《数值分析》第五章答案.doc

习题5
1． 导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。
(1) 左矩形公式：
(2) 右矩形公式：
(3) 中矩形公式：
解：(1) ，

(2) ，

，
(3) 法1 ，

法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式
满足 ，，则有

，

于是

2． 考察下列求积公式具有几次代数精度：
（1） ；
（2） 。
解： （1）当时，左=1，右=1+0=1，左=右；
当时，左，右=，左=右；
当时，左=，右=1，左右，代数精度为1。
（2）当时，左=2，右=2，左=右；
当时，左=0，右=，左=右；
当时，左，右，左=右；
当时，左，右，左=右；
当时，左，右，左右。代数精度为3。
3． 确定下列公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。
（1） ；
（2） ；
（3） 。
解： 当时，左，右，左=右；
当时，左，右，
当时，左，右；
要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当、满足

，
求积公式（1）：
（A）
求积公式（2）：
（B）
当时，（A）的左端为1。
（A） 的右端
（B） 的右端
（A）和（B）的代数精度均为2。
（2）
当时，左，右
当时，左，右
当时，左，
右

要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当

当时，左
右

当时，左，的系数。
右，
其中的系数。因而 代数精度为3。
5．设函数由下表给出：
1.6 1.8 2.0 2..2 2.4 2.6
4.953 6.050 7.389 9.025 11.023 13.464

2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
16.445 20.086 24.533 29.964 36.598 44.701

解： 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4
6.050 7.389 9.025 11.023 13.464 16.445 20.086 24.533 29.964
(1) 复化梯形公式 ， ，

（2）

（3） Romberg 算法

7．试用复化梯开公式计算曲线在区间[]上这一段的弧长，取。
解： ，

0

[

所求弧长为
9．利用积分计算时，若采用复化梯形公式，问应取多少节点才能使其误差绝对值不超过。
解： ， ， ， ，
，
要使

只要

取
答：取950个等距节点，则有
方法2

10．用Romberg方法求，要求误差不超过。从所取节点个数与上题结果比较中体会这2种方法的优缺点。
解： 将区间[2，8]作16等分，

2， 2+， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，

， ， ， ， ， ， ， ，
, , , , , , , ,

实际上

12．用3点Gauss-Legendre公式求。
解：
三点Gauss公式

21．根据下列的数值表：
1.20 1.24 1.28 1.32 1.36
2.572 15 2.911 93 3.341 35 3.903 35 4.673 44
解：

，
，

实际误差

实际误差