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小学数学中数形结合思想的应用研究

孙琴风
摘要：数与形是数学学习中的基本研究对象，如果在数学学习的过程中缺乏数形结合，那么对数学问题的认知必然出现问题，数学思想方法也无法形成有效记忆。新课程标准开始实施之后，教师需要逐步地转变思想观念，重点在于培养学生的数学思想，从解决问题的过程中积累活动经验，提升专业素养。所以本次研究的核心问题也在于如何帮助小学教师通过数形结合思想的应用来促进学生的全面发展，提升学生的主动性与积极性。
关键词：小学数学；数形结合；应用研究
0.引言
《义务教育数学课程标准》中明确提出了数学教学的目的在于让学生获取适应生活和发展所需要具备的数学知识与应用技能，这也充分说明了数学思想方法的重要性。一直以来，课程教学重视双基的局面普遍存在，如何转变教学观念，重视学生数学思想与数学意识的培养也成为了主要的教学目标。旨在让学生通过体验和感知让他们获取记忆，更好地处理数学元素之间的关系。
1.数形结合的内涵与特征
1.1 内涵
对于数学学科来说，概念建立在几何学的模式之上，数形结合可以被理解为是将数量关系与图形连接并对应起来的一种模式，并借助图形来研究数学思想方法的措施，让抽象的数学概念变得更加具体，将复杂的问题简单化。这两种概念相互独立，相互统一，包含“以形助数”与“以数解形”两个方面，借助于图形的生动性与数据的精确性特征，来解决难以解决的数学问题。但是在实际的教学工作中，主要研究方向仍然偏向于如何融入思想方法与解题应用，在未来的研究工作中，还应该分析如何在运用过程中选择合理的方法和策略。
1.2 特征
由于在数学概念的学习过程中，很多数量关系的表现形式非常抽象，学生在理解时的难度较大，而数形结合思想就可以将一些复杂的问题济宁简化，例如将抽象的代数语言转化为直观的几何图形，这也是数学教师重点培养学生的能力。如百分数、分数的学习中就可以借助线段图还分析数量关系。在实际的解题过程中，小学生由于自身的能力差异，很容易将一些内容混淆或遗漏，此时也需要借助数形结合的优势来分析数学信息的性质与几何意义，分析图形中所包含的内部条件，利用量化，在数的精确性与合理性支持下，通过图形来弥补抽象思维的缺陷，让思维模式更加严谨。
2.数形结合教学的功能
2.1 提升解决问题的有效性
在实际的教学活动当中，教师可以通过数形结合思想来引导学生将静态的思维方式转化为动态的思维方式，将其视作是相同事物在不同时间段的位置差异，以培养学生的辩证思维能力，更好地理解数学问题的本质[1]。例如下题。
某平行四边形与梯形的高都是5cm，梯形上底和平行四边形的底为10cm，梯形上底比下底少3cm，那么梯形的面积比平行四边形的面积多多少平方厘米？
一般情况下，多数学生在解决这一问题时，都会先计算出梯形的面积与平行四边形的面积。梯形面积为：（10+10+3）×5÷2=57.5，平行四边形的面积为10×5=50，所以两者之间的差异为57.5-50=7.5，单位为平方厘米。虽然这种解题方法没有任何错误，但是所耗费的时间相对较长。如果我们利用数形结合的思想，在解体过程中进行绘图，就可以通过简单的步骤获取结果，例如下图所示。
实际上，我们不难看出，利用图形进行描述之后，梯形面积比平行四边形面积多出来的部分即为部分的直角三角形，三角形的底为3cm，高为5cm，因此这一部分的面积为3×5÷2=7.5平方厘米。可以看出用图形表示数量关系时能够更加清晰直观，也能简化运算步骤，降低解题难度，激发学生的思维能力。在数学教学环节当中，也会有相对复杂的数学问题，数形结合教学功能也在这一时刻得到了发挥。
2.2 强化知识结构
小学阶段是积累知识并强化知识结构的重要阶段，学生在这阶段的学习过程中会接触到从平面图形向立体图形的过渡。在数学教学中，很多学生在形体知识的使用上存在着明显缺陷，但其实只要能根据题目要求绘制出图形，就能快速地帮助学生了了解图形的特征。例如在学习到长方体与正方体的相关知识时，就可以加以利用。例如：
