高三数学基础突破复习检测2.doc

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1．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1,4) D．(1,5)
答案　A
解析　当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x≤5时，不等式可化为x－1＋(x－5)<2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x>5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.
2．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝
可得最小值为，根据条件可得a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤.
3．若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.
答案　－3
解析　由不等式的解集可知－，为不等式对应的方程|ax－2|＝3的根，即，解得a＝－3.
4.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；
当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，
f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
5．已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2<x<4}．
(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值．
解　(1)由|x＋a|<b，得－b－a<x<b－a，
则解得a＝－3，b＝1.
(2)＋＝＋
≤＝2＝4，
当且仅当＝，即t＝1时等号成立，
故(＋)max＝4.
6．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
解　(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c.
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值为4，
所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得
(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥.
当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．
故a2＋b2＋c2的最小值为.
7．解不等式x＋|2x＋3|≥2.
解　原不等式可化为或解得x≤－5或x≥－.
综上，原不等式的解集是.
8.设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
解　(1)证明：∵a>0，∴f(x)＝＋|x－a|≥－(x－a)＝＋a＝a＋≥2＝2.当且仅当a＝1时取等号，∴f(x)≥2.
(2)∵f(3)<5，∴＋|a－3|<5，即＋3＋|a－3|<5，
∴－2<a－3<2－，解得<a<，
∴a的取值范围是.
9．若a>0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解　(1)由＝＋≥，得ab≥2，当a＝b＝时，“＝”成立．
故a3＋b3≥2≥4，当a＝b＝时，“＝”成立．
∴a3＋b3的最小值为4.
(2)2a＋3b≥2≥4.
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
10．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋xf2(x)≤.
解　(1)f(x)＝
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1，得x≤，∴1≤x≤.
当x<1时，由f(x)＝1－x≤1，得x≥0，
∴0≤x<1.
∴f(x)≤1的解集为M＝.
(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，
得162≤4，
∴－≤x≤.
∴N＝，∴M∩N＝.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，
∴x2f(x)＋xf2(x)＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－2≤.
故要证的不等式成立．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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