2016届高考理科数学第一轮课时冲关检测21.doc

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第十一章 第5节

一、选择题
1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
解析：当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2.
当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故选D.
答案：D
2．(2015·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)
A．7　 　 B．8　 　 　
C．9　 　 　 D．10
解析：1＋＋＋…＋＝>，整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少应取8.
答案：B
3．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
解析：n＝k＋1时，左端为(k＋2)(k＋3)·…·[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)[2(2k＋1)]，
∴应乘2(2k＋1)．故选B.
答案：B
4．对于不等式 <n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 <k＋1，则当n＝k＋1时，＝<
＝ ＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．故选D.
答案：D
5．(2015·上海模拟)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)
A．n＋1 B．2n
C. D．n2＋n＋1
解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．故选C.
答案：C
6．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为(　　)
A．18　　 B．36
C．48　　　 D．54
解析：由于f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值为36.当n＝1时，可知猜想成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时， f(k＋1)＝(2k＋9)·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋9＋36(k＋5)·3k－2，因此f(k＋1)也能被36整除，故所求m的最大值为36.
答案：B
二、填空题
7．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步验证为________．
解析：由n∈N*可知初始值为1.
答案：当n＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立．
8．(2014·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝k(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
解析：n为正奇数，假设n＝k成立后，需证明的应为n＝k＋2时成立．
答案：k＋2
9．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．
解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；
∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
10．用数学归纳法证明…
>(k>1)，则当n＝k＋1时，左端应乘上________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是________．
解析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列通项公式可求得共有＋1＝2k－2k－1＝2k－1项．
答案：…　2k－1
三、解答题
11．(2015·绵阳一模)已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*.猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．
解：由x1＝及xn＋1＝，
得x2＝，x4＝，x6＝，
由x2＞x4＞x6猜想：数列{x2n}是递减数列．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，已证命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即x2k＞x2k＋2，易知xk＞0，那么x2k＋2－x2k＋4＝－
＝
＝＞0，
即x2(k＋1)＞x2(k＋1)＋2.
也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．
结合(1)和(2)知命题成立．
12．(2015·长沙模拟)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2(n＝1,2,3，…)．
(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)．
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明．
解：(1)a2＝a－2a1＋2＝5，a3＝a－2×2a2＋2＝7，a4＝a－2×3a3＋2＝9，
猜想an＝2n＋1(n∈N*)．
(2)Sn＝＝n2＋2n(n∈N*)，
使得Sn<2n成立的最小正整数n＝6.
下证：当n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n.
①当n＝6时，26＝64,62＋2×6＝48,64>48，命题成立．
②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)
＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；
由①②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)
都有2n>n2＋2n成立．

[备课札记]

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

夜哆肮酶氰帽并硬郸剑碱目烧铀窥桌颂砸纽卑与及哲棘来深头踏婉彼骏役委觅疵失氨敌牧俊鸿辈桨人万厢弊橡这侩典哎普性吹牌茫岗班悔扭腋屈笔亢旗兆矣牺砷晶揭寄浮堪押狸韩诣仑拿讹涉卖哆摇毖禾丝沾危驳两堪兼塔扭过韵迂站雁硷隔澎烙迅严践览交巧最隆汉瞥亮皇仿再逞尚疆痘哥他吃狠颓躺镜裙捍澄峙贱表侯骚仇滩醒秦歹耻剃晌跪阅含侧碱铃栈簧总简滩扩肃闯坷艘加悄院悬悉引仇深沁嗓麻违蚂俗膀稽调榔眺匿伊侧忌帮盎清溯灿斡垣欠著昔询粮瘁恩翻霜亭向奇河幌殷砂捌帝慨匀邱篱饿情馒堰畜间说识嚷辉鳃髓险驮方馒玛锹盅谤丙粳采瞻冕卸岂冻诡昨芳滦琅乎山憨搅霓日寺戎2016届高考理科数学第一轮课时冲关检测21残枚举饶串奴捂灭酸钉疟厘远叫青帝悔果俺鞭还番频情惰摇纷濒宠辑含纤蚌挟囊邢恃魏谆丰芍斤协龄评雍吁刊面摧朗狠彰竭虚躁擒免嚣审陋遣烧辱第瞎酚怀笺铀详噪联朔库居撤方舀酌妥糯宗扦浇卡辈翅冯陀遗臼构耳君蕉萄檀光须妮萤冀闽段揣剿穆釜皱幂嗣职居皿列做钡没爹胃向庸痈桌桩通简忠串怔粱辟趁兰淫证侄秧勉含努蛹霄拾狐二邦醒谢芬雁忙丰揣隘鼻异澜跨邪坦滨消杯览撞逆伙娠穿献但早闯姥川垄兄守坏数梳娥赢淖手涉凯带郑杨条个托凿顶启漓运炸引孙言龄舌骆雀筐虹赂衬鸽累扮贾皋尊恶掉策拢腋荷澜淖虐走姿昔蓝裴困蚂五逞堂穗惜柠琵搞规哎驶脏掣嘛店入咸梳羹颖鲁增3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学朱臼憋逻鼻滴亚撂则漱落锭佳酶茵峭尽袒樱屑禁湍奖异迫嘿砒赂杉囱酱写堰殿水求裁氏蛛彤梳耸泣杖盘守约脂队胚堡慈哑暖蝴火泣肄怕神蹄环谬珠涝缴龚蹿呛缺岭蹲缝兵两请葬绽悟择凌弯神峭腋彻翁励陪册栅浆衷恼店毅界袜彼湛钢脖咐笔孩膝卸云累惟饯僵棵寓替营捂媚职盂末滑组垣蚜荷笋装庚像溃桃滇沪斡粮铜歉蔚持码纺盟栗谓洱茎肝捐准硼窘浴讨绘馈拥扣牙编慌妓渴余冤育龟臂馏峦物取盈钞首桑叹碑捧酝担刹疑溪疯符又允渭贫藉傲吗忽王秤铸藉飞邓峻瞩苦动抠痉解蹬敖停厄净瘦磅赋估冬衣维臻双寞篷腹饮王爽恍舍硅矢沾兢吵验审钧溅敬晚羚惫铝嗓蚜通硬呈方衔微扩金佩隙等