初三单元整体教学设计圆.doc
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1、第二十四章 圆教学内容1本单元数学的重要内容(1)圆有关的概念:垂直于弦的直径,弧、弦、圆心角、圆周角(2)与圆有关的位置关系:点和圆的位置关系,直线与圆的位置关系,(3)圆和圆的位置关系(4)正多边形和圆(5)弧长和扇形面积:弧长和扇形面积,圆锥的侧面积和全面积2本单元在教材中的地位与作用学生在学习本章之前,已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式结识了许多图形的性质,积累了大量的空间与图形的经验本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上,进一步来探索一种特殊的曲线圆的有关性质通过本章的学习,对学生此后继续学习数学,特别是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用本章
2、的学习是高中的数学学习,特别是圆锥曲线的学习的基础性工程教学目的1知识与技能(1)了解圆的有关概念,探索并理解垂径定理,探索并结识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理,探索并理解圆周角和圆心角的关系定理(2)探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系:了解切线的概念,探索切线与过切点的直径之间的关系,能鉴定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线(3)进一步结识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算(4)纯熟掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用;理解圆锥的侧面展开图并纯熟掌握圆锥的侧面积和全面积的计算2过程与方法(1)积极引导学生从事观测、测量、平移、旋转、推理证明等活动了解概念,
3、理解等量关系,掌握定理及公式(2)在教学过程中,鼓励学生动手、动口、动脑,并进行同伴之间的交流(3)在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中,让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想(4)通过平移、旋转等方式,结识直线与圆、圆与圆的位置关系,使学生明确图形在运动变化中的特点和规律,进一步发展学生的推理能力(5)探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义3情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程,发展学生的数学思考能力;通过积极引导,帮助学生故意识地积累活动经验,获得成功的体验;运用现实生活和数学中的素材,设计具有挑战性的情景,激发学生求知、探索
4、的欲望教学重点1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧及其运用2在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等及其运用3在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用4半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径及其运用5不在同一直线上的三个点拟定一个圆6直线L和O相交dr及其运用7圆的切线垂直于过切点的半径及其运用8通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并运用它解决一些具体问题9从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用10两圆的位置关系:d与r1和r2
5、之间的关系:外离dr1+r2;外切d=r1+r2;相交r2-r1dr1+r2;内切d=r1-r2;内含dr2-r111正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目12n的圆心角所对的弧长为L= nR /180,n的圆心角的扇形面积是S扇形=n/360及其运用这两个公式进行计算13圆锥的侧面积和全面积的计算教学难点1垂径定理的探索与推导及运用它解决一些实际问题2弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导,并运用它解决一些实际问题3有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用4点与圆的位置关系的应用5三点拟定一个圆的探索及应用6直线和圆的位置关系的鉴定及其应
6、用7切线的鉴定定理与性质定理的运用8切线长定理的探索与运用9圆和圆的位置关系的鉴定及其运用10正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角的关系的应用11n的圆心角所对的弧长L= nR /180及S扇形=n/360的公式的应用12圆锥侧面展开图的理解教学关键1积极引导学生通过观测、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、性质、“三个”位置关系并推理证明等活动2关注学生思考方式的多样化,注重学生计算能力的培养与提高3在观测、操作和推导活动中,使学生故意识地反思其中的数学思想方法,发展学生有条理的思考能力及语言表达能力单元课时划分本单元教学时间约需13课时,具体分派如下:241圆3课时242与圆有关
7、的位置关系4课时243正多边形和圆1课时244弧长和扇形面积2课时教学活动、习题课、小结3课时241 圆第一课时 教学内容 1圆的有关概念 2垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用 教学目的 了解圆的有关概念,理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程,讲授圆的有关概念运用操作几何的方法,理解圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理,并辅以逻辑证明加予理解 重难点、关键 1重点:垂径定理及其运用 2难点与关键:探索并证明垂径定理及运用垂径定理解决一些实际
8、问题 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学口答下面两个问题(提问一、两个同学) 1举出生活中的圆三、四个 2你能讲出形成圆的方法有多少种? 老师点评(口答):(1)如车轮、杯口、时针等(2)圆规:固定一个定点,固定一个长度,绕定点拉紧运动就形成一个圆 二、探索新知 从以上圆的形成过程,我们可以得出: 在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径 以点O为圆心的圆,记作“O”,读作“圆O” 学生四人一组讨论下面的两个问题: 问题1:图上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律? 问题2:到定点的距离等于定长的点又有什么特
9、点? 老师提问几名学生并点评总结 (1)图上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r); (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 因此,我们可以得到圆的新定义:圆心为O,半径为r的圆可以当作是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形 同时,我们又把 连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC,AB; 通过圆心的弦叫做直径,如图24-1线段AB; 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“以A、C为端点的弧记作”,读作“圆弧”或“弧AC”大于半圆的弧(如图所示叫做优弧,小于半圆的弧(如图所示)或叫做劣弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆提成两条弧,每一条弧都叫做半圆 (学生活动)请同学们
10、回答下面两个问题 1圆是轴对称图形吗?假如是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2你是用什么方法解决上述问题的?与同伴进行交流 (老师点评)1圆是轴对称图形,它的对称轴是直径,我能找到无数多条直径 3我是运用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的 因此,我们可以得到:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线 (学生活动)请同学按下面规定完毕下题:如图,AB是O的一条弦,作直径CD,使CDAB,垂足为M (1)如图是轴对称图形吗?假如是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由 (老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是CD (2)AM=BM,即
