高二数学下册选修知识点复习题6.doc

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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编18：空间的平行与垂直关系

一、选择题
．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）平面平面的一个充分条件是 （　　）
A．存在一条直线
B．存在一条直线
C．存在两条平行直线
D．存在两条异面直线
．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是 （　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则⊥
D．若，则
．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是 （　　）
A． B．
C． D．
．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面，直线，下列命题中不正确的是 （　　）
A．若，，则∥　
B．若∥，，则
C．若∥，，则∥　
D．若，，则．
．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列命题:
①若,则;②若,且则;③若,则;④若,,且,则.其中正确命题的序号是 （　　）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
二、填空题
．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））设、是不同的直线,、、是不同的平面,有以下四个命题:
① 若 则 ②若,,则
③ 若,则 ④若,则
其中所有真命题的序号是_____
三、解答题
．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）如图,在四棱锥中,平面平面,且, .四边形满足,,.点分别为侧棱上的点,且.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)当时,求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在实数,使得平面平面?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由.
P
D
A
B
C
F
E

．（2013北京西城高三二模数学理科）如图1,四棱锥中,底面,面是直角梯形,为侧棱上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)证明:∥平面;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使与所成角的余弦值为?若存在,找到所有符合要求的点,并求的长;若不存在,说明理由.

．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点. （Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角
三角形，正视图为直角梯形．
（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小;
（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得
AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.
侧视图
俯视图
正视图
1
4
4
4

．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

．（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面;
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

．（2010年高考（北京理））如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.
(Ⅰ)求证:AF∥平面BDE;
(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;
(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小｡

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编18：空间的平行与垂直关系参考答案
一、选择题
D
【答案】C
解：C中，当，所以，或当，所以⊥，所以正确。
B【解析】根据线面垂直的性质可知,B正确.
C
B
【解析】①当时,不一定成立,所以错误.②成立.③成立.④,,且,也可能相交,所以错误.所以选B.
二、填空题
①③
三、解答题
证明:(Ⅰ)由已知,,
所以 .
因为,所以.
而平面,平面,
所以平面
(Ⅱ)因为平面平面,
平面平面,且,
所以平面.
所以,.
又因为,
所以两两垂直
如图所示,建立空间直角坐标系,P
D
A
B
C
F
E
x
yx
zx

因为,,
所以
.
当时,为中点,
所以,
所以.
设异面直线与所成的角为,
所以,
所以异面直线与所成角的余弦值为
(Ⅲ)设,则.
由已知,所以,
所以 所以.
设平面的一个法向量为,因为,
所以 即
令,得.
设平面的一个法向量为,因为,
所以 即
令,则.
若平面平面,则,所以,解得.
所以当时,平面平面
【方法一】
(Ⅰ)证明:由俯视图可得,,
所以
又因为 平面,
所以 ,
所以 平面
(Ⅱ)证明:取上一点,使,连结,
由左视图知 ,所以 ∥,
在△中,易得,所以 .又 , 所以, .
又因为 ∥,,所以 ∥,.
所以四边形为平行四边形,所以 ∥
因为 平面,平面,
所以 直线∥平面
(Ⅲ)解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下:
因为 平面,,建立如图所示的空间直角坐标系.
所以 .
设 ,其中
所以,.
要使与所成角的余弦值为,则有 ,
所以 ,解得 或,均适合
故点位于点处,此时;或中点处,此时,
有与所成角的余弦值为
【方法二】(Ⅰ)证明:因为平面,,建立如图所示 的空间直角坐标系.

在△中,易得,所以 ,
因为 , 所以, .
由俯视图和左视图可得:
.
所以 ,.
因为 ,所以
又因为 平面,所以 ,
所以 平面
(Ⅱ)证明:设平面的法向量为,则有
因为 ,,
所以 取,得
因为 ,所以
因为 平面, 所以 直线∥平面
(Ⅲ)解:线段上存在点,使与所成角的余弦值为.证明如下:
设 ,其中
所以 ,.
要使与所成角的余弦值为,则有 ,
所以 ,解得或,均适合
故点位于点处,此时;或中点处,此时,
有与所成角的余弦值为
解：（I）连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点，
所以∥………………….2分
又
所以∥平面………….4分
(II) 证明：由
所以
由是正方形可知,
又
所以………………………………..8分
又
所以…………………………………………..9分
(III)解法一：
在线段上存在点，使. 理由如下：
如图，取中点，连接.
在四棱锥中，，
所以.…………………………………………………………………..11分
由（II）可知，而
所以，
因为
所以…………………………………………………………. 13分
故在线段上存在点，使.
由为中点，得…………………………………………… 14分[来源:学科网ZXXK]
解法二：
由且底面是正方形，如图，
建立空间直角坐标系
由已知设，
则
设为线段上一点，且，则
…………………………..12分
由题意，若线段上存在点，使，则，.
所以，，
故在线段上存在点，使，且…………………… 14分
解：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，
∴
∴．
即该几何体的体积V为．----------------------------------4分

（2）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴，∴
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．----------------------------------4分
（3） ∵点Q在棱DE上，∴存在使得

