一类具有时滞的帕金森病模型异常振荡的分岔分析.pdf
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1、第4 9卷 第3期2 0 2 3年9月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.3S e p.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 5 1 8基金项目:国家自然科学基金面上项目(1 1 6 7 2 0 7 4);福建省自然科学基金(2 0 2 2 J 0 1 6 5 7)第一作者:曾巧云(1 9 9 9),女,硕士研究生,研究方向为非线性神经动力学.通信作者:郑艳红(1 9 7 7
2、),女,博士,教授,研究方向为非线性神经动力学.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 3-0 2 3 0-0 6一类具有时滞的帕金森病模型异常振荡的分岔分析曾巧云,郑艳红,易丹(福建师范大学 数学与统计学院;福建省分析数学及应用重点实验室:福州 3 5 0 1 1 7)摘要:研究了一个拓展的具有时滞的丘脑底核 苍白球网络模型存在振荡的理论条件,并利用R o u t h-H u r w i t z定理推导了该模型在平衡点的稳定性.数值模拟验证表明,所得的理论条件成立,且该模型产生分岔的临界点与理论的分岔点吻合度较高.当神经元集群间的传输时滞较小时,系统处于健康状态;当时滞
3、较大时,系统会发生过度的b e t a振荡,即系统会处于帕金森病状态;神经元集群间的连接权值也可对系统的振荡产生影响.关键词:帕金森病模型;振荡;H o p f分岔;时滞;连接权值;S TN-G P网络中图分类号:O 1 7 5;O 3 2 2 文献标志码:AB i f u r c a t i o n a n a l y s i s o f a b n o r m a l o s c i l l a t i o n s i n a c l a s s o f P a r k i n s o n s d i s e a s e m o d e l w i t h t i m e d e l a
4、yZ E NG Q i a o y u n,Z HE NG Y a n h o n g,Y I D a n(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,F u j i a n N o r m a l U n i v e r s i t y;F u j i a n K e y L a b o r a t o r y o f M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s:F u z h o u 3 5 0 1 1 7,
5、C h i n a)A b s t r a c t:I n t h i s p a p e r,t h e t h e o r e t i c a l c o n d i t i o n s o f o s c i l l a t i o n s i n a n e x t e n d e d s u b t h a l a m i c n u c l e u s-g l o b u s p a l l i d u s n e t w o r k(S T N-G P)m o d e l w i t h t i m e d e l a y w e r e s t u d i e d.A n d
6、t h e s t a b i l i t y o f t h e m o d e l a t e q u i l i b r i u m p o i n t w a s d e d u c e d b y R o u t h-H u r w i t z t h e o r e m.N u m e r i c a l s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t t h e t h e o r e t i c a l c o n d i-t i o n s a r e v a l i d,a n d t h e c r i t i c a
7、l p o i n t s o f b i f u r c a t i o n g e n e r a t e d b y t h e m o d e l a r e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h t h e t h e o r e t i c a l b i f u r c a t i o n p o i n t s.T h e s y s t e m i s i n a h e a l t h y s t a t e w h e n t h e t r a n s m i s s i o n d e l a y b e t w e e n n
8、e u r o n c l u s t e r s i s s m a l l.T h e l a r g e r t i m e d e l a y m a k e s t h e s y s t e m h a v e e x c e s s i v e b e t a o s c i l l a t i o n,t h a t i s,t h e s y s t e m i s i n a P a r k i n s o n s s t a t e.T h e c o n n e c t i o n w e i g h t s b e t w e e n c l u s t e r s
