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高中数学教学中渗透数形结合思想的研究

钟铭
摘 要：数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系、直观的几何图形、位置关系等等数学知识相结合起来，通过抽象思维和具体思维的结合，从而达到复杂问题简单化、抽象问题具体化、解题最优化的目的。数学的种种知识都离不开数形结合思想的影子，所以高中数学教师如何在教学中渗透数形结合的思想方法，让学生掌握学习思维方式。本文作者结合多年来的工作经验，对高中数学教学中渗透数形结合思想进行了研究，具有重要的参考意义。
关键词：高中数学；数形结合；渗透
新课程标准指出，高中数学课程的目标之一是“使学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用”。关注数学思想方法教学已成为当代数学教育的一大特色，在新课程改革中，中学数学内容在要求和处理上都力图体现出对数学思想方法的注重。然而，在数学课堂教学中虽不乏思想方法内容，但一些学生在运用时一旦面临新的情境就会不知所措，数学思想没能被内化。中学数学思想方法教学存在什么问题呢？是否在高三总复习时匆忙地复习几个专题就可以了呢？笔者认为其实应该分布在各个模块、各个章节有计划、有规律地渗透这些数学思想方法。数学思想方法很多，下面我结合自己的教学实践，以数形结合思想为例，谈谈如何提高使学生的数形结合能力。
笔者认为在平時的高中数学教学中应该时常渗透数学思想方法，让学生感悟数学思想。只有平时积累，到高三复习时才不会觉得唐突。以下用案例说明如何让学生既掌握数学方法，又能从数学思想的高度增强数学方法的意识和能力。在进行人教A版必修1教学时，最能体现的是数形结合思想，表现在三方面。
一、解决集合问题
在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。在讲集合的运算这一节时，先让学生试着从字面上理解“交”“并”“补”的含义，然后让他们利用维恩（Venn）图，从直观上感受“交”“并”“补”的意义，最后以集合语言加以阐述，让学生从各个不同的角度体会集合的“交”“并”“补”运算，再次渗透数形结合思想。
【教学片断1及分析】某班共有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数。
分析：先将文字语言转化为集合语言，设U为全班学生组成的集合，A、B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合，喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn图可直观得出答案。
设计意图：解答有关集合的实际应用题时，首先将文字语言转化为集合语言，然后借助Venn图分析，结合集合的交、并、补运算处理，体现Venn图的简明、直观。
二、解决函数问题
借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法，函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
设计意图：根据问题1给出的图像，选择观察的方向，分析其中的数量关系，训练学生的识图能力，能直观感受从图像的“上升”与“下降”，理解函数的单调性。最后运用数学符号语言将文字语言的描述提升到单调性的定义。问题2通过学生动手实践，让学生亲历了“数—形”“形—数”的思考过程，获得基本体验，从两个方面理解数形结合方法的含义，理解数与形转换的意义，进行数形结合的思想立意。在教学中对直观图形的利用，就可以让学生直观形象地理解抽象的概念。通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还能为学生初步形成辩证思维能力创造条件，能够有的放矢地帮助学生从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向思维的好习惯。引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。
三、解决方程与不等式的问题
处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
设计意图：由“数”想到“形”，对学生本身就是一个“坎”，之所以学生“懂而不会”，是因为缺乏基本体验。因此，教师切不可过早地“推销”自己的解法，要给学生足够的探索、体验的时间。让学生讲出思维的“触发点”，如何迈出第一步，在比较的基础上，让学生经历“数—形—数”的思维过程，获得思想的解放，增长有“数”思“形”的见识，能够自主地调整思维方向。调整思维方向，使学生认识有关方程的求解问题可以转化为考查函数的交点问题，于看不见“形”的地方发现图形，迈出关键的一步，体现出数形结合思想在解题中的妙处。
设计意图：巧妙地应用数形结合思想解题，往往会使抽象问题直观化，复杂问题简单化，达到优化解题途径的目的。从“数”的严谨性和“形”的直观性两方面思考问题，拓宽解题思路，可收到事半功倍的效果。
“数形结合”就是根据数量与图形之间的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法。数形结合包括“以形助数”“以数辅形”和“数形互助”三个方面。巧妙地应用数形结合思想解题，往往会使抽象问题直观化，复杂问题简单化，达到优化解题途径的目的。从“数”的严谨性和“形”的直观性两方面思考问题，拓宽解题思路，可收到事半功倍的效果。正如我国著名的数学家华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形离数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”
教师要认真研究教材，从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，逐步渗透数形结合思想，能做到“眼”中有形，“心”中有数，就能“成功人生”。让学生养成数形结合的良好习惯，使它成为分析问题、解决问题的工具，这是所有数学教育工作者都应该追求的目标。
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