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隐函数求导方法探索.pdf
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1、 21 玉溪师范学院学报(第39卷)2023年第6期 Journal of Yuxi Normal University Vol.39 No.6 Nov.2023隐函数求导方法探索杨 雄,袁新全(娄底职业技术学院,湖南 数底 417000)关键词隐函数;求导;偏导数摘 要在隐函数求导的教学过程中,将一元隐函数的求导方法拓展到多元隐函数的求导,降低隐函数求导的难度,并应用实际案例对隐函数的求导公式进行了应用探索.中图分类号 O211.62 文献标识码 A 文章编号1009-9506(2023)06-0021-06求导是高等数学教学中的主要内容之一,其中隐函数求导是导数中的难点内容,为了便于对隐函
2、数求导的理解,首先阐释一元隐函数的求导的方法,然后推广到多元隐函数求导的情况,并且得出相应的隐函数求导公式,同时应用实际案例对隐函数的求导公式进行应用探索1 隐函数的定义及其求导方法a如果在方程(,)0F x y=中,当 x取某区间内的任一值时,相应地总是有满足此方程唯一的 y 值存在,那末方程(,)0F x y=在该区间内确定了一个一元隐函数1类似地,若有一个三元方程(,)0F x y z=所确定的二元函数(,)zf x y=存在,那么则有可能确定一个二元隐函数对于此类隐函数的求导,其主要方法有:(1)先通过运算,把隐函数(,)0F x y=或(,)0F x y z=转化成显函数()yf x
3、=或(,)zf x y=,再利用求导公式和求导法则进行求导,一般情况许多隐函数很难显化,并且求出导函数也是隐函数(2)把隐函数看作方程,方程左右两端对 x 求导(求导时注意 y 是关于 x 的函数),可得到关于导数()y x 的方程,进行解方程即可求出函数的导数()y x 或者在多元函数中方程两端求偏导,再解方程求出偏导数(3)将,x y 看作两个“平等地位”的变量,利用一元微分或多元函数全微分的形式不变性,在等式(,)0F x y=或(,)0F x y z=两端同时取微分,一元微分得到关于dy 与dx 的等式,把导数看作微商即可求作者简介杨雄,硕士,副教授,研究方向:高等数学教学及应用通讯作
4、者袁新全,硕士,讲师,研究方向:高等数学教学及应用基金项目2022 年湖南省社会科学成果评审委员会课题“新时代高职公共基础课合力育人研究”(项目编号:XSP22YBC054)玉溪师范学院学报 22 出()y x,多元函数求出全微分等式,类比dx 前的因子是 x的偏导数,dy 前的因子是 y 的偏导数2 一元隐函数求导法则2.1 一元隐函数的求导公式隐函数存在定理 12设函数(,)F x y 在点00(,)P xy的某一邻域内具有连续的偏导数,且0000(,)0,(,)0yF xyF xy=,则方程(,)0F x y=在点00(,)xy的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的函数()y
5、f x=,它满足条件00()yf x=,并有xyFdydxF=(1)如果(,)F x y 的二阶偏导数也都连续,可以把(1)式的两端看作 x 的复合函数而再求一次导数,则有一元隐函数的二阶导数公式222232xxyxyxyyyxyF FF F FF Fd ydxF+=(2)案例 1 求隐函数22arctanlnyxyx=+的导数.方法一 用复合函数求导法则求解隐函数的导数.解 直接用复合函数求导法则,有2222111(22)21y xyxyyxxyyx=+整理解得dyxyydxxy+=.分析 在此求导过程中一定注意,y 是关于 x的函数,即()yf x=,比如求2y 的导数,应该是2yy,而不
6、是2y,等式两边求导后相当于解一元一次方程即可求出导数,当然求出的导函数还是一个隐函数方法二 用等式两端求微分的方法求解隐函数的导数.解 方程两边取微分,则有22222(arctan)(ln)()yxyddxydxxyx=+222222221()xy xydxydxxyxxy=+2222222211()2y xyd xydxxyxyxy=+221(22)2()xyy dxy xyxy=+.分析 等式两端求微分,求解过程用到一元微分的形式不变性,其实质用()()df xfx dx=,然后把等式两端的dx 约去,得到关于y 的方程,解方程即得导数方法三 直接应用定理 1 中的(1)式求解.23 杨
7、 雄,袁新全:隐函数求导方法探索方程变为22(,)arctanlnyF x yxyx=+,则有,22222221yxyxyFxyxxyxy=+,2222xyxyFdyxyxyxydxFxyxy+=+.分析 直接用定理 1 求解,隐函数要变到(,)0F x y=的形式,然后分别对(,)F x y 求偏导数,当 x求偏导数时,y 看作常数,当对 y 求偏导数时,x看作常数,其他与一元函数求导法则、求导公式一样2.2 一元隐函数的其他求导方法分析2.2.1 用复合函数求导法则求解隐函数的导数案例 2 设()yf xy=+,其中 f 二阶可导,且其一阶导数不等于 1,求22d ydx.解 等式两端对
8、x求导,则有()(1)yfxyy=+,即()1()fxyyfxy+=+对上式两边再对 x 求导,可得2()(1)()yfxyyfxy y=+,进而有2()(1)1()fxyyyfxy+=+.将y 代入上式,有223()1()d yfxyydxfxy+=+.分析 在求此类函数的导数时,一注意 y 是关于 x的函数,二要注意复合函数的求导法则,不能丢掉内函数的导数,三要注意一直用方程两端求导,求导过程中不要先求出一阶导数y,再对一阶导数等式两端求导,这样变成了一个分数函数求导,继续求高阶导数会变复杂,只要最后把y 代入即可2.2.2 用对数求导法求解隐函数的导数案例 3 求隐函数yxxy=的导数.
9、解 对等式两端取对数,则有lnlnyxxy=,lnlnyxyxyyxy+=+解得22lnlnlnlndyyyxyyxyydxxxyxxxyx=.分析 如果等式中含有幂指函数,一般用到对数求导法,先等式两边取对数,并一般需要先通过相应的对数运算,然后等式两边求导数即可当然有时可以转换成e的指数形式,再用复合函数求导,如此题可转换成2.2.3 用等式两边求微分的方法求解隐函数的导数案例 4 求隐函数33cos()xyx y=的导数.解 对等式两端求微分,则有333333cos()()sin()()()()dxyd x yxy d xyy d xx d y=+sin()()xyydxxdy+2332
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