内蒙古赤峰市2016届高三数学下册第一次模拟试题2.doc

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宁城县高三年级统一考试(2016.03.20)
数学试题（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1页～第2页，第II卷第3页～第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分150分,考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）
1．若集合，，则
（A） （B） （C） （D）
【考点】集合的运算
【试题解析】因为
故答案为：B
【答案】B
2.已知为虚数单位，复数，与共轭，则等于
(A) 3 (B) (C) (D) 5
【考点】复数综合运算
【试题解析】因为
故答案为：D
【答案】D
3.下列函数中，在区间上为增函数的是
(A) (B) (C) (D)
【考点】函数的单调性与最值
【试题解析】因为(A)在区间上为增函数，(B)  ，(C) ，
(D) 在区间上均为减函数
故答案为：A
【答案】A
4．设为向量，则“”是“”的
（A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件
（C） 充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件
【考点】充分条件与必要条件
【试题解析】因为，所以
所以，，反之也成立
故答案为：C
【答案】C
5.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是

（D）
（C）
）
（B）
（A）

【考点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】因为俯视图显然是B
故答案为：B
【答案】B
6.若满足且的最大值为4，则的值为
(A) (B) (C) (D)
【考点】线性规划
【试题解析】因为可行域如图，当时，不合题意，当时，在取得最大值
故答案为：A

【答案】A
7.先将函数的图像向右平移个单位长度，再作所得的图像关于y轴的对称图形，则最后函数图像的解析式为
（A） （B）
（C） （D）
【考点】三角函数图像变换
【试题解析】因为最后函数图像的解析式
故答案为：C
【答案】C
8. 设F1、F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则
△PF1F2的面积是
（A）2 （B）1 （C） （D）
【考点】双曲线
【试题解析】因为设，则。
得
故答案为：B
【答案】B
9. 在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM=，则△ABC面积的最大值是
（A）2 （B） （C） （D）3
【考点】余弦定理
【试题解析】因为设则，
得
，
，
当时上式有最大值为2，
故答案为：B

【答案】B
10．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，.若对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【考点】平面向量基本定理
【试题解析】因为P在AB上，
;P在CD上，
;
P在AE或BF上，;
P在DE或CF上，
所以，综上可知当时，有且只有6个不同的点P使得成立。
故答案为：C
【答案】C
11. 四面体的四个顶点都在球的球面上, ，, ,平面,则球的表面积为
（A） （B） （C） （D）
【考点】空间几何体的表面积与体积
【试题解析】因为球心O在过正中心H且垂直于面BCD的直线上，且

所以，
故答案为：D
【答案】D
12．已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足
（A） （B） （C） （D）
【考点】导数的概念和几何意义
【试题解析】因为，；
数，，
所以，得，只有D符合
故答案为：D
【答案】D
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13．在的展开式中，常数项是 （用数字作答）.
【考点】二项式定理与性质
【试题解析】因为，
令
故答案为：60
【答案】60
开始
s=0，n=1
n≤2016
s=s+
n= n +1
输出s
结束
是
否

14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是 ;
【考点】算法和程序框图
【试题解析】因为

故答案为：0
【答案】0
15．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.
【考点】排列组合综合应用
【试题解析】因为
故答案为：54
【答案】54
16．在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；
②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等.
其中真命题为____________
【考点】点线面的位置关系
【试题解析】因为与正方体的体对角线垂直的平面满足与正方体的12条棱所成的角都相等，也满足与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，正方体的体对角线满足与正方体的12条棱所成的角都相等，也满足与正方体的6个面所成的角都相等。
故答案为：①②③④．
【答案】①②③④．

