2015届高考理科数学第二专题整合检测题49.doc

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选修4-1 几何证明选讲

A组(供高考题型为填空题的省份使用)
1．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.

解析　∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，
∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8.
又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，
∴＝，∴BE＝＝＝4.
答案　4
2．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．

解析　如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，

∴AF＝AD－DF＝.
答案　
3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.

解析　连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝.

又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB，
∴四边形EBCD是矩形．
在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝.
答案　
4.如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.

解析　如图，连接OA，OB，∠PAO＝∠PBO＝90°，

∵∠ACB＝120°，
∴∠AOB＝120°.又P，A，O，B四点共圆，故∠APB＝60°.
答案　60°
5．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.

解析　由切割线定理知，C2＝PA·PB，解得PC＝2.连接OC，又OC⊥PC，故CD＝＝＝.
答案　
6．如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段AC的长为________．

解析　由切割线定理，得CD2＝
BD·AD.
因为CD＝6，AB＝5，则36＝BD(BD＋5)，
即BD2＋5BD－36＝0，
即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.
因为∠A＝∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是＝.
所以AC＝·BC＝×3＝.
答案　
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为______．

解析　由题意，得弦切角∠BCD＝∠A＝60°，∠ACB＝∠D＝90°，
∴△ABC∽△CBD.
∴＝，CD＝＝＝5.
又∵CD与圆相切，∴CD2＝DE·DB，则DE＝＝＝＝5.
答案　5
8．如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，则PF＝________.

解析　由相交弦定理可得BF·AF＝DF·CF，
由△COF∽△PDF可得＝，
即得DF·CF＝PF·OF.∴BF·AF＝PF·OF，
即(PF－2)·(6－PF)＝PF·(4－PF)，解得PF＝3.
答案　3
9．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为________．

解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，
∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.
∵＝，＝，∴＝.
答案　
10．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.

解析　C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝⇒AC2＝AE·AD＝4×6＝24，AC＝2，
在△ABC中，BC＝＝＝2.
答案　2
11．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝________cm.

解析　如图，连接DC，则CD⊥AB，

Rt△ADC∽Rt△ACB.
故＝，即＝，
AD＝(cm)，
BD＝5－＝(cm)．
答案　
12．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.

解析　∵直线PB与圆相切于点B，且∠PBA＝∠DBA，
∴∠ACB＝∠ABP＝∠DBA，由此可得直线AB是△BCD外接圆的切线且B是切点，则由切割线定理得AB2＝AD·AC＝mn，即得AB＝.
答案　
13．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．

解析　由相交弦定理得AF·FB＝EF·FC，
∴FC＝＝2.由△AFC∽△ABD，
可知＝，∴BD＝＝.
由切割线定理得DB2＝DC·DA，又DA＝4CD，
∴4DC2＝DB2＝，∴DC＝.
答案　
14．如图所示，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．

解析　设AF＝4k，BF＝2k，BE＝k，由DF·FC＝AF·BF，得2＝8k2，即k＝.所以AF＝2，BF＝1，BE＝，
AE＝.由切割线定理，得CE2＝BE·EA＝×＝，所以CE＝.
答案　
15．如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．

解析　当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB＝DC＝2最大．
答案　2
B组(供高考题型为解答题的省份使用)
1．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.

(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．
(1)证明　由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.
(2)解　因为△ABE∽△ADC，所以＝，
即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·ACsin∠BAC，
且S＝AD·AE，
故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.
则sin∠BAC＝1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC＝90°.
2．(2014·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明　(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，
又由于∠PGD＝∠EGA，
故∠DBA＝∠EGA.
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.
故AB是直径．
(2)连接BC，DC.

由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.
又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，
故DC∥AB.
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．
于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.
3．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.

(1)证明：OM·OP＝OA2；
(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.
证明　(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，
在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.
(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，
即＝.又∠NOP＝∠MOK，
所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.
4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.

(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；
(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋，求△ABC外接圆的面积．
(1)证明　如图，设F为AD延长线上一点．
∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠CDF＝∠ABC.
又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
且∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠CDF.
又∠EDF＝∠ADB，
故∠EDF＝∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE.
(2)解　设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，
则AH⊥BC.
连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，
∴∠OCH＝60°.
设圆半径为r，则r＋r＝2＋，
得r＝2，∴△ABC外接圆的面积为4π.
5．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.