9、o f n e u r o n s c a n a l s o a f f e c t t h e o s c i l l a t i o n o f t h e s y s t e m.K e y w o r d s:P a r k i n s o n s d i s e a s e m o d e l;o s c i l l a t i o n;H o p f b i f u r c a t i o n;t i m e d e l a y;c o n n e c t i o n w e i g h t;s u b t h a-l a m i c n u c l e u s-g l o b
10、u s p a l l i d u s n e t w o r k0 引言帕金森病(P D)是一种运动功能障碍疾病,其主要是由基底神经节中的丘脑底核(S T N)和苍白球(G P)之间的神经元因产生过度的b e t a振荡而引起的.为了研究该疾病,学者们提出了多种与P D密切 第3期曾巧云,等:一类具有时滞的帕金森病模型异常振荡的分岔分析相关的神经元振荡模型.例如:T e r m a n等1提出了一种S T N苍白球外侧(G P e)神经元网络模型,并对模型的不同活动模式进行了研究.H o l g a d o等2提出了一个平均放电率模型,并推导了该模型发生振荡的边界条件;其探究还发现,改变连接
11、权值可以使系统处于P D状态和出现H o p f分岔.H u等3-4对S T N-G P e网络的振荡频带进行了分析,研究显示连接权值和时滞都是系统产生振荡的关键因素,且选取不同的连接权值还会使系统产生双向H o p f分岔现象.赵静仪5将G P分为内侧(G P i)和G P e,并由此构建了一个新的P D模型,研究显示该模型中的连接权值和时滞与P D振荡密切相关.由于神经元集群具有异质性,因此一些学者对G P e进行了进一步分类,如G a s t等6将G P e分为典型细胞(G P e-p)和烷基苍白球细胞(G P e-a).此外,研究还显示大脑中的其他核团(如脚桥核)7也可对S T N-G
12、 P网络的振荡产生影响.基于上述研究,本文使用参数较少的平均放电率模型(将时滞作为分岔参数)研究了扩展的S T N-G P网络模型发生H o p f分岔的动力学机制.1 模型及其平衡点的稳定性图1 扩展的S T N-G P网络模型示意图扩展的S T N-G P网络模型如图1所示,其中实线箭头表示集群接收的兴奋性刺激,虚线箭头表示集群受到的抑制性刺激.S T N 1和S T N 2表示S T N在不同环境下的两个核团,其膜时间常数为S.基于模型本身固有的复杂性,本文将神经元集群间的传输时滞Ti j和膜时间常数i设为相同(即令Ti j=T,i=),其中i,j=S,G.图1中系统的动力学行为用平均放
13、电率方程可表示为:dS1dt=1(FS(-wG SG(t-T)+wC SC)-S1(t),dS2dt=1(FS(-wG SG(t-T)-S2(t),dGdt=1(FG(wS GS1(t-T)+wS GS2(t-T)-wG GG(t-T)-wX GX)-G(t).(1)其中:S1(t)、S2(t)和G(t)分别为S T N 1、S T N 2和G P的放电率;wi j为神经元集群i到j的连接权值;wC S和wX G分别表示皮层(C t x)对集群S T N 1和纹状体(S t r)对G P的输入强度;X和C分别表示纹状体和大脑皮层的输入常数;Fi(x)(Fi(x)0)为神经元集群i的激活函数,其
14、表达式为 Fi(x)=Mi1+Mi-BiBie x p(-4x/Mi),(2)其中Bi表示无外部输入时神经元集群i的放电率,Mi表示神经元集群i的最大放电率.假设系统的平衡点为(S01,S02,G0).下面讨论系统在该点的稳定性,即讨论系统存在H o p f分岔的条件.首先,对平衡点进行线性变换(S1=S1-S01,S2=S2-S02,G=G-G0),使系统的平衡点(S01,S02,G0)平移到原点(0,0,0)处,则系统(1)在平衡点处可线性化为如下矩阵形式:S 1(t)S 2(t)G(t)=B1S1(t)S2(t)G(t)+B2S1(t-T)S2(t-T)G(t-T).(3)其中:B1=-
15、1/000-1/000-1/,B2=00-a1 300-a2 3a3 1a3 2-a3 3 ,132延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 a1 3=4wG S/(S01/MS-(S01/MS)2),a2 3=4wG S/(S02/MS-(S02/MS)2),a3 1=a3 2=4wS G/(G0/MG-(G0/MG)2),a3 3=4wG G/(G0/MG-(G0/MG)2).由拉普拉斯变换可知,系统(3)对应的特征方程为:I-B1-B2e-T=(+1)(+1)2+a3 3(+1)e-T+(a1 3a3 1+a2 3a3 2)e-2 T=0.(4)由式(4)和稳定性定理8可知,当系统的特征多项
16、式的特征根都有负实部时,该系统是稳定的.另外,由于式(4)有一个特征根(1=-1/)为负根,因此判断系统(1)是否稳定只需考虑如下方程(5)即可:(+1)2+a3 3(+1)e-T+(a1 3a3 1+a2 3a3 2)e-2 T=0.(5)令M=a1 3a3 1+a2 3a3 2,于是方程(5)可改写为:2+2+12+a3 3(+1)e-T+Me-2 T=0.(6)当T=0时,式(6)变为:2+(2+a3 3)+(12+a3 3+M)=0.(7)由R o u t h-H u r w i t z定理8可知,如果式(7)满足条件H 1(2/+a3 30,1/2+a3 3/+M0),则式(7)的根
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