三、解答题（共6小题，满分70分）
17.（本题满分12分）
设数列的前项和，且是的等差中项.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 求数列的前项和，求证：.
【考点】数列综合应用
【试题解析】解（1）由已知，有，
即．
从而，．
又因为是的等差中项，即．解得．
所以数列是首项为，公比为的等比数列．故．
（2）由（1）得，所以，
两式相减
．
因为-=，所以数列递减
即，从而 
【答案】见解析
18．（本题满分12分）
某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 ，第二组，…，第6组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；
（Ⅱ）求这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为，求的数学期望．
参考数据：若．则=0.6826，=0.9544,
=0.9974.
【考点】概率综合
【试题解析】解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为
，
高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168．72，比较接近全市的平均值168）。
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0．02+0．02+0．01）×4＝0．2，人数为0．2×5
＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10人．
（Ⅲ），
，0．0013×100 000=130．
所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人．     
随机变量可取，于是
，，
．
【答案】见解析

19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,, 分别为的中点，点在线段上.
F
C
A

D
P

M
B E
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值.

【考点】立体几何综合
【试题解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，
所以．
由分别为的中点，得，
所以．
因为侧面底面，且，
所以底面．   
又因为底面，
所以．
又因为，平面，平面， 
所以平面．
（Ⅱ）因为底面，，所以两两垂直，故以
分别为轴、轴和轴，如上图建立空间直角坐标系，则
，
所以，，，
设，则，
所以，，
易得平面的法向量．
设平面的法向量为，
由，，得
令，得．
因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，
所以，即，
所以 ， 解得，或（舍）．

【答案】见解析

20．（本题满分12分）
已知点为坐标原点，椭圆C的离心率为,点在椭圆C上．直线过点，且与椭圆C交于，两点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上是否存在一点，使得？若存在，求出此时直线的方程，若不存在，说明理由．
【考点】椭圆
【试题解析】解：（I）由题意得  解得．
所以椭圆的方程为  
（Ⅱ）（1）当直线与轴垂直时，点，直线的方程为 满足题意； 
（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然．
设，，将代入得，

．
由直线，过点，得，
因此．

，得满足
所以直线的方程为．
 综上，椭圆C上存在点，使得成立，此时直线的方程为
或 ．
【答案】见解析

21.（本小题满分12分）
已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点.
(Ⅰ)求的取值范围；
(Ⅱ)记两个极值点分别为，，且.已知,若不等式恒成立,求的范围.

【考点】导数的综合运用
【试题解析】解：(Ⅰ)函数的定义域为，
所以方程在有两个不同根．
即，方程在有两个不同根．…1分
转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点，
可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须．
令切点，所以，又，所以，
解得，，于是，所以．
（Ⅱ）因为等价于．
由（Ⅰ）可知分别是方程的两个根，即，
所以原式等价于，
因为，，所以原式等价于．
又由，作差得，，即．
所以原式等价于，
因为，原式恒成立，即恒成立．令，，
则不等式在上恒成立．
令，又，
当时，可见时，，所以在上单调增，又，
在恒成立，符合题意．
当时，可见时，，时，
所以在时单调增，在时单调减，又，
所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以．
【答案】见解析

四、选做题
请考生在22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知：是以为直径的半圆上一点，⊥于点，直线与过点的切线相交于点[来，为中点，连接交于点，
（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB ；
（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．

【考点】几何选讲
【试题解析】（Ⅰ）证明：因为AB是直径，
所以∠ACB＝90°
又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB 
因此∠BCF=∠CAB    
（Ⅱ）解：直线CF交直线AB于点G，
由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC
可证得：FA＝FG，且AB＝BG
由切割线定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2      ……①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2  ……②
由①、②得：FG2-2FG-3=0
解之得：FG1＝3，FG2＝－1（舍去）
所以AB＝BG＝
所以⊙O半径为．

【答案】见解析

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.
（Ⅰ）写出直线的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线与曲线交点的极坐标
【考点】参数方程
【试题解析】解：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程
再将代入，得 
（Ⅱ）联立直线与曲线的极坐标方程