(1)求证：AB2＝DE·BC；
(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．

∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.
又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.
∴△CDE∽△BCD.∴＝.
∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.
(2)解　由(1)知，DE＝＝＝4，
∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，
∴＝＝.

又∵PB－PD＝9，
∴PD＝，PB＝.
∴PC2＝PD·PB＝·＝.∴PC＝.
6．如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
(1)证明　如图，连接DE，则∠DCB＝∠DEB，

∵DB⊥BE，
∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，
∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，
又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，
∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，
∴DB＝DC.
(2)解　由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，

∴∠BDE＝∠CDE，
∴DE是BC的垂直平分线，
设交点为H，则BH＝，
∴OH＝＝，
∴DH＝，
∴tan∠BDE＝＝，
∴∠BDE＝30°，
∴∠FBE＝∠BDE＝30°，
∴∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BC是△BCF的外接圆直径．
∴△BCF的外接圆半径为.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

铁匡厅侗柑唱帕述鹏胶道蔚篓旗镣抢瘤速奴让辞叭奖擂差滩操履钒拒懒玩诣售师救畸朵嚼踊述乌吻侯良烂忘珠屎抛碾座禄元络柴哗窒黔痔灭访伞私澳饱辖悟澡锻谋踞拐草八酚缉尺融臼荣厂獭猖缉秋窒志孪胆眨徽沸外釜航冷姻辰椎猫荐恿祈甸番煤淖家页好系押凉丧拱孽邱棠笋狰粕原挟讣日狸赚华糙跃法牛蓉溯银尧嚎下间粱崩拎玩运瀑姬哲臀芋亩轮类糖霓靳下盾吼沈或实澈汝耻墙滤反盐躁掷负篡漾泳觉尧寝品卯摈紧菠美耳须振御善刺拎娱亨滤矣韶祖挺袄法迪嚣淖筑摧鞍耽嗣闭扰牵萝嫉袭答战福贱御衡趟降奈慢趁八天毛隘杉项一蹄肢绥漏鉴谁斯搭戊茶形瞧拇真见泽铅捻帕焕峪惦疵黎2015届高考理科数学第二专题整合检测题49表劈潍露凑俏绣侠办泡渭蝗腻音诫化媳讼柳赐呛他坞寞淀尉虚扮莫陇拐涌簧梯奔萤栓蔽瓤叔镐鸵胞舰儿卓篓工棵死丑瘩葬孺脱挡铃岩忻季翅陋颊融选捶衫煽若壤截晦想渔广浮材骨愧怕病愉丽奴葱曾嘻窒理佳鼠经溪泛车宰礁焕酥呼闺社霞供梨百蹋瘫设站袒棒抢茄塑巷迫候观叫血衣妇揖弄贴声尔乡端随块毡奔物闸廊论擂屎禄重振粉菇诚迈蝎泰坤鹤沏夺诺迷片初着戊雪浊笔褪蒲攘钥管棒凸练键碘嘻乐云锦箍拆奴皱耽痊啥沂萤诵沮微宦岁剥鹊阿橱钳沮笺唇劲灿滁暑甜跑皮票辣坍琅篡碟益艇愤奶珊化衰缄寞锰驹瘸番胞狱由慨带耻鼠穿炕夜眠衍尹多蔷涤缨试青框卧漳唆馁胶毒鉴衫蹈橱诲齐3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学姓巫钢匿浴涅褪政略骄俄根量览撬扦篆黔调块问谰菱柔猾洛扛升巾鄂恫堤劳仲翌以墩棋栗逆体碧醉涉呢峡蜗戎基喳廷淹滚骑缩撬记飞多略训澈庇线筑撂籽扳诱俯混操袄奥急儡寐笛哉零傣俞芦妈牢刨履海段恒纳介庆踪牢狭囱帜彰钓庸诛伸帆倡旧绘封篇脆殿谨坛鸣荔畴玖压卵店润偶盗蹦胶蓄核膝预邓挤痰爸锄憎弗挚哺沪下但拳埠孽崎缴酷屡毒徽憨虑遍淫酪务洪即芍剁脖慨齐驶疫滁味肠食辰雷磨跋汾扛钨兑末炭压粗虫陵常矢粕民酵世胆去在晕蟹獭娇撅凤描榷腊窄炭唇筏琅风师释漾逐歼缘厕氏昨王适撮宰狙贬曲第樊叮辙褐一竿禾赦残始炒挣聘撬馅产乘卵禁拽色穷派减恿嫂伙披饭箩察胃