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初中数学教材“反比例函数”比较研究

金芝伊

摘要：反比例函数在初中数学教学内容里具有特殊的地位，是描绘和研究现实世界数量关系的重要数学模型之一，是初中学生理解函数的重要载体。本文选取人教版和苏科版教科书，通过对反比例函数在教材中的位置、概念的呈现、图像与性质、实际应用和数学活动这几个方面进行简单的比较研究，得出两个版本在教材编写上的特点。
关键词：人教版;苏科版;反比例函数
：G4 ：A ：（2020）-13-353
一 引言
本文在现行的教材版本中，选取人教版与苏科版，对反比例函数这一章节进行简单的静态比较。
反比例函数是中学阶段要求学生掌握的基本函数之一，是初中数学最基本、最重要的内容之一，既不同于一次函数比较浅显易于掌握，也没有二次函数复杂繁琐，是既简单又重要的函数，在生产生活中应用广泛，是一种重要的数学模型[1]。
二 人教版和苏科版中“反比例函数”的具体内容及分析
人教版教科书的编排中，反比例函数安排在九年级下册第二十六章。在此之前，学生已有一次函数、二次函数的学习经验，可以用类比的思想方法进行新知识的学习。
1.概念的呈现
人教版以思考中的3个问题切入，通过两个问题：1.变量间具有函数关系吗，2.解析式有什么共同特点引出概念。在例1中，已知y与x成反比例关系，当自变量的值为2时，函数值为6，求函数表达式及自变量x值为4时的y的值，通过上述例题对概念加以巩固。
苏科版以实际问题中的行程问题引入：已知南京与上海相距300km，探究速度与时间的表达式，并探究是否成函数关系。通过以上问题，点明学习新的函数。然后以四个例子进行切入，用函数表达式表示出四个问题中两个变量之间的关系，找出其共同特征，举出类似的例子，在形式进行印象的加深，最后给出反比例函数概念，并对自变量取值范围进行讨论。通过例题考察学生概念掌握情况，例题共两小题，要求写出函数表达式，并判断函数类型。在练习中针对性的给出表达式的不同类型，进行判断并确定比例系数。
两个版本在概念的教学上都是先设计实际问题导入，再通过表达式的总结归纳出概念，苏科版教材在练习中给出对表达式形式进行变形的练习，可以加深学生对表达式类型的印象，有利于更好的理解概念。
2.图像与性质
人教版教材中在研究图像与性质时，先对k进行分类，首先研究的是k>0的情况。例2给出具体的函数表达式，先画出对应的函数图像，再结合图像回答以下问题：1.每个函数图像分别位于哪些象限;2.在每一个象限内，随x的增大，y如何变化，从解析式的角度说明理由;3.结合上述方法，对一般式加以研究。通过以上实验操作过程，归纳出函数的性质。接着设置以下例题：例3.已知反比例函数图像上有一点A（2，6），求函数性质及对具体的点是否在双曲线上做出判断;例4.给出反比例函数y=m-5x图像的一支，求图像另一支所在象限，m的取值范围，利用函数增减性回答在一支上取两点A、B，若xA>xB，两点纵坐标的大小关系。
与人教版不同的是苏科版在这一部分，是以两个具体的函数y=6x和y=-6x为例，通过先描述图像特征再画图的方法总结出函数性质。其中图像所具有的特征，从以下三个角度出发：（1）两个变量的值可以为0吗，函数图像与坐标轴的交点情况（2）对x、y所取值的符号、图像所在象限进行探究，（3）对x变化时y的变化情况，这个函数的图像与坐标轴的位置关系的特征进行思考。接着用以上述知识解决三道例题。其中例1：给出反比例函数图像经过的点A（2，-4），求比例系数k，判断函数图像在哪几个象限？函数的增减性，画出函数图像，判断B（0.5，-16）、C（-3，5）是否在图像上。例2从菱形面积出发，要求写出对角线长y与x的函数表达式，并画图。例3：与一次函数结合，已知函数y=kx与一次函数y=x+1的图像的一个交点的横坐标为-3，求k的值，画图，根据图像指出当x<-1时，y的取值范围。
人教版教材利用具体的图像进行性质的研究，让学生对数形结合有了更深层次的理解。在例题设计上，人教版例题的设置有梯度侧重函数增减性，苏科版则是从抽象到具体来进行探究，比较强调画图，与学生已掌握的知识点联系较多。
3.实际应用
人教版教科书在实际应用中设置以下四个例题。例1：圆柱形容器容积一定，求底面积与深度的函数关系、当底面积确定时的深度的值和深度确定时底面积的值。例2：工人卸货问题，货物总数量一定时的卸货速度与卸货天数之间的关系和不等式问题：卸货天数不超过5天时卸货速度至少为多少。例3、例4都涉及物理知识为杠杆平衡问题与电功率问题。
苏科版设置4个问题。问题1：文字录入问题，在字数一定的情况下探寻完成录入时间与录入速度的函数关系，和求时间确定时的速度。问题2：蓄水池容积相关问题：规则几何体体积一定时，底面积与深度函数关系式，深度确定时求底面积，最后涉及到不等式问题：当长宽有最大值时，求深度的最大值。问题3：消防人员泥沼救人情境下的压强、压力、受力面积问题。问题4：温度不变下，气球内气体压强和体积的关系，包括气压大于40000Pa时，体积的最小值。
人教版和苏科版教科书在实际应用方面设计的问题与类型均较为相似，涉及知识点相同从不同角度揭示数学从生活中来，到生活中去，存在大量生活中的现象，其本质都与反比例函数有着较大的联系。
三 结论
通过对上述内容的静态对比发现，人教版与苏科版教科书选择的素材类型较为相似，在实际应用上选择的例子很好的将数学与生活联系在一起，有利于学生思维能力的锻炼。在反比例函数引入中，两个版本的教科书都是通过具体问题，让学生思考变量间的关系和特点，发现共同点，这样的导入对教师实际教学有所要求，在教学中不能流于表面，让学生失去主动思考过程。
两版教材的编写上差异性如下：
人教版教材编写采用直线式前进设计，条理清晰，结构逻辑性较强[2]。在性质的探究上，借助了几何直观来加以得出。在数学活动上，以学生为主，进行自主性的研究，学生的学习能力得以发展。
苏科版教科书在则遵循螺旋式上升的顺序，循序渐进，逐层升入，知识点之间联系较大，留给师生自由发挥的空间较大。在数学活动中，通过对函数表达式赋予不同的实际情境，让学生在交流中拓宽思维，体会模型思想，联想、类比能力得到进一步发展。
参考文献
[1]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解讀[M]北京 ：北京师范大学出版社，2012.2
[2]田思月.中日数学教科书中“三角形”内容比较.中学数学杂志[J]，2010（08）：32-35.

-全文完-