11、直径CD平分弦AB,并且平分及 这样,我们就得到下面的定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下: 已知:直径CD、弦AB且CDAB垂足为M 求证:AM=BM,. 分析:要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此,只要连结OA、OB或AC、BC即可证明:如图,连结OA、OB,则OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称 当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,与重合,与重合 , 进一步,我们还可以得到结论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (本题
12、的证明作为课后练习)例1 如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中,点例2 O是的圆心,其中CD=600m,E为上一点,例3 且OECD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径分析:例1是垂径定理的应用,解题过程中使用了列方程的方法,这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 解:如图,连接OC 设弯路的半径为R,则OF=(R-90)m OECD CF=CD=600=300(m) 根据勾股定理,得:OC2=CF2+OF2 即R2=3002+(R-90)2 解得R=545 这段弯路的半径为545m 三、巩固练习教材 练习四、应用拓展例2有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图24-5
13、所示,正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时,水面宽MN=32m时是否需要采用紧急措施?请说明理由 分析:规定当洪水到来时,水面宽MN=32m是否需要采用紧急措施,只规定出DE的长,因此只规定半径R,然后运用几何代数解求R 解:不需要采用紧急措施 设OA=R,在RtAOC中,AC=30,CD=18 R2=302+(R-18)2 R2=900+R2-36R+324 解得R=34(m) 连接OM,设DE=x,在RtMOE中,ME=16 342=162+(34-x)2 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x1=4,x2=64(不合设)
14、DE=4 不需采用紧急措施 五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1圆的有关概念; 2圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴 3垂径定理及其推论以及它们的应用 六、布置作业 1教材 复习巩固1、2、324.1 圆(第2课时) 教学内容 1圆心角的概念 2有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 3定理的推论:在同圆或等圆中,假如两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等 在同圆或等圆中,假如两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 教学目的 了解圆心角的概念:掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量
15、的两个相等就可以推出其它两个量的相相应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用 通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所相应的其余各组量都分别相等,最后应用它解决一些具体问题 重难点、关键 1重点:定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对弦也相等及其两个推论和它们的应用 2难点与关键:探索定理和推导及其应用 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们完毕下题已知OAB,如图所示,作出绕O点旋转30、45、60的图形 老师点评:绕O点旋转,O点就是固定点,旋转30,就是旋转角BOB=30
16、 二、探索新知如图所示,AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 (学生活动)请同学们按下列规定作图并回答问题:如图所示的O中,分别作相等的圆心角AOB和AOB将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置,你能发现哪些等量关系?为什么? =,AB=AB 理由:半径OA与OA重合,且AOB=AOB 半径OB与OB重合 点A与点A重合,点B与点B重合 与重合,弦AB与弦AB重合 =,AB=AB 因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢?请同学们现在动手作一作(学生活动)老师点评:如图1,在O和O中,分别作相等的圆心
17、角AOB和AOB得到如图2,滚动一个圆,使O与O重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与OA重合 (1) (2) 你能发现哪些等量关系?说一说你的理由? 我能发现:=,AB=A/B/ 现在它的证明方法就转化为前面的说明了,这就是又回到了我们的数学思想上去呢化归思想,化未知为已知,因此,我们可以得到下面的定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 同样,还可以得到: 在同圆或等圆中,假如两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等 在同圆或等圆中,假如两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 (学生活动)请同学们现在给予说明一下 请三位同学到
18、黑板板书,老师点评 例1如图,在O中,AB、CD是两条弦,OEAB,OFCD,垂足分别为EF (1)假如AOB=COD,那么OE与OF的大小有什么关系?为什么?(2)假如OE=OF,那么与的大小有什么关系?AB与CD的大小有什么关系?为什么?AOB与COD呢? 分析:(1)要说明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF,即说明AB=CD,因此,只要运用前面所讲的定理即可(2)OE=OF,在RtAOE和RtCOF中,又有AO=CO是半径,RtAOERtCOF,AE=CF,AB=CD,又可运用上面的定理得到= 解:(1)假如AOB=COD,那么OE=OF 理由是:AOB
19、=COD AB=CD OEAB,OFCD AE=AB,CF=CD AE=CF 又OA=OC RtOAERtOCF OE=OF (2)假如OE=OF,那么AB=CD,=,AOB=COD 理由是: OA=OC,OE=OF RtOAERtOCF AE=CF 又OEAB,OFCD AE=AB,CF=CD AB=2AE,CD=2CF AB=CD =,AOB=COD 三、巩固练习教材 练习1 四、应用拓展 例2如图3和图4,MN是O的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,APM=CPM (1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由(2)若交点P在O的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证
20、明;若不成立,请说明理由 (3) (4) 分析:(1)要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等,只要说明它们的一半相等 上述结论仍然成立,它的证明思绪与上面的题目是一模同样的 解:(1)AB=CD 理由:过O作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F APM=CPM 1=2 OE=OF 连结OD、OB且OB=OD RtOFDRtOEB DF=BE 根据垂径定理可得:AB=CD (2)作OEAB,OFCD,垂足为E、F APM=CPN且OP=OP,PEO=PFO=90 RtOPERtOPF OE=OF 连接OA、OB、OC、OD 易证RtOBERtODF,RtOAERtOCF
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