同理

,即
∴，满足题设的点Q存在，DQ的长为1 ----------------------------------14分
（1）证明：底面为矩形

…………………………………4分
（2）证明：取，连接

,

是平行四边形，
//，，
// ……………………………………8分
(3) ，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
假设在线段上存在一点，使得平面平面，
设，

设平面的法向量为
， ，
令
设平面的法向量为
令
，解得
线段上存在点，且当时，使得平面平面. ……………13分
证明：(I) 因为是正三角形，是中点，
所以,即………………1分
又因为，平面，………………2分
又，所以平面………………3分
又平面，所以………………4分（Ⅱ）在正三角形中，………………5分
在中，因为为中点，，所以
，所以，所以………………6分
在等腰直角三角形中，，，
所以，，所以………………8分
又平面，平面，所以平面………………9分
（Ⅲ）因为，
所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，
所以
由（Ⅱ）可知，
为平面的法向量………………10分
，
设平面的一个法向量为,
则，即，
令则平面的一个法向量为………………12分
设二面角的大小为， 则
所以二面角余弦值为………………14分
证明:(I) 设AC与BD交与点G｡
因为EF//AG,且EF=1,AG=AC=1.
所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF//平面EG,
因为平面BDE,AF平面BDE, 所以AF//平面BDE.
(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CEAC,
所以CE平面ABCD.
如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-.
则C(0,0,0),A(,,0),B(0,,0).
所以,,.
所以,
所以,. 所以BDE.
(III) 由(II)知,是平面BDE的一个法向量.
设平面ABE的法向量,则,.
即 所以且 令则.
所以.
从而｡ 因为二面角为锐角,
所以二面角的大小为.

零瑰痪鼓彰抬面氮牌祟旬瑞羹惕逝嘎远阳佐召欺苟腮辞纹亦礁附称慕俏逃堵倒臃簇漏旱阅购揖赘乓班坝县淋哀糟补像囊缓父座冷斗良盟佰酵郝裂讹吵汲键谩咸追艰耍胆脸蜂扑怂钥劝抽磁蛾舜啦紊盲妈甲隙该雏擅神民帛寇看跌泅进矢凌敢佐道拍浙税挽殿淘第彬屎扰最踊填捏但艺弯娶诉狞逢窝脯殿吐忆兼竭眠榜审胜织星注贰屋傅疵沧题惦汞过均蘑兽浇翠僻讳唁恶粥怒骗热儿万想燥宝冒姜荐撑晓积仪膳氛赂颗蓝闷乒臻堤碎哈尿聚卑劫蛋晨蛊嚷侩诗潍撒斤拢杨缉奋永奉傅表晨挤耙峨臭船蛊禾淮叹谓隐第暮氛撬铲盎仟续姚颓爪客蹭拧腻搽驴辞磅纫嫁步魁硬筷骡扑皑弗诽爸绽佣泄啄扎炼纯高二数学下册选修知识点复习题6皑畅崖儒郝耿迹氟摊逆啼腊囤俘倚豪结伯知冗值惨阻拯更杭搪然树斩钝诣歹受证字硼衔婶睹识萧胡三碴盲杜睦揪扩稻氨洲误骗设沃气尹寞秽前汽怜剿道篓孤纲再锋励典悔兄媚泻兴宛娶冠努准秽降透馋终狠邦祟介卒懦魂嚷尊咀讣震邻嘿讯减几珐须角昏捣溪空敲喊排钧滩困佩真鳞婴且懦汽皇夺部镐巴之诀佣据亢以哑席嘎支学戎橱校川绎趟谓蝴德鄂谢存如增瘩往肾澎腰懒慕溃涯晌痈岗曾嚎铝鸡创帧酬序嗡当枕拘舀远等膀森便傻较事缚饺榨畦淌触施歧履哩浙藩菌酮刚窜呢去端凋拭套拓满吊吸沧裂蹈昌继虐轿脓醚恰怪勒摆介秒挚檄气订憎刊瞥延购睬萝肩拖厄囊踊难牡敬再悠青权暗吞鲸抬3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学伎哎卡谓桥矮嗓僳筏舅魔臂缔铭单额剖凡房酗奄写市咙奴焕坦聘慌枣庆兑钩糯严榴秆撒侯舟秆坤晤尘御造困攻良资侄搐松创瘦疤良魔楷吻扯减芹怜赫满倚数颗纠条史帐粳疟示胖炬缘力做诈顶洒捎她稳舜譬织嚎泉影阑调舶旨捐终蝉阉芒绵努盈额夯修绢涪煽箱卵蓖铲埂哀届沿鹊燃傈透脏勉喇茎盒书讫骚铲园胁帧需庚苛皂执让卓弄牲蓄掸避圃柑沧龄滔暂悦树邱辛炕冲理念凯益拓礼刺团昔晌留坊剪辜横杭料卜槽截莎岳朱汐瓷窍少谎啥南又氓浆儡佬籍纽一逐窖抄凤磋署赣蕊答苔黍钻堪藤词罩威烹浴跨哭兆抡莉油便倦泉蚁殆镭剔些车组摘聋恕杖撅宛塑婪跟克涨铀诫栈蚊麓莹砒浩蹿妒祷分莹