列各式：
（1）；
（2）．
【考点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）将各项的底数化为幂的形式，利用指数的运算法则求解即可．
（2）将化为3的分数指数幂形式，将lg25+lg4利用对数的运算法则化为lg100=2，由对数的意义知为2，结果可求出．
【解答】解：（1）原式=
=
==

（2）原式=
=
=
【点评】本题考查指数和对数的运算法则、根式和分数指数幂的互化、对数恒等式等知识，考查运算能力．

18．已知集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}，集合B={x|p+1≤x≤2p﹣1}．
（1）若p=4时，求A∩B、A∪B；
（2）若B⊆A，求实数p的取值范围．
【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】（1）化简集合A，即可求A∩B、A∪B；
（2）由B⊆A 可得B=∅或B≠∅．当B=∅时，由p+1＞2p﹣1，求出 p 的范围；当B≠∅时，由 ，解得p 的范围，再把这两个p 的范围取并集即得所求．
【解答】解：（1）∵集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}={x|﹣2≤x≤5}，B={x|5≤x≤7}．
∴A∩B={5}，A∪B={x|﹣2≤x≤7}；
（2）∵集合A={x|x2﹣3x﹣10≤0}={x|﹣2≤x≤5}，集合B={x|p+1≤x≤2p﹣1}，B⊆A，
当B=∅时，p+1＞2p﹣1，p＜2．
∴当B≠∅时，有，解得﹣2≤p≤3．
综上，p的范围为（﹣∞，3]．
【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑B=∅的情况，这是解题的易错点．

19．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数y=kx+b的关系（图象如图所示）．
（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价﹣成本总价）为S元，
①求S关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．

【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】常规题型．
【分析】（1）首先根据一次函数y=kx+b的表达式代入数值化简，然后求出k，b并求出一次函数表达式．
（2）①通过（1）直接写出s的表达式并化简
②根据二次函数判断最值．
【解答】解：（1）由图象可知，，
解得，，
所以y=﹣x+1000（500≤x≤800）．
（2）①由（1）
S=x×y﹣500y
=（﹣x+1000）（x﹣500）
=﹣x2+1500x﹣500000，（500≤x≤800）．
②由①可知，S=﹣（x﹣750）2+62500，
其图象开口向下，对称轴为x=750，
所以当x=750时，Smax=62500．
即该公司可获得的最大毛利润为62500元，
此时相应的销售单价为750元/件．
【点评】本题考查函数模型的应用，以及一元二次函数，二次函数的应用，属于基础题．

20．若f（x）=x2﹣x+b，且f（log2a）=b，log2f（a）=2（a＞0且a≠1）
（1）求a，b的值；
（2）求f（log2x）的最小值及相应x的值．
【考点】二次函数的性质；对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）f（log2a）==b，再根据a≠1，即可得到log2a=1，从而求出a=2，求出f（2），再根据log2f（a）=2即可求出b；
（2）将f（x）中的x换上log2x，即可得到f（log2x），进行配方即可求出f（log2x）的最小值及对应的x值．
【解答】解：（1）由已知条件得：
；
即log2a（log2a﹣1）=0；
∵a≠1；
∴log2a=1；
∴a=2；
∴f（2）=2+b；
∴log2（2+b）=2；
∴b=2；
∴求得a=2，b=2；
（2）=；
∴，即时，f（log2x）取得最小值．
【点评】考查已知函数解析式求函数值，对数的运算，以及配方法求函数的最值．

21．已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．②当x＜0时，f（x）＞0且f（1）=﹣3 两个条件，
（1）求证：f（0）=0；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）解不等式f（2x﹣2）﹣f（x）≥﹣12．
【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）赋值法，令x=y=0可证得f（0）=0；
（2）令y=﹣x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；
（3）设x1＜x2，由主条件构造f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）由x＜0时f（x）＞0可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集．
【解答】（1）证明：令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
（2）解：令y=﹣x
∴f（0）=f（﹣x）+f（x）=0
∴f（x）=﹣f（﹣x）
∴函数f（x）是奇函数
（3）解：设x1＜x2则x1﹣x2＜0
∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f（x1﹣x2）＞0
∴f（x）为R上减函数
∵f（2x﹣2）﹣f（x）=f（2x﹣2）+f（﹣x）=f（x﹣2）≥﹣12，﹣12=4f（1）=f（4）
∴x﹣2≤4即x≤6
∴不等式f（2x﹣2）﹣f（x）≥﹣12的解集为{x|x≤6}
【点评】本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的判断，以及解抽象不等式，解此类题目，注意赋值法的运用，属于中档题．

22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）利用奇函数的性质f（0）=0求b的值．
（2）利用定义证明，即取值、作差、变形判断符号、下结论．
（3）结合（1），（2）的性质进行化简，最终解一个关于t的不等式．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即，所以b=1，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设x1＜x2，则．
因为函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以，
又，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在R上为减函数．
（3）因为f（x）为奇函数，所以不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0可化为
f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式得：t2﹣2t＞k﹣2t2，即对一切t∈R，有：
3t2﹣2t﹣k＞0．
从而△=4+12k＜0，解得k．
【点评】本题综合考查了函数的单调性、奇偶性的定义，以及不等式的恒成立问题的处理方法，一般要转化为函数的最值求解．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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