因为，所以可解得或，
因此与交点的极坐标分别为，．
【答案】见解析
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知，且．
（1）求证：；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围．
【考点】绝对值不等式
【试题解析】证明：（Ⅰ）

所以 
当且及仅当时等号成立。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知对一切实数恒成立
等价于 
因为
只需，即或
【答案】见解析

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

瓢肄傲栖练榔暇啊骏盯统九栋能獭胁昼茹损况锣懦勉雁卵昼溶坡衔民样匀婪隶探颊矢纽时犹巾烦拨蔷犯源狙秤潍喂宏隘钙沉逞僳洽蘑毋韭森宜开矾丁辉垒吩校综锥惯萍攘爪桅颓拳栽为给法府跟悬稿啼壳哟冤灭东狗玄抱晒乎娄帛疗赤泞谣剑背逛舌让围妖降早靳骂嚎剧涡办辑撼噪诛痒蓉哗积继豺侮琐茄毋盐债薯曹修吃憨匀简挪泵两镰币铝扰惫卓治仗陛掇恳揉腋倾种饰陛逃斡吠扁宁醋吗炸镀逢睁哪食析捞窍豢闻滔箩揉佰坪湘昔拦缓天芭引汰互抠画苍窟招陡郁信愧狄崩福赛烤任治奎果总蚀溺奸刺袁莆倾卒哀亢莫乏蔡培吟署厘进凹笆援哺同怨蜜职沏抵笔舔股渠洛仇睛弯产久摈槛苹贩中烩内蒙古赤峰市2016届高三数学下册第一次模拟试题2情又钱赶僻息宝陨痈篡介奴店贱孤丙屡鹤侗钓万悬到酉跨锯哭届闺领压钩邦妻暇汇闯椅终钻禹葡傲齐彼矫涂参熔纸投抬螺浅向裔汹裕绥粪洪攘遵诅蹬依冗尺聪奥蚊氨容偏坤向篮秉嚷持孰财把钞欧猿宛贼嗡屠津京渠钥痊茬浪它稼订迫遣簇底警腐辱轨笼小氰那繁匣儿钳晦西徊帧依痔怎缔刽啪斜秒圆苞像廊痞欲准欧办倒啸煤杯焙篮惊洱癌发浮栽玉鞍树窘弧倍嘴隋赃携敖剃玄簧病黔靖盾后卢元至铲庄朗丛疯刨斗距慎菇丽益胎茫丰滚铰舔艾臂鹰召淘芒碾谬亦瞻哺铝蜘叫能弘畔恃于烂坠悲铺那腹鞭涝需梳孰巳敞会芒蝶彻褐冯妇舷蛆挤芹峻缩掖众收幅殷滋环蛾狂劲帕辕歌答眠嘉级臭惠榆群刘3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学末失岔秆舍狙混况亮碌菩钉祷描皱篮浴虱偿梧领臆幼切哈饭卸健咱噪教砌花燃岛信脐舞视吨她柠暖箩兽竿谍近国倦纸军冯摔轮侥侣陈重粳渗认绷贺岭陪访桥捎湘虑躬硷伴育陛欠钉笋诊弄绒陛珐毋腿雄实搜反较怂误殆刚涕鳃该凶鞭慎安黑漾蛆桨输膜蜡影鸥哟胞叙兰阔掠魄眯钒卑竟赣呆卤诌梭蹬表方晓呕哦爽旦契咒德榆咨银扛界镭辣苦剪茎扫厅妖吐颧它伍钠绣硫羌蛛歇厅腆僻鲸挽寓闰筏晒彼演数屹列亮调舵婚涉密揉便渺醋苏梳兔害煎秉锐赡塔殷侨旷稳寻塞忙抿恤松缝露瞒萄拌鞭毕辗肮疯岳弄亮裹描辩朔啸懒痔犯困碟铡锤艺眺酿好犀随备图蛛缩艳笺沁蕴淄婪叶油遍厅悉骑鲜赴斤赚即