一个长方体在高增加2cm的同时，表面积增加了56平方厘米，求原長方体的体积是多少？
虽然学生对于长方体的体积计算与表面积的计算公式已经非常熟练，但是在问题的解决过程中仍然会感到迷茫，无法有效辨别去寻找长方体的长、宽、高，无从下手。所以，应该让学生根据要求画出相关图形，就可以利用图形和数据进行思考。例如下图。
根据图中说明，我们可以得到的信息就变得更多了。在表面积计算方面，额外增加的长方体四个面都是相同面积的长方形，其宽为2cm，面积总和为56平方厘米，我们根据这一条件可以计算出单独一个面的面积为14平方厘米，所以长为7cm，原长方形的高为7-2=5cm，因此体积为：7×7×5=245立方厘米。可以看到，在充分利用图形后，问题变得非常简单，学生也可以快速地寻找出问题的解决方法。虽然这道例题具有抽象性，但将其转化为图形，利用数形结合的思想，就能强化学生对于基础知识的理解，直接利用长方体的表面积与体积计算公式来得出最终结果，其效果也更加显著。
2.3 激发思维能力
在小学数学的教学过程中，数形结合思想的重要价值在于让学生具备数学知识的掌握能力，重点发展学生思维，培养解决问题的能力，将数学课程充满乐趣，丰富课堂内容与课堂规划。新课程标准改革之下，课标由以前的双基变为四基，其中的变化在于数学思想的地位得到了稳定提升。在传统的课堂教学当中，数学思想并不是主要的学习内容，但是在现代教学过程中，需要大胆地将其作为主流教学内容，让教师引导学生展开知识教学工作。换言之，教育不应该只注重眼前的利益，而应该注重思维能力的发展与学习能力的提升[2]。即便是以后学生进入初中、高中，数形结合也可以将代数问题几何化；集合问题代数化。比如在求空间立体几何以及圆锥曲线的时候我们往往会建立空间或平面直角坐标系。这其实就是集合问题代数化。这样计算大大降低了难度。而代数问题集合化则可联想到函数、向量等。
3.小学数学数形结合的教学应用现状
面对新课标的要求，传统的双基局面被打破，作为教师也需要转变教学观念，重视思想方法的教学。为了了解教学现状，对我市X学校的小学数学教师进行了问卷调查，深入了解教学过程中数形结合的相关内容，以便于更好地展开研究工作。从教师的年龄与职称来看，基本都是具备5年以上经验的高级教师，说明教师具备足够的教学经验与教育能力。从问卷调查的问题来看，主要集中于几个不同方面，即数形结合的思想观念、数学思想方法分析、课后练习与数形结合思想、学生态度等。从问卷结果来看，大多数教师都能在教学过程中涉及到数形结合的内容，也愿意主动地利用这一思想方法展开教学，但是实际情况下利用数形结合思想进行方法教学的情况并不显著，这说明教师尚未对数形结合形成系统化理解，对于方法教学的重视程度还有待提升[3]。另一方面，如果教师对数形结合的掌握程度非常熟练，也会在教学过程中进行使用，让学生更好地体会这些思想方法的优越性。所以从问卷调查的结果来看，教师还不熟悉如何利用数形结合思想更好地引导学生，对于这一方面的研究具有显著的教学价值。
从学生的角度来看，学生在分析数量关系的过程中，也更倾向于直接进行问题思考，而不是通过图形来分析解决问题。随着时代的发展，教育教学模式也会有新的发展理念，如何让学生养成良好的习惯，掌握正确的数学思想方法，也成为了当前教学的重点，学生也应该适当调整自己的学习方式。
4.数形结合的教学应用策略分析
4.1 以形助数
以形助数的模式在代数领域中得到了广泛使用，能够让学生对知识点的理解更加深刻，并掌握正确的学习方法。例如在学习到分数的相关内容时，在学生掌握了分数单位与分数计算模式的基础上，让学生了解真分数与假分数的特征，从而让学生更好地进行理解和掌握，了解真分数小于1，假分数大于等于1的基本原则，便于对知识点进行概括。在教学过程中，可以通过绘制正方形的方式巩固分数的基础知识，培养感性认识，并且启发学生进行思考，比较分子、分母之间的数量关系。此外，通过数轴也同样能达到这一目标，利用数轴引导学生比较真分数与假分数和1之间的关系，结合具体情境展开思考。这样一来学生也不会死记硬背地区理解数学知识点，符合小学生的思维特征，以形象直观的思维为主，逐步地从抽象逻辑思维能力方面展开过度，充分理解在小学数学的概念学习中数形结合思想的运用[4]。
