高一数学下册暑假知识点梳理检测题5.doc
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4、性质,以便利用它们来解决一些非基本函数的问题。2用基本初等函数解决非基本函数问题的途径:(1)化整为零:即将非基本函数“拆”成基本初等函数,以便用已知知识解决问题;(2)图象变换:某些非基本函数的图象可看成是由基本初等函数图象通过图象变换得到的,如果搞清了变换关系,便可借助基本初等函数解决非基本函数的问题。3函数的性质主要:周期性、有界性、单调性、奇偶性等,灵活运用这些性质,可以解决方程、不等式方面的不少问题。4在解决某些应用问题时,通常要用到一些函数模型,它们主要是:一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分式函数模型、分段函数模型等。重、难点突破重点:掌握一次函
5、数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数模型;培养阅读理解、建立数学模型和分析问题、解决问题的能力掌握解函数应用问题的基本步骤。难点:建立数学模型和分析问题、解决问题的能力的培养。重难点:1常见函数模型的理解(1)直线模型,即一次函数模型,其增长特点是直线上升(的系数),通过图象可很直观地认识它。(2)指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型,其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,常形象地称之为“指数爆炸”。(3)对数函数模型:能用对数函数表达式表达的函数模型,其增长特点是开始阶段增长得较快,但随着的逐渐增大,其函数值变化越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”。(4)幂函数
6、模型:能用幂函数表示表达的函数模型,其增长情况随中的取值变化而定,常见的有二次函数模型。(5)“对勾” 函数模型:形如的函数模型,在现实生活中有着广泛的应用,常利用“基本不等式”解决,有时通过利用导数研究其单调性来求最值。2构建函数模型的基本步骤(1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系,恰当选择数学模型;(2)建模:将文字语言、图形(或者数表)等转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义热点考点题型探析考点1 一次函数、二次函数模型的应用例1 (汕头金山中学09届模考)某地
7、区上年度电价为0.8元/(千瓦时),年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元(千瓦时)至0.75元(千瓦时)之间,而用户期望电价为0.4元(千瓦时).经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元(千瓦时).(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;(2)设k0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?注:收益实际用电量(实际电价成本价)解题思路先根据题意写出收益y与实际电价x的函数关系式,然后再列出不等式求解解析 (1)设下调后的电价为x元(千瓦时),依题意知用
8、电量增至a,电力部门的收益为y(a)(x0.3)(0.55x0.75).(2)依题意有整理得解此不等式得0.60x0.75.答:当电价最低定为0.60元(千瓦时)时,仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.名师指引 函数应用问题是高考的热点,解函数应用问题的基本步骤:第一步:阅读理解,审清题意.读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.第二步:引进数学符号,建立数学模型.一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题已知条件,运用已掌握的数学知识
9、、物理知识及其他相关知识建立关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果.第四步:将所得结果再转译成具体问题的解答.新题导练1某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为和,其中为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( )A45.606;B45.6;C45.56;D45.51 解析 B;设甲地销售辆,则乙地销售辆,从而总利润为显然,当时,取得最大值2某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元,并且生产量每增加一单位产品,成本增加1
10、0万元,又知总收入R是单位产量Q的函数:R(Q)=40QQ2,则总利润L(Q)的最大值是_万元。解析 ;总利润故当时,总利润L(Q)取得最大值万元3 (2008华附)某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台. 现销售给A地10台,B地8台。已知从甲地到A地、B地的运费分别是400元和800元,从乙地到A地、B地的运费分别是300元和500元.设从乙地运x台至A地,求总运费y关于x的函数关系式;若总运费不超过9000元,问共有几种调运方案; 求出总运费最低的方案和最低运费.解析由甲、乙两地调运至A、B两地的机器数和费用如下表:调出地甲地乙地调至地A地B地A地B地台数10x12(
11、10x)x6x每台费用400800300500运费合计400(10x)80012(10x)300x500(6x)即。由,得,从而x可取0,1,2。由一次函数的性质,可知当x0时,运费最低,运费最低为8600元。考点2 指数函数、对数函数模型的应用例2 小红现在是初一的学生,父母准备为他在银行存20000元,作为5年后上大学的费用,如果银行整存整取的年利率如下:项目1年期2年期3年期5年期年利率1.98%2.25%2.52%2.79%利息税为20%,则小红父母应该选择怎样的存款方式,可使5年后所获收益最大请说明理由解题思路 小红父母存款的方式可以有多种选择,但为了确保最大利润,应该遵循如下原则:
12、(1)5年结束时,所存款项应该恰好到期(否则以活期记,损失较大);(2)如果存两次(或两次以上),则第2次存款时,应该将第1次存款所得本息和全部存入银行为叙述方便,用表示把元本金,先存一次n年期,再存一次m年期所得本息和如:表示先存2个1年期,再存一个2年期所得本息和首先,可以考虑下面的问题:是否成立?即把元本金,先存一次n年期,再存一次m年期与先存一次m年期,再存一次n年期,所得本息和是否相同?因为,所以,解析 根据以上分析,我们只需考虑下面的几种情况:,方法之一是直接计算,但运算量相对较大为此,我们可以考虑下面的办法:(1)比较与的大小关系:因为,所以,所以,只需考虑上述八种情况中的:,(
13、2)比较和的大小,所以,所以,只需比较,因为:,所以,最大,即小红父母应该选择先存一次1年期,再存一次5年期(或先存一次5年期,再存一次1年期)获利最多这与我们通常的认识是一致的名师指引 本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解然而,如果通过穷举得出结论,计算可能就较为复杂了,因此,需要优化的不只是结果,还有运算的过程;另外要注意:在区间上,函数,和都是增函数,但它们的增长速度不同。随着的增大,的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度,表现为指数爆炸;而的增长速度越来越慢;的图像逐渐表现为与轴平行,的图像逐渐表现为与轴平行。因此总会存在一个,当时,有。新题导练4已知镭经过100年剩留原
14、来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩量为y,则x、y之间的函数关系式为_.解析 y=0.9576;设镭每年的衰变率为,则,依题意得,所以,从而得即5农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。2008年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元,其他收入为1350元),预计该地区自2009年起的5年内,农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长,其他收入每年增加160元,根据以上数据,2013年该地区农民人均收入介于A4200元4400元 B4400元4600元C4600元4800元 D4800元5000元解析 B;自2009年起5年内,该地区农民收入应为,故应选B6
15、(2009南海)某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为_.(lg2=0.3010,lg11.49=1.0602)解析14.9%;设产值平均年增长率为x,则(1+x)10=4.两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.lg(1+x)=0.0602. 1+x=100.0602.又lg11.49=1.0602, 11.49=101.0602=10100.0602. 100.0602=1.149.因此1+x=1.149,x=0.149=14.9%. 考点3 分段函数模型例3 (韶关一中09届月考)某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售
16、商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元。(I)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(II)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数的表达式;(III)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本)解题思路根据题意及“工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本”建立函数模型进行求解解析:(I)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为个,则 因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实
17、际出厂价恰好降为51元。(II)当时, 当时, 当时, 所以(III)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,则 当时,; 当时, 因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元; 如果订购1000个,利润是11000元。名师指引求解数学应用题必须突破三关:(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型新题导练7通过研究学生的行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间. 讲座
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