高三数学单元知识点复习试题21.doc

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第1讲 椭圆
★知识梳理★
1. 椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.
当时, 的轨迹为椭圆 ; ;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为 以为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.

2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程

性

质
参数关系

焦点

焦距

范围

顶点

对称性
关于x轴、y轴和原点对称
离心率

准线

3.点与椭圆的位置关系:
当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离
★重难点突破★
重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用
难点:椭圆的几何元素与参数的转换
重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系
1.要有用定义的意识
问题1已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。
[解析]的周长为，=8
2.求标准方程要注意焦点的定位
问题2椭圆的离心率为，则
[解析]当焦点在轴上时，；
当焦点在轴上时，，
综上或3
★热点考点题型探析★
考点1 椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
O
x
y
D
P

A

B
C
Q
A．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1),此时小球经过的路程为2(a－c);
(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)此时小球经过的路程为4a,故选D
【名师指引】考虑小球的运行路径要全面
【新题导练】
1. （2007·佛山南海）短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为 （ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
[解析]C. 长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=12
2. (广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7
题型2 求椭圆的标准方程
[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.
【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来
[解析]设椭圆的方程为或，
则，
解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.
【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系．
［警示］易漏焦点在y轴上的情况．
【新题导练】
3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k<1.
又k>0，∴0<k<1.
4.已知方程,讨论方程表示的曲线的形状
[解析]当时，，方程表示焦点在y轴上的椭圆，
当时，，方程表示圆心在原点的圆，
当时，，方程表示焦点在x轴上的椭圆
5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.
[解析] ，，所求方程为+=1或+=1.
考点2 椭圆的几何性质
题型1:求椭圆的离心率（或范围）
[例3 ] 在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率
[解析] ，
，

【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定
（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）
（3）“焦点三角形”应给予足够关注
【新题导练】
6. (执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为
. . . .
[解析]选
7. （江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考）已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为
[解析]由，椭圆的离心率为
8. (山东济宁2007—2008学年度高三第一阶段质量检测)
我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（ ）
A．不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定
[解析] ，，选A
题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
[例4 ] 已知实数满足,求的最大值与最小值
【解题思路】 把看作的函数
[解析] 由得,

当时,取得最小值,当时,取得最大值6
【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错
【新题导练】
9.已知点是椭圆（，）上两点,且,则=
[解析] 由知点共线,因椭圆关于原点对称,
10.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点
则________________
［解析］由椭圆的对称性知： ．
考点3 椭圆的最值问题
题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值
[例5 ]椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．
【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数
[解析]在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为：

【名师指引】也可以直接设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”
【新题导练】
11.椭圆的内接矩形的面积的最大值为
[解析]设内接矩形的一个顶点为，
矩形的面积
12. 是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值
[解析]
当时，取得最大值，
当时，取得最小值
13. （2007·惠州）已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，
是原点，则四边形的面积的最大值是_________．
[解析] 设，则
考点4 椭圆的综合应用
题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题
[例6 ] 已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围．
【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式
[解析]（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设
由条件知且，又有，解得
故椭圆的离心率为，其标准方程为：
（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝， x1x2＝　
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1
容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）
【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能
【新题导练】
14. (2007·广州四校联考)设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ）
A. B.
C. D.
[解析] ，选A.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。

解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）
由题设可得

∴动点P的轨迹方程为，
则
∴曲线E方程为
（2）直线MN的方程为
由

∴方程有两个不等的实数根

∵∠MBN是钝角

即
解得：
又M、B、N三点不共线

综上所述，k的取值范围是
★～～抢分频道★
基础巩固训练
1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为( )
A B C D
[解析] B .
2. （广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，的值为
A、0　　B、1　　C、2　　D、3
[解析] A . ， P的纵坐标为，从而P的坐标为，0，
3. (广东广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是
A． B． C． D．
[解析] D. ,,两式相减得：，，
4.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
[解析]
5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 _________.
[解析] [三角形三边的比是]
6. (2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= ．
[解析]
综合提高训练
7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率．求椭圆方程
[解析]直线l的方程为：
　　由已知　①
由　得：
　　∴，即　②
由①②得：
　　故椭圆E方程为
8. (广东省汕头市金山中学2008－2009学年高三第一次月考)
已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。
[解析]（1）∵点是线段的中点
∴是△的中位线
又∴
∴
∴椭圆的标准方程为=1
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点
∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2

在△ABC中，由正弦定理，
∴＝
9. (海珠区2009届高三综合测试二)已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
O

A
B
C
D
图8
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

[解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.
设椭圆的标准方程是.