当然，图形与几何之间的关系同样密切，空间形式可以用图像、曲线、数量关系等进行表述，这些数学语言共同构建了数学的抽象特征，并从中寻找合理表达问题的数量关系。例如前文提到过的三角形面积计算方案，将其转化为多边形的面积计算方式，然后从引导中进行指导，教师通过巡视指导的方案来让学生掌握面积的计算方法。在此案例之中，抽象的数量关系与直观的图形结构进行了结合，利用“形”将抽象的关系转化为直观的图形，让学生主动参与到思考的过程当中，培养其空间感与逻辑分析能力。在未来的几何领域房中，也能够利用这一思想更好地掌握数学基础概念，如公式定理等[5]。
4.2 以数解形
以下题为例。
一个边长20cm的正方形，如图所示，图中两个直角梯形的高相等，但面积相差了10平方厘米，那么图中A的长度为多少cm？
在思考过程中，我们可以将问题转化成为图形来进行解决，而利用数形结合思想进行思考，问题也可以变得迎刃而解。可以看到，两个直角梯形的面积相差10平方厘米，但是底有共同的一条底，高相同，则差的那一部分底也就是我们需要计算的A边长度。所以，可以通过增设辅助线的方式，来将其转化为三角形面积的计算方式，三角形面积为10平方厘米，高为5cm，所以A边即为三角形的底，所以A长度为：10×2÷（10÷2），结果为4cm。从这一案例当中，体现了以数解形的思想，按照图形结构关系特征寻找到了恰当的解体方式，将代数的算法进行优势化处理，将抽象的数以直观清晰的几何图形来分析题目所给的条件，让学生的思维能力得到了有效锻炼。
在统计学的相关知识当中，也有着数形结合思想的用武之地。例如两幅统计图选择了不同的纵轴单位，可以更好地了解数据的变化趋势，也能了解在统计概率的相关知识当中应该注重对数据的分析，对“数”进行的针对性研究。如果仅仅只有形而没有数，那么无法发挥形的生动性，也无法体现数的严谨性，无法做到扬长避短[6]。在未来的综合实践工作当中，教师也应该引导学生更细致地区观察形，从中获取需要的数据信息，将其进行结合分析，才能更准确地去看待问题。換言之，对于学生来说，数学思想方法并不是短期内能够形成的能力，就像游泳一样，需要有一套系统化的游泳技巧训练，才能在水中避免被水淹没，通力，数学思想方法的教学目标也应在潜移默化中进行积累，以提升学生素养为根本目的，达到提升数学学习有效性的重要目标。
5.结语
数形结合思想作为小学数学学习当中的重要思想，在教材内容中涉及到了多个方面，对于教师来说也需要深入分析教材，充分掌握属性结合的思想。从实际的教学工作来看，需要更加具有针对性，以提升学生的逻辑思维能力与教师自身发展作为主要目标，实现共同进步。本文首先针对数形结合的内涵与特征展开了分析，并从其功能性过渡到现阶段的教学现状，最终以实际的教学现状分析了数形结合思想的应用策略，旨在让教师对其有更加深刻的认识，学会融会贯通，更好地贯彻课程标准的相关要求，让学生的数学能力稳定提升，具备数学素养。
参考文献：
[1]杨重林. “数形结合”思想在小学数学教学中的渗透与应用[J]. 中学课程辅导：教学研究， 2013， 7（22）：119-119.
[2]汪渭芳. “数形结合”天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用[J]. 小学教学参考， 2010（17）：30-31.
[3]陈红霞. 以形助数 化难为易——试谈数形结合思想在小学数学教学中的应用[J]. 湖北教育（教育教学）， 2010（3）：17-18.
[4]潘文芳. 数形结合，提升素养——例谈数形结合思想方法的渗透[J]. 数理化解题研究， 2016（17）：66-66.
[5]李勇. 巧用“数形结合”，妙解小学问题——谈“数形结合”思想在小学数学教学中的渗透[J]. 数学大世界（教师适用）， 2012（7）：43-43.
[6]易玲. 例谈小学数学教学中数形结合思想的渗透[J]. 教学月刊小学版（数学）， 2015（z1）：73-74.

-全文完-