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高考函数的零点题型分类及解题策略分析.docx
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1、 高考“函数的零点”题型分类及解题策略分析 张旭摘 要:函数的零点问题是高考常考的内容之一,若判断函数在某个区间上是否存在零点,只需判断区间端点的函数值是否异号;若判断函数零点的个数,需要将函数零点转化为方程的解,再由方程的解转化为两个新函数的图象的交点;若利用导数则可以解决一些较复杂函数的零点问题。关键词:函数零点;图象交点;方程解函数的零点问题是近些年高考出题的热点问题,考查题型以选择题为主,偶尔出现在填空题和解答题之中。零点问题综合性较强,渗透数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法,成为高考的生长点和学生的失分点。为帮助考生攻克这一难点,下面笔者通过对新课标高考题的分析,归纳总结函
2、数的零点问题的常见题型和解题策略,希望对大家有所帮助。一、函数零点所在区间的判断涉及求零点所在区间范围的题型,可以利用零点的存在性定理进行求解。利用存在性定理求解时,需要计算出区间端点处得函数值符号,如不能得到端点处的函数值可考虑用二分法继续求证或作图观察函数图象的交点所在的大致区间。例1.若方程ln(x+1)+2x-1=0的根为x=m,则( )A.0m解:设f(x)=ln(x+1)+2x-1,则f(0)=-10,所以0m二、求函数零点的个数或方程的根的个数问题求零点个数问题是高考中最常见的零点题型,如果所给函数有一个零点时,可以考虑利用存在性定理证明函数存在零点,然后再证明函数在此区间是单调
3、函数即可。如果所给函数含有一个以上的零点,可以采用数形结合的方法求解。如将f(x)转化为f(x)=g(x)-h(x)的形式,则可以作出g(x)和h(x)的图象,两个图象交点的个数就是f(x)零点的个数。例2.若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(2-x)=f(x),且当x0,1时,其图象是四分之一圆,则函数H(x)=xex-f(x)在区间-3,1上的零点个数为( )A.5 B.4 C.3 D.2解:函数f(x)是偶函数,且f(x+2)=f(-x)=f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数。记g(x)=xex,则有g(x)=(x+1)ex,当x-1时,g(x)-1时,g(x)
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