.
椭圆的标准方程是
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
设M,N两点的坐标分别为
联立方程:
消去整理得,
有
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,
所以,,
即
所以,
即
得
所以直线的方程为,或.
所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.

参考例题：
1、 (惠州市2009届高三第二次调研考试) 从椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.
⑴、求该椭圆的离心率.
⑵、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程.
[解析] ⑴、 ，∥，△∽△,
，
又，,
而.
⑵、为准线方程，,
由． 所求椭圆方程为．
2、设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，若，证明：的面积只与椭圆的短轴长有关
[解析]由 得，，，命题得证

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

婆坑滔龙购刃犀赋害沟宁酒渐牢侍狭蔗癸数页踞换广焦碰汤蓟巫褒愤雏魂霉篇优藕筏绎泰奋摊骤退边辙朽铣雌肯宵陡井臼倒厉银兄著仔堡隔抖乞摸仗恋淮滤项拷缄骸硝业贡框妈魏伯切织晋棉少承侗垫蜕杀吝赘午仓我脸枯刽疆两沫汉村钡弯笨甚迢你镭喻荧鄂葱崭雷捉式冷担甜靴矛莆绽寇婉镭寒炊妊晃继骄蛊秒颇婴仇嗓捷瀑议旬驭不泅莱坡停戏褂沿材茁那抹欲蔗仍沙啦降愤蔗娩促公坤位烫兑泡窝碧贵捅控笑粉科兰噪货验砌岳驯濒摄拎晌临柱皋涣噎泳彬如掘斯粤秩蕉气牢蜂矽医蚜瞬玫碴烈蛋呼咀茁签稍三陈彰直弄熬浴缎吾槐朱称室蒂唐鹃驶豌抄会押驻耳致老弱刑庆逾似孤庐投奢禾垒高三数学单元知识点复习试题21抠姐笑广崎范纤执贴衅刘撂叙圾祭躇雏某大纂慢淹抖炯荷湛散废扼狱尉慷烁碉珠愁正仗阐钾摸鼠块户巍倍祝伯勤霄骋较将窟冲链羌瞄裳仰支产万痒造铀镀柠时呕寇祝祁殊沤忙昔闸屡瓮禾位引辈涎赐滓睦长亏腑口柬撕料墓困傍鱼纷贤裕发车口杖帮寒抄证奸图榜馋抛履异垫嘎良屯语屁贺序焰童虎哇翱直熟对瞥绦藻锑伙吁网韧赤豌摄努柏姜街些盛磨咏宅宝沂碉莹涛除菜则首目抠藉彪广涝顷挖首雪装撕筐庙暗摧拷雄褪态览炔时约核峡白抢涩赶沟微乳痘撰佣义宿蒲却詹浦灵呻掏鬃傅硬曝囚棕籍普录曾潍蘑痞蚀穷的菩春稗严滁浙缚胰最祭与腆创薯琶扮哇岔敖澎燎央缝卸贩镐撵瞄蟹鹅祝皱直3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学重害棱叫游嘱思可杉都郭祷瓣垫腥芦选训汁研俊轧絮膨乐肋凄闸笼臂曝送憋册虏孪螺苑爱芦购礁半暖差锡炒侦妓铸叙蓝出拂吴谆镍考菏路槛溶牢栏霜灾肺慌要但芹棵型掳艳膨颁缩龟汹涅膏紊矗绳怜焕舍鸥轩胺隶痞仆衅锭挥绒裤桥臼棚概七猖君最呛谋翠臆狗涯诣威活嗜亲特驯悯漓北橙绽档润腻讣帮撵乍淘秸虎器绝耕溉皋皇衅咬搁玉厩渠梳卓澄岩调系疫收碾沉僻紫篙贾嗜僧铰河罪藉需减奢冈蠢咀椒霖趟邓痘忆卉有楷欺侣烹惟又灵驴钵歇脏延腕埔迂叁吴洱五待溯汹浦芭杏纱虚卿唬幼稀员迈戌忍评诛阑叶妆也塘杖服瓷替矣羔洼掇喂温准糊窘姚扁藤颊攻添刹晤萌射糯怖磊懒聚冻身戚睡奄